0

ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH TOÁN HỌC 2 (3 TÍN
CHỈ) - DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH ðẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

1

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 2
Chuỗi số 2
CHƯƠNG 2 7
Dãy hàm và chuỗi hàm 7
CHƯƠNG 3 15
ðạo hàm và vi phân hàm số có nhiều biến số 15
CHƯƠNG IV 26
Tích phân phụ thuộc tham số 26
CHƯƠNG V 32
Tích phân bội 32
Sinh viên hiểu những kiến thức cơ bản về khái niệm chuỗi số và các vấn ñề liên
quan ñến chuỗi số như: sự hội tụ, tổng của chuỗi số, ñiều kiện hội tụ, các dấu hiệu hội tụ,
chuỗi hội tụ tuyệt ñối và chuỗi bán hội tụ.
Sinh viên thành thạo trong việc khảo sát sự hội tụ, phân kì của chuỗi số. Tính tổng
của một số chuỗi số cơ bản thường gặp.
B) NỘI DUNG
1.1. Các khái niệm cơ bản
Phần này trình bày về khái niệm chuỗi số và một số ñiều kiện ban ñầu liên quan ñến
sự hội tụ của nó.
1.1.1. Các ñịnh nghĩa
ðịnh nghĩa 1.1: Ta gọi chuỗi số là biểu thức hình thức:

1 2
1
n n
n
a a a a
∞
=
∑
+ + + + =⋯ ⋯
(1.1)
Các số a
n
ñược gọi là số hạng thứ n của chuỗi số ñó.
ðịnh nghĩa 1.2: ðặt S
n
=
1
n

n
n
S
→∞
= ∞
hoặc không tồn tại thì chuỗi (1.1) ñược gọi là chuỗi
phân kỳ.
ðịnh nghĩa 1.3: Nếu a
n
> 0 (
∀
n
≥
1) thì chuỗi (1.1) ñược gọi là chuỗi số dương.
ðịnh nghĩa 1.4: Chuỗi
1
k
k n
a
∞
= +
∑
(1.2) ñược gọi là phần dư thứ n của chuỗi (1.1) hay
phần dư sau số hạng thứ n và ñược kí hiệu là
n
r
.
Nhận xét: Chuỗi (1.1) hội tụ hay phân kỳ ñồng thời với phần dư của nó và khi
chuỗi (1.1) hội tụ thì phần dư hội tụ ñến 0:
lim 0.

(ii) ðiều kiện ñủ ñể chuỗi (1.1) phân kỳ là:
lim 0
n
n
a
→∞
≠
.
Tiêu chuẩn Cauchy
Hoàn toàn tương tự như dãy số, ta có ñiều kiện sau ñây về sự hội tụ của chuỗi.
ðịnh lý 1.2: ðiều kiện cần và ñủ ñể chuỗi (1.1) hội tụ là:
0,
∀ >
ε

*
N∃ ∈
ℕ
:
n N
∀ >

và với mỗi số tự nhiên P bất ñẳng thức sau ñược thoả mãn:
1 2
.
n P n n n n P
S S a a a
+ + + +
− = + + + <
⋯

a) Chuỗi trội: Nếu
n n
a c
≤
,
∀
n
≥
1 thì chuỗi
1
n
n
c
∞
=
∑
(1.4)
ñược gọi là chuỗi trội của chuỗi (1.3).
Nhận xét: (i) Nếu chuỗi (1.4) hội tụ thì chuỗi (1.3) hội tụ.
(ii) Nếu chuỗi (1.3) phân kì thì chuỗi trội (1.4) cũng phân kì.
b) So sánh chung
ðịnh lý 1.4: Cho hai chuỗi số dương
1 1
,
n n
n n
a b
∞ ∞
= =
∑ ∑

n
n
a
∞
=
∑
hội tụ;
(iii) Nếu
c
= ∞
và
1
n
n
b
∞
=
∑
phân kỳ thì
1
n
n
a
∞
=
∑
phân kỳ .
ðịnh lý 1.5(Dấu hiệu Cauchy): Giả sử tồn tại
lim .
n

ðịnh nghĩa 1.5:
(i) Ta nói rằng chuỗi
1
n
n
a
∞
=
∑
hội tụ tuyệt ñối nếu chuỗi
1
n
n
a
∞
=
∑
hội tụ.
(ii) Nếu chuỗi
1
n
n
a
∞
=
∑
hội tụ còn chuỗi
1
n
n

n
b
≥
và dãy (b
n
) bắt ñầu từ một chỉ số nào ñó ñơn
ñiệu, tiến tới không thì chuỗi
1
n
n
a
∞
=
∑
hội tụ. Ngoài ra, ñối với phần dư của chuỗi ta có ước
lượng:
( )
1
1
n
n n n
R b
+
≤ −
θ
, (
0 1
n
θ
≤ ≤

học Quốc Gia Hà Nội, 2002.

B) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
1) Tính tổng của chuỗi sau.
a)
1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 7.9
+ + + +
⋯
b)
1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5
+ + +
⋯

2) Chứng minh sự hội tụ(bằng ñịnh nghĩa) của chuỗi và tìm tổng của chúng
a)
1 1 1
1.4 4.7 (3 2)(3 1)n n
+ + + +
− +
⋯ ⋯

b)
2
sin sin 2 sin
n
q q q n
α α α
+ + + +

a
∞
=
∑
cũng hội tụ.
4) Chứng minh rằng nếu các chuỗi
2
1
n
n
a
∞
=
∑
và
2
1
n
n
b
∞
=
∑
hội tụ thì các chuỗi sau ñây cũng hội tụ:
a)
1
| |
n n
n
a b

n
+ + + + +
⋯ ⋯

b)
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7
+ − + − + − +
⋯

c)
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 .( 1)n n
+ + + + +
+
⋯ ⋯

6) Sử dụng các dấu hiệu hội tụ xột sự hội tụ của các chuỗi sau:
a)
4 4.7 4.7.10
2 2.6 2.6.10
+ + +
⋯

b)
2
2 2 2
4 9
(1!) (2!) (3!) ( !)





≠


(m là số tự nhiên).
7) Sử dụng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
a)
2
1
1
2
n
n n
∞
=
∑
+
b)
1
1
( 1 1)
n
n n
n
∞
=
∑

1
2
2
(2 1)
n
n
n
n
n n
−
∞
+
=
∑
+ +
f)
2 2 2 2 2 2
+ − + − + +
⋯

8) Sử dụng các dấu hiệu hội tụ xét sự hội tụ của các chuỗi :
a)
2
1 2
3 5 2 1
n
n
n
   
+ + + +

n
+
+ + + + +
−
⋯
⋯ ⋯
⋯

d)
(
)
1
1.3 2 1
.
3 !
n
n
n
n
∞
=
∑
−
…

9) Nghiên cứu tính hội tụ của các chuỗi
a)
3
1
( 2 ( 1) )

n p
n
n e
n
∞
+
=
∑
d)
( )( ) ( )
1
!
2 1 2 2 2
n
n
n
∞
=
∑
+ + +
⋯

e)
1
1.3.5 (2 1) 1
2.4.6 (2 )
p
p
n
n

3 5 7
1
2 4 8
− + − +
⋯
b)
( )
1
1
1
n
n
n
∞
=
∑
−
.

11) Xét sự hội tụ và hội tụ tuyệt ñối của các chuỗi sau
a)
( )
1
1
2 1
1
3 1
n
n
n

c)
( )
1
1
2 1
1
( 1)
n
n
n
n n
−
∞
=
∑
+
−
+
d)
( )
( 1)
100
2
1
1
n n
n
n
n
n

)
ñược gọi là hội tụ về hàm f trên X nếu
∀

0
x X
∈
, dãy số {f
n
(x
0
)} hội tụ về f(x
0
). Tức là:
*
0 0
0, ( , ) , ( , ) :
N x n N x
ε ε ε
∀ > ∃ ∈ ∀ >
ℕ

0 0
( ) ( )
n
f x f x
ε
− <
.
ðịnh nghĩa 2.2: Dãy hàm (f

n
(x)} hội tụ ñều
trên X là với mọi
ε
> 0 tồn tại số tự nhiên n
0
(chỉ phụ thuộc vào
ε
) sao cho với mọi m, n >
n
0
, với mọi x
∈
X ta luôn có:
| f
n
(x) – f(x) | <
ε
.
ðịnh lý 2.2. Dãy hàm {f
n
(x)} hội tụ ñều trên X khi và chỉ khi
lim sup | ( ) ( ) | 0
n
n
X
f x f x
→∞
− =
.
8

Hệ quả 2.1. Nếu mọi hàm của dãy hàm f
n
(x) (n =1,2,…) ñều liên tục trên [a, b] và
dãy hội tụ ñều trên [a, b] về hàm f(x) thì f(x) khả tích trên [a, b] và
lim ( ) lim ( ) ( )
b b b
n n
n n
a a a
f x dx f x dx f x dx
→∞ →∞
= =
∫ ∫ ∫

ðịnh lý 2.5. (Tính khả vi) Giả sử
i) Các hàm
( )
n
f x
: (a, b)
→

ℝ
khả vi trên (a, b)
∀
n

{
}
( )
n
f x
h
ộ
i
tụ ñề
u trên (a, b) v
ề hà
m
( )
f x
.
b)
Hà
m
( )
f x
khả
vi trên (a, b)
và
/
( ) ( ), ( , )
f x g x x a b
= ∀ ∈
hay
(
)

ậ
p X
⊂

ℝ
. Chu
ỗ
i
hà
m
là
t
ổ
ng
hì
nh th
ứ
c
1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
u x u x u x u x
∞
=
+ + + + =
∑

Nếu tại x

ỗ
i
hà
m
1
( )
n
n
u x
∞
=
∑
, hay chu
ỗ
i
hà
m h
ộ
i
tụ tạ
i x
0
, n
ế
u chu
ỗ
i s
ố
0
1

=
∑
, hay chu
ỗ
i
hà
m phân
kỳ tạ
i x
0
.
T
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t
cả cá
c
ñ
i
ể
m h
ộ
i
tụ củ
a m
ộ
t chu

v
ớ
i m
ỗ
i x
∈
X chu
ỗ
i
1
( )
n
n
u x
∞
=
∑
có
t
ổ
ng
là
S(x). Nh
ư
v
ậ
y
1
( ) ( ) .
n

i là h
ộ
i t
ụ
t
ớ
i hàm s(x) trên t
ậ
p X
n
ế
u dãy t
ổ
ng riêng S
n
(x) =
1
( )
n
k
k
u x
=
∑
c
ủ
a nó h
ộ
i t
ụ

x
∞
=
∑
.
Ta có với mỗi x mà
| | 1
x
<
thì chuỗi số
1
n
n
x
∞
=
∑
có tổng riêng thứ n là
1
1
( )
1
n
n
i
n
i
x
S x x x
x

1
thì
chu
ỗ
i phân
kỳ
.
Nh
ư
v
ậ
y mi
ề
n h
ộ
i
tụ củ
a chu
ỗ
i
hà
m
là
( – 1 ; 1)
và
1
1
n
n
x

.
V
ớ
i m
ỗ
i x
∈

ℝ
chu
ỗ
i
dã
cho
là
chu
ỗ
i
ñ
i
ề
u
hò
a
ñ
an d
ấ
u nên chu
ỗ
i h

c
2
2 2
2
1
(1 )
(1 )
n
n
x
x nx
x n
+ > ⇒ <
+
, ta
có

2 2
1
2 2
1
1
| ( ) | ( 1)
(1 ) (1 )
k
n
k n
k n
x x
r x

ớ
i
mọ
i n
≥

n
0
ta luôn
có

1
| ( ) |
n
r x
n
< <
ε
,
∀
x
∈
ℝ
.
V
ậ
y chu
ỗ
i h
ộ

+
=
< ∀ ∈
∑
ε
.
ðịnh lý 2.7(Dấu hiệu Weierstrass): Cho chuỗi hàm
1
( )
n
n
u x
∞
=
∑
gồm các hàm xác ñịnh
trên tập X. Nếu tồn tại một chuỗi số dương
1
n
n
a
∞
=
∑
hội tụ sao cho
( ) ,
n n
u x a n x X
≤ ∀ ∀ ∈
, thì

a x b x
cù
ng
xá
c
ñị
nh
trên t
ậ
p X.
Giả
s
ử
:
i)
Dã
y t
ổ
ng riêng
( )
n
A x
củ
a chu
ỗ
i
hà
m
1
( )

1
| ( ) | ( ) , ,
n
n i
i
A x a x M n x X
=
= ≤ ∀ ∀ ∈
∑
.
ii)
Dãy hàm
{ ( )}
n
b x
ñơn ñiệu, tức là với mỗi x
∈
X dãy số
{ ( )}
n
b x
ñơn ñiệu, và dãy
hàm
{ ( )}
n
b x
hội tụ ñều trên X ñến hàm 0. Khi ñó chuỗi
1
( ). ( )
n n

ñơn ñiệu với mỗi x
∈
X và bị chặn ñều trên X. Khi ñó chuỗi
1
( ). ( )
n n
n
a x b x
∞
=
∑
hội tụ ñều trên X.
Ví dụ 2.3. Xét sự hội tụ của chuỗi hàm
1
sin
n
nx
n
+ ∞
=
∑

a) Trên
ñoạn
, 0x
≤ ≤ − < <
ε π ε ε π
.
b) Trên
ñoạn

k k
nx n x
x
kx kx
x x
= =
+
= = ≤
∑ ∑
ε
,
∀
[ , ]
x
∈ −
ε π ε
.Dãy
1
n
 
 
 
ñơ
n
ñ
i
ệ

n
0 x
≤ ≤
π
.
T
ạ
i
x
= 0
và x
=
π
chu
ỗ
i
ñã
cho h
ộ
i
tụ và có
t
ổ
ng b
ằ
ng không. V
ớ
i
0 < x<
π

2
ε

→
+
∞
nên
c. Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ ñều
c.1. Tính liên tục
ðịnh lý 2.10: (i) Nếu dãy hàm f
n
(x) (n =1,2,…) hội tụ ñều trên [a,b] về hàm f(x) thì
f(x) liên tục trên [a,b].
(ii) Nếu tất cả các số hạng của chuỗi s(x) =
1
( )
n
n
u x
∞
=
∑
liên tục trên [a,b] và chuỗi
hàm hội tụ ñều trên [a,b], thì tổng s(x) của nó cũng liên tục trên [a,b].

11

c.2. Tính khả vi
ðịnh lý 2.11: (i) Nếu dãy các hàm khả vi, liên tục f
n

n
u x
∞
=
∑
với các số hạng khả vi liên tục, hội tụ trên [a,b] và chuỗi ñạo hàm
u(x) =
1
( )
n
n
u x
∞
=
∑
′
hội tụ ñều trên [a,b], thì tổng S(x) của chuỗi khả vi trên [a,b] và
1
( ) ( ) ( )
n
n
S x u x u x
∞
=
∑
′ ′
= =

(tức là có thể lấy ñạo hàm từng số hạng của chuỗi).
c.3. Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân

0 0
1
( ) ( )
x x
n
n
x x
S x dx u t dt
∞
=
∑
∫ ∫
=
(tức là có thể lấy tích phân
từng số hạng của chuỗi trên [x
0
, x], trong ñó x
0
, x tuỳ ý trên [a,b]), ñồng thời chuỗi hội tụ ñều
trên [a,b].
c.4. Chuyển qua giới hạn từng số hạng của dãy hàm và chuỗi hàm
ðịnh lý 2.13: (i) Nếu chuỗi hàm
1
( )
n
n
u x
∞
=
∑

=
, nghĩa
là trong chuỗi hội tụ ñều ta có thể chuyển qua giới hạn từng số hạng của nó.
(ii) Nếu dãy hàm liên tục f
n
(x) (n =1,2,…) hội tụ ñều trong lân cận ñiểm x
0
và với mỗi n tồn
tại giới hạn hữu hạn
0
lim ( )
n n
x x
f x A
→
=
, thì dãy số {A
n
} (n = 1,2,…) cũng hội tụ và
0
lim(lim ( ))
n
x x n
f x
→ →∞
=
0
lim(lim ( ))
n
x n x

x x a x a
− < −
. Hơn nữa, với mỗi số dương
0
r x a
< −
chuỗi ñã cho hội tụ ñều trên
khoảng
( , ).
a r a r
− +

(ii) Nếu chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại
0
x a
≠
thì nó phân kỳ tại mọi
0
:
x x a x a
− > −
.
ðịnh lý 2.15: Tồn tại
(0 R )
R
≤ ≤ ∞
sao cho chuỗi luỹ thừa hội tụ tại mọi x:
x a R
− <
và phân kỳ tại mọi x:

= ∞
thì chuỗi
hội tụ trên toàn trục số.
2.1.1.2. Các tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa
a) Tổng của chuỗi luỹ thừa trong miền hội tụ là một hàm liên tục. Hơn nữa trong
khoảng hội tụ nó khả vi vô hạn.
b) Nếu chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại ñầu mút x = R + a của khoảng hội tụ thì chuỗi
không thể hội tụ ñều trong khoảng [a, R + a).
c) Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ khi x = R + a thì chuỗi hội tụ ñều trên ñoạn [a, R + a].
ðịnh lý 2.16 (Abel): Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại ñiểm x = R + a thì tổng S(x) của
nó là hàm liên tục phía trái tại ñiểm ñó, nghĩa là: S(R+a) =
0
0
lim ( )
n
n
n R a
n
S x a R
∞
→ + −
=
∑
=
(hoàn
toàn tương tự, ta cũng có khẳng ñịnh ñối với mút trái của khoảng hội tụ).
2.1.1.3. Khai triển hàm thành chuỗi Taylorr
ðịnh nghĩa 2.6: (i) Cho hàm f(x) khả vi vô hạn tại ñiểm a. Chuỗi luỹ thừa
( )
0

trên một khoảng nào ñó thì ta nói f khai triển ñược
thành chuỗi Taylorr hay có khai triển Taylorr tại a.
(iii) Khi a = 0, thì khai triển Taylorr tại 0 ñược gọi là khai triển Maclorin.
ðịnh lý 2.17: ðể cho hàm f(x) có khai triển thành chuỗi Taylor trên khoảng (a-R,
a+R) ñiều kiện cần và ñủ là hàm f(x) khả vi vô hạn và phần dư thứ n của chuỗi Taylor ñối với
hàm này tiến dần tới 0 khi
n
→ ∞
trên khoảng ñó.
Hàm f(x) khai triển ñược thành chuỗi Taylorr, ñược gọi là hàm giải tích và khai triển
Taylorr của nó là duy nhất.
Phần dư của khai triển hàm thành chuỗi Taylorr dưới dạng Lagrange:

13

R
n
(x) = f(x) -
( )
0
( )
( )
!
k
n
k
k
f a
x a
k

[a+ (x-a)]
(1 ) ( )
!
n
n n
f
x a
n
θ
θ
+
+
− −

1
(0 1, 0 1)
θ θ
< < < <
.
2.3. Chuỗi Fourier
2.3.1. Khái niệm
ðịnh nghĩa 2.7: (i) Hệ hàm các hàm
1, cos , sin , ,cos , sin ,
x x nx nx
… …

xác ñịnh trên
[- , ]
π π
ñựợc gọi là hệ lượng giác cơ sở. Hệ hàm này trực giao trên

(iii) Chuỗi lượng giác:
( )
0
1
cos sin
2
n n
n
a
a nx b nx
∞
=
∑
+ +

ñươc gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x).

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:
[1] Trần ðức Long, Nguyễn ðình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2006), Giáo trình giải tích tập 2,
NXB ðHQG Hà Nội
[2] Trần ðức Long, Nguyễn ðình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2008), Bài tập giải tích tập 2,
NXB ðHQG Hà Nội
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
1) Xác ñịnh miền hội tụ (hội tụn tuyệt ñối và hôi tụ có ñiều kiện) của các chuỗi hàm sau ñây:
1.
1
n
n
n
x

=
∑

4.
2
1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
x
x x x
∞
=
∑
+ + +2) Khảo sát sự hội tụ ñều của dãy hàm, chuỗi hàm
1)
( ) (1 )
n
n
f x nx x
= −
, D = [0,1]

14

2)

x x
∞
=
∑
−
trên ñoạn [0; 1].

3) Chứng minh rằng hàm số
2
1
sin
( )
n
n
nx
f x
n
∞
=
∑
=
liên tục và có ñạo hàm liên tục trên khoảng (
-
∞
, +
∞
).

4) Khai triển các hàm số sau ñây thành chuỗi lũy thừa nguyên dương của x.
1.

3
sin
f x x
=

b)
2
1
( )
(1 )
f x
x
=
−

c)
2
( )
(1 )(1 )
x
f x
x x
=
− −

d)
arcsin
x

e)

c)
(
)
arcsin cos ;
x

d)
( ) cos .
f x x
=15

CHƯƠNG 3
ðạo hàm và vi phân hàm số có nhiều biến số
Số tiết: 16 (Lý thuyết: 14 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)

A) MỤC TIÊU
Sinh viên hiểu những kiến thức cơ bản về hàm số nhiều biến thực bao gồm: giới hạn
và tính liên tục, tính khả vi và ñạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến.
Sinh viên biết vận dụng kiến thức ñã học ñể khảo sát về sự tồn tại giới hạn, tính giới
hạn, khảo sát tính liên tục, nghiên cứu tính khả vi, tính các ñạo hàm riêng và vi phân của một
hàm nhiều biến cho trước.
B) NỘI DUNG
3.1. Các khái niệm cơ bản
3.1.1. Giới hạn
Tôpô trong không gian
n
ℝ

1
, x
2
, x
n
), Y(y
1
, y
2
,
y
n
) ñược xác ñịnh bởi:
2
1
( )
n
i i
i
XY x y
=
= −
∑
.
iii) Giả sử ñiểm M
0
(x
1
, x
2

ðịnh nghĩa 1: Hàm
n
biến là ánh xạ
:
n
f E
⊂ →
ℝ ℝ1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
n n
x x x f x x x
֏
.
E ñược gọi là tập xác ñịnh của
f
.
ðể thuận lợi cho việc trình bày, trong chương này ta chỉ xét trường hợp hàm hai
biến, trường hợp hàm nhiều hơn hai biến xét tương tự.
ðịnh nghĩa 2: ðồ thị của hàm 2 biến
1 2
( , )
f x x
là tập hợp các ñiểm của không gian
3
ℝ

dạng


với mỗi số
0
ε
>
,
δ
∃
> 0 :
∀

(
)
,
M x y E
∈
tho
ả
mãn
(
)
0
0 ,M P
< <
ρ δ
thì
(
)
f M b
− <

f M
khi
o
M M
→
là với mọi dãy
ñiểm
{
}
n
M E
⊂
mà
0
lim
n
n
M P
→∞
=
thì
(
)
lim
n
n
f M b
→∞
=
.

ta còn xét giới hạn lặp như sau:
Giả sử
f(x,y) xác ñịnh trong hình chữ nhật
(
)
1
{ , : ,
o
Q x y x x d
= − <
0 2
}
y y d
− <

có thể trừ ra chính các ñoạn
,
o o
x x y y
= =
. Khi cố ñịnh một giá trị
y
thì hàm
( , )
f x y
trở
thành hàm một biến. Giả sử ñối với giá trị
y
cố ñịnh bất kỳ thoả mãn ñiều kiện
0 2

f x y
tại ñiểm
0 0 0
( , )
M x y
và viết:
(
)
0
0
lim ,
x x
y y
f x y b
→
→
=

giới hạn
(
)
0
lim ,
x x
f x y
→
,
y
cố ñịnh, gọi là giới hạn trong.
Tương tự, ta có thể phát biểu ñịnh nghĩa giới hạn lặp khác

tồn tại. Khi ñó các giới hạn lặp tồn tại và

(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
0
0
limlim , lim lim , lim , .
x x y y x x x x
y y
y y
f x y f x y f x y
→ → → →
→
→
= =

Từ ñịnh lý này ta thấy rằng việc thay ñổi thứ tự trong các giới hạn không phải bao giờ cũng
thực hiện ñược.
Ví dụ. Cho hàm số

17

3.1.3. Tính liên tục và liên tục ñều
ðịnh nghĩa 4: Cho hàm
( )

( )
f M
liên tục tại mọi ñiểm
P E
∈
thì ta bảo
( )
f M
liên tục trên E và kí
hiệu
( ) ( )
f M C E
∈
. Nếu hàm số
f
không liên tục tại
o
P
thì ta bảo
f
gián ñoạn tại
o
P
và
0
P
ñược gọi là ñiểm gián ñoạn của
f
.
Sau ñây chúng ta nghiên cứu một số tính chất của hàm liên tục.

(
)
0
δ ε
>
sao cho với mọi cặp ñiểm
( , ) ; ( , )
M x y E M x y E
′ ′ ′
∈ ∈
mà
(
)
,M M
ρ δ
′
<
thì
( ) ( )f M f M
ε
′
− <
.
ðịnh lý 5 (Cantor): Nếu hàm số
f
liên tục trên tập ñóng và bị chặn
2
E
⊆
ℝ

tại ñiểm
( , )
P x y

và kí hiệu bằng một trong các kí hiệu sau:
( , )
( , ), , ( , )
x
u f x y
x y f x y
x x
∂ ∂
′
∂ ∂
.
Tương tự, ñạo hàm riêng của hàm số
u
ñối với biến y tại ñiểm
( , )
P x y
ñược kí hiệu
bằng một trong các kí hiệu:

( , )
( , ), , ( , ).
y
u f x y
x y f x y
y y
∂ ∂

M x y D
∈
, trong ñó
(
)
1, 1
M
− −
là
những số gia của các biến
x
và
1 2 3
b x b y b z
η
= + +
tương ứng. Hàm
( , )
u f x y
=
ñợc gọi
là hàm khả vi tại ñiểm
( , )
M x y
nếu số gia toàn phần của nó tại ñiểm
( , )
M x y
có thể biểu
diễn dưới dạng:
( )

các ñạo hàm riêng của chúng.
ðịnh lý 6: Nếu hàm
( , )
f x y
khả vi tại ñiểm
( , )
M x y
thì tại ñiểm ñó nó liên tục, có ñạo
hàm riêng theo mỗi biến và
( , ) , ( , )
f f
x y A x y B
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
. Như vậy
( )
f f
f x y o
x y
ρ
∂ ∂
∆ = ∆ + ∆ +
∂ ∂
.
ðịnh lý 7: Nếu tại ñiểm
( , )
M x y
các ñạo hàm riêng

.
ðịnh nghĩa 8 (ðạo hàm theo hướng): Nếu tồn tại giới hạn
0
( ) ( )
lim
o
o
MM
o
f f M F M
MM
→
∂ −
=
∂

ℓ

thì giới hạn ñó ñược gọi là ñạo hàm của hàm
( , )
f x y
theo hướng
o
MM
=
 
ℓ
cho trước.
ðịnh lý 8: Nếu hàm
( , )

19

Giả sử
( , )
u f x y
=
là hàm khả vi trong miền
2
D R
⊂
;
( , ), ( , )
x x t s y y t s
= =
là
những hàm khả vi ñối với biến
,
t s
trong miền
D
′
và có miền giá trị thuộc
D
. Khi ñó hàm
hợp
(
)
(
)
(

xx x
x
f f
f x y f x y
x x x
∂ ∂ ∂
′
 
′′ ′
= = =
 
∂ ∂ ∂
 
;

( )
2
2
( , ) ( , )
yy y
y
f f
f x y f x y
y y y
′
 
∂ ∂ ∂
′′ ′
= = =
 

′
 
∂ ∂ ∂
′′ ′
= = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
.
ðịnh lý sau cho thấy trong một số trường hợp ta có thể thay ñổi thứ tự lấy ñạo hàm
riêng.
ðịnh lý 8: Nếu các ñạo hàm riêng hỗn hợp
2
f
y x
∂
∂ ∂
và
2
f
x y
∂
∂ ∂
tồn tại trong một lân cận nào
ñó và liên tục tại ñiểm
( , )
M x y
thì
( )
2

( , )
u f x y
=
nếu tồn tại
ñược ñịnh nghĩa như sau:
(
)
1n n
d u d d u
−
=
.

20

Cách viết (hình thức):
n
n
d u dx dy u
x y
 
∂ ∂
= +
 
∂ ∂
 
.
3.4. Công thức Taylorr của hàm hai biến
Nếu hàm
( , )

∑
   
∂ ∂ ∂ ∂
+ + = + + + + +
   
∂ ∂ ∂ ∂
   
,
trong ñó
0 1
θ
< <
.
ðặc biệt khi
( , )
M x y
trùng với ñiểm gốc
O(0,0)
thì ta gọi công thức Taylorr là công
thức Maclorin.
3.5. Cực trị của hàm hai biến. Cực trị có ñiều kiện
3.5.1. Khái niệm cực trị
ðịnh nghĩa 1: Cho hàm số
( , )
u f x y
=
xác ñịnh trong miền mở D và ñiểm ( , )
o o o
P x y D
∈

( , )
o
S P R
,
o
P P
≠
.
ðiểm cực ñại ñịa phương và ñiểm cực tiểu ñịa phương ñược gọi chung là ñiểm cực trị ñịa
phương.
*) Chú ý: Tương tự như ñối với hàm số thực một biến, không mấy khó khăn ta nhận thấy
rằng giá trị cực ñại ñịa phương (tương ứng: cực tiểu ñịa phương) nhìn chung không phải là giá
trị lớn nhất (tương ứng: giá trị nhỏ nhất) của hàm số.
3.5.2. ðiều kiện tồn tại cực trị ñịa phương
ðịnh lý 3.1: Nếu hàm
( , )
f x y
có cực trị ñịa phương tại ñiểm
o
P
thì tại ñiểm
o
P
cả hai ñạo
hàm riêng của hàm
f
(nếu tồn tại) ñều bằng 0 hoặc ít nhất một trong hai ñạo hàm riêng
không tồn tại (ðó là những ñiểm tới hạn hoặc ñiểm dừng của hàm
( , )
f x y

f
C P
y
∂
=
∂
,
2
B AC
∆ = −
. Khi ñó:
(i) Nếu
0
∆ <
thì hàm số
f
có cực trị ñịa phương tại
o
P
(
0
A
<
thì
0
P
là ñiểm cực ñại,
0
A
>

/ 2 //
3 3, 3
x
x
z x z x
= − =
;
2
/ 2 // //
6 6, 12 , 0
y xy
y
z x z y z
= − = =
,
Xét hệ
2
2
3 3 0 1
1
6 6 0
x x
y
y

− = = ±


⇔
 

cố ñịnh trong một khoảng I nào ñó, có một hay nhiều giá trị y
0
sao cho F(x
0
, y
0
) =
0, ta nói phương trình (3.1) xác ñịnh một hay nhiều hàm số ẩn y theo x trong khoảng I. Vậy
hàm số f: I
→
R là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (3.1) nếu:
∀
x
∈
I, (x, f(x))
∈
U và F(x, f(x)) = 0
Ví dụ:
1) Từ phương trình
x + xy – y – 1 = 0
ta ñược

1
y
= −

Phương trình trên xác ñịnh một hàm số ẩn xác ñịnh trong R.

2) Từ phương trình
x

0
) = 0. Nếu
/
0 0
( , ) 0
y
F x y
≠
thì phương trình (3.1)

22

xác ñịnh trong một lân cận nào ñó của ñiểm x
0
một hàm số ẩn duy nhất y = f(x), thỏa mãn: y
0

= f(x
0
), liên tục, có ñạo hàm liên tục trong lân cận nói trên.
Chú ý:
+ ðổi vai trò của x và y Giả sử (x
0
, y
0
)
∈
U, F(x
0
, y

(3.1).
3.5.3.2. ðạo hàm hàm số ẩn
Giả sử giả thiết của ñịnh lý trên ñược thỏa mãn. Khi ñó phương trình (3.1) xác ñịnh
duy nhất
3.5.3.3. Cực trị có ñiều kiện
Người ta gọi cực trị có ñiều kiện của hàm số
( , )
z f x y
=
là cực trị của hàm ñó ñạt ñ-
ược với ñiều kiện các biến
x
và y thoả mãn phương trình
(
)
, 0
g x y
=
(Phương trình ràng
buộc).
ðể tìm cực trị có ñiều kiện với ñiều kiện ràng buộc
(
)
, 0
g x y
=
ta lập hàm
Lagrange:
(
)


∂ ∂


∂ ∂

+ =

∂ ∂

=


(4.1)
Từ hệ này ta có thể xác ñịnh
, ,
x y
λ
.
Vấn ñề tồn tại và ñặc tính của cực trị ñịa phương ñược xác ñịnh dựa trên cơ sở xét dấu
của vi phân cấp hai của hàm bổ trợ:
2 2 2
2 2 2
2 2
2
F F F
d F dx dxdy dy
x x y y
∂ ∂ ∂
= + +

0
d F
>
thì hàm
( , )
f x y
có cực tiểu có ñiều kiện
+ Nếu
0
A
>
thì hàm
( , )
f x y
chưa cho kết luận (cần phải khảo sát thêm).
*) Nhận xét:
(i) Việc tìm cực trị của hàm ba biến hoặc nhiều hơn ba biến ñược tiến hành tương tự như hàm
hai biến.
(ii) Tương tự như hàm hai biến, ta có thể tìm cực trị có ñiều kiện của hàm ba biến hoặc nhiều
hơn với một hoặc nhiều phương trình ràng buộc ( số phương trình ràng buộc phải ít hơn số
biến). Khi ñó cần lập hàm bổ trợ với số thừa số chưa xác ñịnh bằng số phương trình ràng
buộc.
(iii) Ngoài phương pháp thừa số bất ñịnh Lagrange người ta còn dùng phương pháp khử biến
số ñể tìm cực trị có ñiếu kiện (xem bài tập cuối chương).
Ví dụ:
1) Tìm cực trị của hàm số
2 2
2 3
z x y
= +


*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
1) Tìm các giới hạn sau:
a)
( )
2
2
0
2
lim 1
x xy
x
y
xy
+
→
→
+
b)
( )
( )
2
2
2
2
0
2
2 1 1
lim
2

x
y
xy
x y
→
→
+
b)
0
0
sin
lim
sin
x
y
x shy
shx y
→
→
−
−24

c)
2 2
2
0
0

(0,0)
o
M
.
4) Chứng minh rằng ñối với hàm
( , )
x y
f x y
x y
−
=
+
ta có:
( )
(
)
0 0
lim lim , 1
x y
f x y
→ →
=
;
( )
(
)
0 0
lim lim , 1,
y x
f x y

+

 

=


b)
3 3
2 2
( , ) (0,0).
( , )
0 ( , ) (0,0)
x y
khi x y
f x y
x y
khi x y
−

≠

=
+


=


6) Tìm các ñiểm gián ñoạn của các hàm số sau.

f x y
x y
π
=
− −
có liên tục ñều trong miền
2 2
1
x y
+ <
hay không.
9) Khai triển hàm
2 2
( , ) 2 6 3 5
f x y x xy y x y
= − − − − +
theo công thức Taylorr trong lân
cận ñiểm
(1, 2)
A
−
.
10) Tìm số gia của hàm
2 2
( , ) 2
f x y x y xy xy
= + −
khi chuyển từ giá trị
1, 1
x y

1 0
x y
+ − =
.