ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN TOÁN KINH TẾ
1
Chương 1
Giới thiệu mô hình toán kinh tế
Số tiết: 6 (Lý thuyết: 4 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
* Mục tiêu:
- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:
Chương này nhằm trang bị cho người học chuyên ngành kinh tế, kế toán, tài chính ngân
hàng, quản trị kinh doanh những kiến thức cơ bản về môn hình và mô hình toán kinh tế. Hiểu được
các bước xây dựng mô hình toán kinh tế và có thể vận dụng vào thực tế để xây dựng được mô hình
toán kinh tế đồng thời đo lường được sự tác động của biến ngoại sinh đến biến nội sinh.
- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:
Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu
và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi của biến ngoại sinh đến sự biến động
của biến nội sinh. Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và
giải quyết vấn đề. Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục
đích riêng biệt.
- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được
Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm tìm kiếm các mô hình kinh tế phản ánh
mối quan hệ giữa biến nội sinh và các biến ngoại sinh.
1.1. Các khái niệm
1.1.1. Khái niệm mô hình
Mô hình là sự phản ánh hay mô tả một đối tượng hay một thực thể nào đó bằng ngôn
ngữ, đường nét, hình ảnh, hình khối, mầu sắc, lời văn,
Như vậy, việc mô tả đối tượng cần nghiên cứu bằng mô hình liên quan đến:
- Trình độ nhận thức, tầm hiểu biết của người nghiên cứu về đối tượng.
- Phương pháp diễn đạt sự nhận thức về đối tượng.
1.1.2. Mô hình kinh tế
Mô hình kinh tế là sự phản ánh hay mô tả các đối tượng, các thực thể hay các hoạt động
kinh tế. Các vấn đề liên quan tới những đối tượng này, những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn

1.2.3. Phân loại mô hình
Chúng ta có thể phân loại mô hình theo các căn cứ khác nhau phụ thuộc vào nội dung,
hình thức, quy mô, phạm vi, công cụ hay mục đích…
- Theo trạng thái biểu hiện của các chỉ tiêu: Mô hình dạng hiện vật và mô hình dạng giá trị.
- Theo thời hạn: Mô hình ngắn hạn và mô hình dài hạn.
- Theo sự biến động của các yếu tố thời gian:
+ Mô hình tĩnh: Mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở một thời điểm hay một khoảng thời
gian đã xác định.
+ Mô hình động: Mô tả hiện tượng kinh tế mà trong đó có các yếu tố biến động theo thời
gian gọi là mô hình động.
- Theo phạm vi nghiên cứu:
+ Mô hình kinh tế vĩ mô: Mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế,
một khu vực kinh tế gồm một số nước, ở mức gộp lợi
+ Mô hình kinh tế vi mô: Mô tả một thực thể kinh tế nhỏ hoặc những hiện tượng kinh tế
với các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết.
3
1.3. Các bước xây dựng mô hình toán kinh tế
1.3.1. Lựa chọn vấn đề nghiên cứu
1.3.2. Lựa chọn cơ sở lý luận
Đó là mục tiêu người nghiên cứu, có thể là mục tiêu nhận thức, phân tích hoặc là dự đoán
1.3.3. Lựa chọn và phân tích mô hình
Dựa vào cơ sở lý luận, mối quan hệ giữa các biến để quyết định lựa chọn các biến số và
các phương trình của mô hình.
Sử dụng các công cụ toán học để phân tích kỹ lưỡng hơn các quan hệ giữa các biến số kể
cả các quan hệ tiềm ẩn.
Xác lập mối liên hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh với các biến ngoại sinh và các tham số.
1.3.4. Mô phỏng thực tiễn và hiệu chỉnh mô hình
Trên cơ sở quan hệ giữa các biến được biểu thị thông qua các biểu thức toán học, có thể
mô phỏng giả định các tình huống biến động của một số biến số để xem xét phản ứng của các
biến số liên quan.

, ,X
i
, ,X
n
)
Ta có lượng thay đổi trung bình của Y theo X
i
là: ρ =
Xi
Yi
∆
∆
Trong trường hợp F khả vi theo X
i
ta có tốc độ thay đổi trung bình được tính:
ρ =
i
X
y
∂
∂
Ví dụ: Chi phí C(Q) phụ thuộc sản lượng Q và được mô hình hoá như sau:
C(Q) = Q
3
– 61,25Q
2
+ 1528,5Q + 2000
Sự thay đổi của C khi tăng (giảm) một đơn vị sản lượng, ký hiệu MC, được xác định bởi
biểu thức:MC(Q) =
Q

F
∂
∂
∆X
2
+ +
n
X
F
∂
∂
∆X
n
Gọi ∆X
1
, ∆X
2
,…, ∆X
n
là các vi phân của biến ngoại sinh thì ta có thể sử dụng công thức
vi phân toàn phần:
dy =
1
X
F
∂
∂
dX
1
+

1
+ 6 ∆X
2
+ 3∆X
3
= 11
- Trường hợp giữa biến ngoại sinh và biến nội sinh được biểu diễn dưới dạng hàm hợp
thì để đo lường sự thay đổi tuyệt đối ta làm như sau:
Giả sử Y = F(X
1
, X
2
, X
3
)
Trong đó:
X
2
= G(X
1
)
X
3
= H(X
1
)
Y, X
2
, X
3

3
X
X
∂
∂
+
1
X
F
∂
∂
ảnh hưởng ảnh hưởng ảnh hưởng ảnh hưởng
tổng cộng gián tiếp gián tiếp trực tiếp
thông qua X
2
thông qua X
3
Ví dụ 1.2: Cho hàm sản lượng Q phụ thuộc vào giá cả một số loại hàng hoá.
Q = 6P
1
+ 5P
2
+ 4P
3
Trong đó:
2P
2
+ P
1
= 6 → P

dP
dP
+
3
P
Q
∂
∂

1
3
dP
dP
+
1
P
Q
∂
∂
= 5(-1/2) + 4(3/4) + 6 = 6,5
Khi P
1
, P
2
, P
3
thay đổi 1 đơn vị sẽ làm cho Q thay đổi 6,5 đơn vị. Trong đó bản thân P
1
làm Q
thay đổi 6 đơn vị, P

X
i
E
(X
0
) =
i
X
XF
∂
∂ )(
0
)(
0
0
XF
X
i
Hệ số này cho biết tại X = X
0
, khi biến X thay đổi 1% thì Y thay đổi bao nhiêu %. Nếu hệ
số co giãn
Y
X
i
E
(X
0
) > 0 thì X, Y thay đổi cùng hướng, ngược lại
Y

E
(X
0
) là hệ số co giãn của Y theo X
i
tính tại X
0
.
Y
E
cho chúng ta biết tại X =
X
0
, tỉ lệ % thay đổi của Y khi tất cả các biến X
i
cùng thay đổi 1%. Xu hướng thay đổi của Y phụ
thuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co giãn.
Nói chung hệ số co giãn của Y phụ thuộc vào điểm chúng ta tính, tức là phụ thuộc vào
các biến ngoại sinh. Tuy nhiên, nếu quan hệ giữa Y và các biến ngoại sinh có dạng
Y =
0
α
∏
=
n
i
i
X
i
1

n1,
)
và do đó: E
y
=
∑
=
n
i
i
1
α
Ví dụ 1.3:
Với Q là mức sản lượng, K là vốn và L là khối lượng lao động được sử dụng người ta có
mô hình quen thuộc (mô hình hàm sản xuất), giả sử có dạng:
Q = ak
α
L
β

với α,β> 0. Ta có:
Q
K
E
= α,
Q
L
E
= β và
Q

Nếu trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, khi này sự biến động
của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng). Hệ số tăng
trưởng của một biến đo tỉ lệ biến động của biến theo đơn vị thời gian.
Giả sử Y = F(X
1
, X
2
, , X
n
, t) với t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của Y – ký hiệu là
r
y
- được định nghĩa theo công thức: r
y
=
Y
t
Y
∂
∂
Thông thường r
y
được tính theo tỉ lệ %.
Ví dụ: Với công thức tính lãi kép liên tục, ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t (V
t
) tính
theo công thức: V
t
= V
0

minh các công thức sau:
Cho U = G(t), V = H(t)
Nếu Y = UV thì r
Y
= r
U
+ r
V
Nếu Y = U/V thì r
Y
= r
U
– r
V
Nếu Y = U + V thì r
Y
=
VU
U
+
r
U
+
VU
U
+
r
V
Nếu Y = U – V thì r
Y

=
n
i
Y
Xiy
Er
Trong đó,
Y
Xi
E
là hệ số co giãn của Y theo X
i
và r
Xi
là hệ số tăng trưởng của X
i
.
1.4.3. Tính hệ số thay thế (MRS)
Trong nhiều mô hình ta thấy một biến nội sinh có thể phụ thuộc nhiều biến ngoại sinh và
các biến ngoại sinh có thể thay thế lẫn nhau. Ta có thể tính hệ số thay thế của các biến cho nhau
như sau:
Giả sử: Y = F(x
1
, x
2
, , x
n
) là hàm khả vi theo tất cả các biến:
7
Ta có:

và thay đổi x
1
, x
2
sao cho y không đổi, tức y = y
0
. Ta có:
0 =
1
x
F
∂
∂
dx
1
+
2
x
F
∂
∂
dx
2
⇒
2
1
dx
dx
= -
1

= -
i
j
x
F
x
F
∂
∂
∂
∂
Dấu (-) ở vế phải chỉ mang ý nghĩa là khi ta giảm mức sử dụng x
j
thì phải tăng mức sử
dụng x
i
. Như vậy, chỉ khi hệ số thay thế âm thì 2 yếu tố này mới có vai trò thay thế nhau thực sự;
trường hợp ngược lại ta thấy 2 yếu tố này có tính chất đồng bộ, kéo theo lẫn nhau. Chẳng hạn khi
tăng số giờ làm việc trong ngày đến một mức nào đó thì sau mức này muốn đảm bảo số sản
phẩm sản xuất ra trong một ca không đổi buộc phải tăng tiền lương cho mỗi giờ làm việc.
Ví dụ 1.4:
Cho hàm số: Q

(L,K) = 20L + 15K
Hỏi: khi ta sử dụng thêm một đơn vị vốn thì phải giảm bao nhiêu đơn vị lao động?
Diễn giải
dL
dK
= - 20/15 = -4/3
Vậy khi tăng sử dụng thêm một đơn vị vốn thì ta phải giảm 4/3 đơn vị lao động.

0,4
L
0,6
Hỏi: nếu tăng quy mô sản xuất 6 lần thì sản lượng đầu ra có hiệu quả không?
Diễn giải:
Với quy mô: λ = 6 ⇒ λX
0
= (6K, 6L)
⇒ Q(6k, 6L) = 0,4 (6K)
0,4
(6L)
0,6
= 0,4. 6
0,4 + 0,6
. K
0,4
.L
0,6
= 6 Q
Kết luận: Tăng quy mô không làm thay đổi hiệu quả.
* Nhận xét: Đối với hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với 2 yếu tố vốn (K) và lao động
(L): Q = aK
α
L
β
+ Khi α + β > 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô.
+ Khi α + β < 1 thì hiệu quả giảm theo quy mô.
+ Khi α + β = 1 thì hiệu quả không đổi theo quy mô.
* Tài liệu học tập
1. Nguyễn Quang Dong (2006) Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.

2
(Q: là sản lượng). Giá cả P được xác
định bởi phương trình: Q = 800 – 2,5P
a, Tìm hàm chi phí cận biên MC.
b, Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát sự thay đổi của nó.
c, Tìm hệ số co giãn của TC tại P = 80.
9
Chương 2
Phân tích cân bằng tĩnh
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
* Mục tiêu:
- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:
Chương này nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về mô hình thị trường,
xây dưng mô hình thị trường và phân tích cân bằng tĩnh. Hiểu được các bước xây dựng mô hình toán
kinh tế và có thể vận dụng vào thực tế để xâ dựng được mô hình thị trường đồng thời đo lường được
sự tác động của các biến đến cân bằng thị trường.
- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:
Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu
và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi của các biến trong mô hình thì trường.
Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục đích riêng biệt.
- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được
Giúp cho người học cảm thấy thích thú với bài toán cân bằng thị trường.
2.1. Mô hình thị trường- Mô hình tuyến tính
2.1.1. Xây dựng mô hình một loại hàng hoá
Thị trường 1 loại hàng hóa:
Hàm cung : Q
s
= -a
0

Hàm cung : Q
s
= -1 + P
Hàm cầu : Q
d
= 3 – P
Hãy tìm mức sản lượng và giá cân bằng của thị trường?
2.1.2. Thị trường hàng hoá có liên quan
- Thị trường 2 loại hàng hóa:
Hàng hóa 1có hàm cung và cầu như sau:



++=
++=
21211110
21211110
1
1
PbPbbQ
PaPaaQ
d
s
Hàm cung cầu của hàng hóa 2:



++=
++=
22212120

20202222212121
10102121211111
baPbaPba
baPbaPba



−=+
−=+
20222121
10212111
cPcPc
cPcPc
- Thị trường n loại hàng hóa:
Giả sử sản phẩm thứ i có hàm cung và cầu như sau:





++++=
++++=
niniiid
niniiis
PbPbPbbQ
PaPaPaaQ
i
i
cPcPcPc
cPcPcPc
cPcPcPc
2.2. Cân bằng trong phân tích thu nhập quốc dân
2.3. Phân tích vào ra
2.3.1. Khái niệm
Bảng I/O lần đầu tiên được Wassily Leotief đưa ra vào năm 1927. Thực chất của bảng
này là phương pháp sổ kép ghi lại phân phối sản phẩm của các ngành trong nền kinh tế quốc dân
và quá trình hình thành sản phẩm của mỗi ngành.
2.3.2. Ngành thuần tuý
Mô hình I/O coi nền kinh tế quốc dân là một thể thống nhất gồm n ngành sản xuất thuần
túy có quan hệ mật thiết với nhau.
Có tương ứng một – một giữa ngành thuần túy và sản phẩm. Về nguyên tắc với mỗi sản
phẩm ta có một ngành thuần túy.
Một số nhận xét:
- Mỗi quốc gia có thể có nhiều ngành thuần túy và ngành thuần túy có thể nằm trong
nhiều ngành kinh tế khác nhau.
- Khi nhóm gộp các sản phẩm cần tuân thủ những quy tắc, các tiêu chuẩn nhất định.
2.3.3. Các giả thuyết cơ bản
- Đồng nhất về mặt công nghệ
- Đồng nhất về mặt sản phẩm
- Công nghệ tuyến tính, cố định
- Hiệu quả dây truyền
2.3.4. Phân tích bản cân đối liên ngành
11
Năm 1941, Wassily Leontief lần đầu trình bày mô hình cân đối liên ngành (còn gọi là mô
hình I/O) trong công trình “Cấu trúc của nền kinh tế Hoa kỳ”. Ngày nay, mô hình I/O và các ứng
dụng cụ thể trong phân tích và dự báo về cấu trúc kinh tế của một đất nước hoặc một vùng trên
cơ sở xem xét các mối quan hệ liên ngành trong nền kinh tế đã và đang được ứng dụng rộng rãi ở
nhiều nước trên thế giới.


Cn Gn In Xn - Mn
X1
X2
…
Xi
…
Xn
Giá trị gia tăng
L1 L2 L3 … Ln
K1 K2 K3 … Kn
P1 P2 P3 … Pn
T1 T2 T3 … Tn
GI
X1 X2 X3 … Xn
Ô
Ô
I:
I: Thể hiện chi phí trung gian của các ngành; Phần tử X ij của ma trận X thể hiện ngành
j sử dụng sản phẩm i làm chi phí trung gian trong quá trình sản xuất sản phẩm j. Tổng theo cột
của ÔI thể hiện tổng chi phí trung gian của từng ngành (intermediate input).
12
Ô
Ô
II:
II: Những sản phẩm của các ngành được sử dụng cho nhu cầu sử dụng cuối cùng, bao
tiêu dùng cuối cùng của hộ gia đình (C), tiêu dùng của chính phủ (G), tích luỹ tài sản (I), xuất
khẩu ròng: xuất khẩu (X) - nhập khẩu (M).
Ô
Ô

+…+X
2j
+…+ X
2n
+ B
2
………………………………………
X
n
= X
n1
+ X
n2
+…+X
nj
+…+ X
nn
+ B
n
Có thể nhận thấy, mỗi ngành trong nền kinh tế có quan hệ rất mật thiết với ngành khác
thông qua việc mua các yếu tố đầu vào từ các ngành, cũng như cung cấp sản phẩm đầu ra cho
tiêu dùng trung gian của các ngành. Một ngành có điều kiện phát triển sẽ kéo theo nhu cầu đầu
vào tăng cao của một số ngành khác. Đến lượt mình, các ngành khác lại có điều kiện mở rộng
sản xuất, tạo ra nhu cầu đầu vào từ các ngành khác nữa và sự lan tỏa này diễn ra trong toàn bộ
nền kinh tế qua rất nhiều vòng.
Để phân tích tác động trực tiếp của một ngành đến các ngành đầu vào của nó, người ta sử
dụng hệ số chi phí trung gian trực tiếp. Hệ số này cho biết để tạo ra được một đồng giá trị sản
xuất của một ngành nào đó, cần phải yêu cầu bao nhiêu giá trị đầu vào mua từ trực tiếp từ các
ngành khác Hệ số chi phí trung gian trực tiếp aij cho biết để sản xuất được 1 đồng giá trị sản
xuất của ngành j cần yêu cầu bao nhiêu giá trị trung gian mua từ ngành i, được tính theo công 2211
222221212
112121111
13
Hay:







=−−−−
=−−−+−
=−−−−
nnnnnn
nn
nn
BXaXaXa
BXaXaXa
BXaXaXa
)1 (

)1(
)1(
2211

m
a
n
a
n
aaa
n
aaa
A

21

2

2221
1

1211











2
1
BXAI
=−=>
)(
(*)
Trong đó:
A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp
a
ij
: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật
Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành
Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng
[I-A] là ma trận Leontief.
Công thức (*) có thể biến đổi để biểu diễn quan hệ cơ bản nhất của mô hình I/O, cho
phép đo lường sự thay đổi của giá trị sản xuất của từng ngành cũng như tổng giá trị sản xuất của
cả nền kinh tế dưới tác động của sự thay đổi về tiêu dùng cuối cùng về sản phẩm của từng ngành:
BAX ∆−=∆
−1
)1(
Ma trận
1
)1(
−
− A
là ma trận hệ số chi phí toàn phần, hay thường gọi là ma trận nghịch
đảo Leontief, ký hiệu là ma trận . Ma trận này cho biết chi phí toàn phần để sản xuất ra một đơn
vị sử dụng cuối cùng của một ngành nào đó.
- Mô hình I/O mở rộng

(P tính bằng triệu đồng/tấn; Q tính bằng nghìn tấn)
Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường ngô?
Câu 2:
Có số liệu giả định về cung, cầu thịt lợn ở thị trường Phú Thọ năm 2005 như sau:
Qd = 118 - 4P
Qs = 5P - 80
(P tính bằng triệu đồng/tấn; Q tính bằng nghìn tấn)
Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường? Tính độ co giãn của cầu đối với giá, độ co giãn
của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?
Câu 3:
Giả định cầu, cung về máy điều hòa ở thị trường Phú Thọ năm 2008 được biểu diễn bằng
phương trình: Q
D
= 120 - 10P và Q
S
= 12P – 45
(P tính bằng triệu đồng/chiếc; Q tính bằng chiếc)
a/. Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường máy điều hòa? Hãy tính độ co giãn của cầu,
độ co giãn của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?
b/. Tính lượng dư thừa và thiếu hụt của thị trường ở các mức giá 7 triệu đồng/chiếc và 9 triệu
đồng/chiếc?
Câu 4:
Có số liệu giả định về cung, cầu thịt lợn ở thị trường Phú Thọ năm 2005 như sau:
Qd = 118 - 4P
Qs = 5P - 80
(P tính bằng triệu đồng/tấn; Q tính bằng nghìn tấn)
a/. Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường? Tính độ co giãn của cầu đối với giá, độ co
giãn của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?
15
b/. Tính lượng dư thừa và thiếu hụt của thị trường ở mức giá 19 triệu đồng/tấn và 24 triệu

0
, ta có x = x
0
+ ∆x và
đặt ∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
) thì
Ký hiệu dy/dx, df/dx
Đạo hàm bên phải:
Đạo hàm bên trái:
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó.
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo
hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
(u + v) cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
(u.v) cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
(u/v) cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và
2
'
''
v
uvvu
v
u −

y
y
x
∆
∆
=
+→∆ 0
lim'
x
y
y
x
∆
∆
=
−→∆ 0
lim'
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì
hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
3.1.2. Mối quan hệ giữa hàm doanh thu biên và doanh thu bình quân
Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ suy ra:MR = TR’
Q
Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đo
lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo
lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị.
Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Doanh thu bình quân: AR
3.1.3. Mối quan hệ giữa hàm chi phí cận biên và hàm chi phí trung bình

f
,),(
000000
'
yx
x
yx
x
yxf
x
∂
∂
∂
∂
Đặt ∆xf = f(x
0
+ ∆x, y
0
)-f(x
0
,y
0
): Số gia riêng của f tại M
0
.
x
f
x
x
∆

2
2
yxf
x
f
x
f
x
xx
=
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
xy
f
x

=








∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
yy
f
y
f
y
yy
=
∂∂
∂
=




u
cosv, u = xy, v = x/y
3.2. Ứng dụng của vi phân trong phân tích kinh tế
3.2.1. Vi phân và hệ số co giãn điểm
Khái niệm vi phân:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
. Gọi Δx là số gia của biến số tại x
0
. Tích f'(x
0
).Δx
được gọi là vi phân của hàm số f tại x
0
ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x
0
).
Ký hiệu : df(x
0
) = f'(x
0
).Δx Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay
Δx = dx và có : df(x
0
) = f(x
0
)dx
Cho hàm số y = f(x) và f(
n-1)
khả vi, ta ký hiệu d

x
yE
y
x
.
'
=
Ví dụ: sự co giãn tại một điểm trên đường cầu. Áp dụng phương pháp tính co giãn điểm
khi có sự thay đổi vô cùng nhỏ của lượng cầu và các yếu tố ảnh hưởng.
3.2.2. Vi phân toàn phần
Định nghĩa:
Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi tại (x
0
, y
0
) nếu số gia toàn phần

theo các số gia ∆ x, ∆ y của các biến x, y tại (x
0
, y
0
) có thể được viết dưới dạng

Trong đó A, B là các hằng số (không phụ thuộc ∆ x, ∆ y) và α → 0, β → 0 khi ∆ x
→
0, ∆ y
→

0.
Biểu thức được gọi là vi phân của hàm số f tại (x

∂
=
∂
∂
y
v
v
f
y
u
u
f
y
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
(với g ≠ 0).
3.2.3. Đạo hàm toàn phần
Cho hàm số y = f[t, x
1

cận ∆ của M
0
sao cho f(M) ≤ f(M
0
), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M
0
), ∀M ∈ ∆). F(M
0
) gọi chung là cực
trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: z = x
2
+ y
2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu z(x
0,
y
0
) là cực trị của z và z có đạo hàm riêng tại (x
0
,y
0
) thì:
Z’x(x
0
,y
0
) = 0
Z’y(x

Nếu |H
1
|<0
|H
2
|>0 thi z đạt cực đại
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8, với điều kiện z = x
3
+ y
3
- Cực trị của hàm nhiều biến:
Cho hàm số y = f(x
1
,x
2
…x
n
)
Điêu kiện cần để hàm số đạt cực trị:








fff
fff
H

21
22221
11211
=
Đặt:
nnnn
n
n
n
fff
fff
fff
H
ff
ff
HfH

, ,
21
22221

- Cực trị của hàm hai biến
Cho hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện.
Định lý: Nếu M
0
(x
0
,y
0
) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với g’
x
,g’
y
không đồng thời bằng 0 thì:
Điều kiện cần có cực trị là:





=−=
=−=
=−=
0),(
0
0
yxgcL
gfL
gfL
yyy

0
, xét định thức
Hessian đóng:
• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
21









=−=
=−=
=−=
=−=
0
0

0
0
222
111
gcL
gfL
gfL
gfL
nnn

0
(x
0
,y
0
), ta xét định thức Hessian đóng:
nnnnn
n
n
n
LLLg
LLLg
LLLg
ggg
H

0
21
222212
112111
21
=
- Nếu |H
2
|<0, |H
3
|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu

2
= 1
25. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: g = 6 – 4x
2
– 3y với điều kiện x
2
+ y
2
– 3xy = 1
23
Chương 4
Bài toán tối ưu hóa sản xuất và tiều dùng
Số tiết: 9 (Lý thuyết: 6 tiết; bài tập, thảo luận: 3 tiết)
* Mục tiêu:
- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:
Chương này nhằm giúp cho người học củng có lại kiến thức về đạo hàm, hàm số, vi phân và
cực trị trong toán học. Hiểu được mối quan hệ giữa doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp, lợi ích
và nhu cầu của người tiêu dùng trong những điều kiện giới hạn (hay có những rằng buộc).
- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:
Người học có thể ứng dụng bài toán tối ưu hóa trong sản xuất và tiêu dùng để có thể hiểu
hơn về các hoạt động của doanh nghiệp và có cách lựa chọn thông minh hơn cho bản thân nhằm
đạt được lợi ích tối ưu và chi phí tối thiểu.
- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được
Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm và vận dụng bài toán tối ưu hóa lợi ích
trong tiêu dùng cho bản thân.
4.1. Các bài toán
4.1.1. Bài toán tối ưu hoá sản xuất
Giả sử xét một doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm hàng hoá. Để sản xuất ra sản phẩm đó,
doanh nghiệp cần sử dụng n yếu tố đầu vào khác nhau. Khi biết được chi phí cho một đơn vị yếu
tố đầu vào, lúc đó doanh nghiệp có thể gặp phải 2 tình huống sau:

2
, , x
n
) hay có thể viết Q = F(X)
Trong đó X = (x
1
, x
2
, , x
n
) và Q được gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp. Vì doanh
nghiệp có thể lựa chọn mục tiêu tối đa hoá sản lượng hoặc cự tiểu hoá chi phí nên chúng ta phân
ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: Tối đa sản lượng
Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức x
1
, , x
n
để sản
xuất. Do biết được giá của mỗi đơn vị yếu tố đầu vào, ta có thể viết được hàm tổng chi phí sau:
P
1
x
1
+ P
2
x
2
+ + P
n

j
= K
Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí
Ta gọi Q
0
là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Khi đó bài toán trở thành:
Xác định x
j
≥ 0 (j = 1, , n) để cho hàm số:
∑
=
n
j 1
P
j
x
j
→ Min (chi phí sản xuất nhỏ nhất).
Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cần sản xuất:
Q = F(x
1
, x
2
, , x
n
) = Q
0
4.1.2. Bài toán tiêu dùng
Tác nhân hoạt đông trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hoá gọi là người tiêu dùng. Trong trường
hợp hàng hoá được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình.

+ dy = f
‘
(x).dx
+ d
2
y = d(f
‘
(x).dx) = f
’’
(x)d
2
x
d
2
y < 0 khi f
’’
(x) < 0
d
2
y > 0 khi f
’’
(x) > 0
* Dùng vi phân để khảo sát cực trị của hàm 2 biến
Giả sử y = f(x
1
, x
2
). Ta có: dy = f
1
dx