MỤC LỤC
Trang
Phần I. Giới thiệu đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I. Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II. Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
III. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
IV. Giả thuyết khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Phần II. Cơ sở lí luận của đề tài. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học. . . . . . . . . . . . . 4
II. Phương pháp dạy học tích cực và kỹ thuật dạy học
tích cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III. Động não là gì?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV. Quy tắc của động não. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
V. Đặc điểm và yêu cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
VI. Các bước tiến hành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
VII. Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
VIII. Các ưu điểm và nhược điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IX. Vận dụng trong dạy học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Phần III. Nội dung của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I. Thực hành giảng dạy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Ví dụ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Ví dụ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Ví dụ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II. Kiểm tra đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1. Đề kiểm tra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Đáp án đề kiểm tra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Kết quả kiểm tra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Phân tích kết quả kiểm tra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III. Một số đề xuất nhằm vận dụng có hiệu quả kỹ thuật
động não trong dạy học bất đẳng thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sáng tạo cho học sinh. Nhưng vận dụng như thế nào cho phù hợp với mục tiêu
bài học, nội dung chương trình, phân bổ thời gian, trình độ của học sinh, là
vấn đề không đơn giản và yêu cầu có sự đầu tư thích đáng. Vì vậy, tôi chọn
đề tài “Vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức nhằm phát
huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh” làm đề tài nghiên cứu của mình.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm có hạn nên đề tài chỉ dừng ở việc
vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề xuất một số biện pháp cụ thể dựa trên những kinh nghiệm của bản
thân trong quá trình giảng dạy nhằm vận dụng có hiệu quả kỹ thuật động não
vào dạy học bất đẳng thức.
IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trong quá trình giảng dạy nếu vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học
bất đẳng thức thì không chỉ đạt được yêu cầu về mặt kiến thức mà còn phát
huy được tính tích cực, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự tin, có hứng
thú, niềm say mê để tiếp tục trau dồi các bài toán về bất đẳng thức.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
2
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu liên quan
đến đề tài như: Sách giáo khoa, tài liệu về tâm lí, giáo dục, tài liệu về phương
pháp dạy học Toán, tài liệu về bất đẳng thức,
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc vận dụng các kỹ thuật
dạy học tích cực ở trường THPT Đông Sơn I.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham dự các buổi họp chuyên
môn, trao đổi ý kiến với các giáo viên tổ Toán ở trường THPT Đông Sơn I.
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm bao gồm dạy và
kiểm tra đối với các lớp 10A5 năm học 2007 – 2008, 10A10 năm học 2010 –
2011 và 10A5 năm học 2011 – 2012 của trường THPT Đông Sơn 1.

phải phối hợp, vận dụng một cách phù hợp nhiều kỹ thuật dạy học tích cực
khác nhau.
Trong quá trình đổi mới các phương pháp dạy học thì việc sử dụng các
kỹ thuật dạy học tích cực có ý nghĩa đặc biệt trong việc phát huy sự tham gia
tích cực và có hiệu quả của người học vào quá trình dạy học. Do đó, áp dụng
các kỹ thuật này trong dạy học có tác dụng kích thích tư duy, khả năng sáng
tạo và sự cộng tác làm việc của người học. Các kỹ thuật dạy học tích cực đang
được áp dụng rộng rãi hiện nay mà chúng ta có thể kể đến là: động não, XYZ,
bể cá, ổ bi, tia chớp, 3 lần 3, Chúng có thể được áp dụng thuận lợi trong
làm việc nhóm, song cũng có thể được kết hợp thực hiện trong các hình thức
dạy học toàn lớp nhằm phát huy tính tích cực của người học. Trong đó, kỹ
thuật động não được coi là có tác dụng rất hữu hiệu trong việc phát triển khả
4
năng tư duy sáng tạo cho học sinh không chỉ trong quá trình học tập và nghiên
cứu, mà còn trong cả công việc và cuộc sống sau này của họ.
III. ĐỘNG NÃO LÀ GÌ?
Kỹ thuật động não do Alex Osborn (Mỹ) đưa ra năm 1941, được phát
triển dựa trên một kỹ thuật truyền thống từ Ấn Độ. Động não (brainstoming),
hay còn gọi là công não / tấn công não / tập kích não, là một kỹ thuật nhằm
huy động những tư tưởng mới mẻ, độc đáo về một chủ đề của các thành viên
trong quá trình thảo luận xung quanh một vấn đề, để từ đó rút ra những giải
pháp được cho là khả thi nhất. Các thành viên được cổ vũ tham gia một cách
tích cực, không hạn chế các ý tưởng nhằm tạo ra “cơn lốc” các ý tưởng.
Tác giả đạt giải Noel hòa bình năm 1963 có một câu nói nổi tiếng:
“Cách tốt nhất để có được một ý tưởng tốt là phải có thật nhiều ý tưởng”
(The best way to get a good idea is to get a lot of ideas – Linus Carl Pauling).
Thế nhưng ý tưởng không phải tự nhiên mà có, nó phải được đánh thức đúng
cách. Nếu giáo viên biết sử dụng kỹ thuật động não đúng lúc, đúng chỗ thì sẽ
giúp học sinh đánh thức trí tưởng tượng, sức sáng tạo đang ẩn sâu trong tiềm
thức của họ. Do đó, người học phải có một tâm trạng thật thoải mái, không bị

VI. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH
- Trong nhóm lựa chọn ra một người điều phối và một thư ký để ghi lại các ý
tưởng (hai công việc này có thể do cùng một người đảm nhiệm nếu tiện).
- Người điều phối dẫn nhập vào chủ đề và làm cho mọi thành viên hiểu rõ
được vấn đề cần thảo luận.
- Thiết lập “luật” cho buổi động não, thông thường bao gồm:
+ Người điều phối có nhiệm vụ điều khiển buổi làm việc.
+ Không một thành viên nào có quyền đòi hỏi hay cản trở, đánh giá,
phê bình hay thêm bớt vào ý kiến, từ ngữ nêu ra, hay giải đáp của thành viên
khác.
+ Cần xác định rằng không có câu trả lời nào là sai!
+ Tất cả câu trả lời, các ý, các cụm từ (ngoại trừ nó đã được lặp lại) đều
sẽ được thu thập ghi lại (cách ghi có thể tóm gọn trong một chữ hay một câu
cho mỗi ý riêng rẽ).
+ Vạch định thời gian cho buổi làm việc và ngưng khi hết giờ.
- Bắt đầu động não: Người điều phối chỉ định hay lựa chọn thành viên chia sẻ
ý kiến trả lời (hay những ý niệm rời rạc). Người thư ký phải viết ra tất cả các
câu trả lời, nếu có thể công khai hóa cho mọi người thấy (viết lên bảng chẳng
hạn). Không cho phép bất kỳ một ý kiến đánh giá hay bình luận nào về bất kỳ
câu trả lời nào cho đến khi chấm dứt buổi động não.
- Sau khi kết thúc động não, hãy lần lượt xem lại tất cả và bắt đầu đánh giá
các câu trả lời. Một số lưu ý về chất lượng câu trả lời bao gồm:
+ Tìm những câu ý trùng lặp hay tương tự để thu gọn lại.
+ Góp các câu trả lời có sự tương tự hay tương đồng về nguyên tắc hay
nguyên lí.
+ Xóa bỏ những ý kiến hoàn toàn không thích hợp.
+ Sau khi đã cô lập được danh sách các ý kiến, hãy thảo luận thêm về
câu trả lời chung.
VII. ỨNG DỤNG
Động não có ý nghĩa rất lớn đối các công việc thuộc các lĩnh vực cần

việc giải quyết được vấn đề, ), tùy thuộc vào năng lực của nhóm học sinh và
nhiều điều kiện ngoại cảnh khác.
Toán học là một trong số các môn học có tác dụng phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh, song lại khó áp dụng các phương pháp và kỹ thuật dạy
học sinh động hay mang tính thực tiễn. Tuy nhiên giáo viên có thể sử dụng kỹ
thuật công não để phát huy trí tưởng tượng và khả năng sáng tạo của học sinh
mà lớp học cũng không kém phần sôi động.
Để sử dụng kỹ thuật động não trong dạy học, giáo viên có thể đưa ra
một bài toán hoặc một vấn đề và yêu cầu học sinh khai thác bài toán này theo
các hướng khác nhau, hoặc để giải bài toán bằng những cách khác nhau. Các
ý tưởng được đưa ra có thể dựa trên các nguyên tắc sau:
- Bỏ bớt hoặc làm yếu giả thiết của bài toán.
- Tổng quát hóa bài toán.
- Đặc biệt hóa bài toán.
- Đặt bài toán theo hướng ngược lại.
- Xét bài toán đã cho với một đối tượng khác.
- Tìm các ứng dụng của bài toán đã cho.
-
Trong số các ý kiến đưa ra, có thể có những ý kiến không đúng hay
không thể thực hiện được, nhưng cũng có thể có những ý kiến tìm ra được
cách giải độc đáo hoặc mở ra một bài toán mới hay hơn, có ý nghĩa hơn.
7
PHẦN III: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. THỰC HÀNH GIẢNG DẠY
Cách thức áp dụng kỹ thuật động não: Giáo viên nêu một bài toán bất
đẳng thức trong sách giáo khoa hoặc trong các sách tham khảo (trong các giờ
tự chọn, bồi dưỡng, ). Sau đó tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán, giáo viên
yêu cầu học sinh thực hiện một hay một số yêu cầu sau.
- Yêu cầu 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng nhiều cách khác nhau.
- Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức đã cho.

(*) đúng suy ra (1) đúng.
Cách 2:
baab
ba
abbaabbaba
+
≥
+
⇒≥+⇒≥−+⇒≥−
4
4)(04)(0)(
222
baba +
≥+⇒
411
Cách 3: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có
⇒=⋅≥+






+ 42.
11
2)(
11
ab
ba
ba

ba
ba
baba +
≥+⇒
411
(đpcm)
b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (1).
Kết quả:
8
1.1.
cbacba ++
≥++
9111
với a, b, c > 0
1.2.
nn
aaa
n
aaa +++
≥+++

1

11
21
2
21
, với
,0, ,,
21

++
+
++
≥++
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
với a, b, c > 0
1.5.
222
)(
1
8
1
44
1
ba
ab
ba +
≥+
+

ac
cb
db
ba
ca
với a, b, c, d > 0
1.8.






++
+
++
+
++
+
++
≥+++
badadcdcbcbadcba 2
1
2
1
2
1
2
1
4

+
+
+
+
≥+++
với a, b, c, d > 0.
1.11.
cbacbacbaaccbba
++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3

+
++
+
++
với a, b, c > 0
1.14.
)
2
1
2
1
2
1
(3
111
accbbacba +
+
+
+
+
≥++
với a, b, c > 0
1.15.
2
3
≥
+
+
+
+

≥
+
+
+
+
+ cba
với a, b, c
≥
0, a + b + c
≤
3
1.18.
9
2
1
2
1
2
1
222
≥
+
+
+
+
+ abccabbca
, với a, b, c > 0, a + b + c ≤ 1.
1.19.
7
3

2
b + ab
2
. (2)
a, Yêu cầu 1: Chứng minh (2) bằng nhiều cách khác nhau.
Kết quả:
Cách 1: Ta có:
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
a
3
+ b
3
- a
2
b + ab
2

≥
0
⇔

0, và dấu bằng xảy ra khi a = b hoặc a = b = 0.
Cách 2: Ta có:
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
(a + b)(a
2
– ab + b
2
)
≥
ab(a+b)
⇔
(a + b)(a
2
– ab + b
2
- ab)
≥
0
⇔
(a - b)

- b
2
)(a - b)
≥
0
⇔
(a - b)
2
(a + b)
≥
0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Cách 4 :
Ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu a = 0 thì bất đẳng thức đã cho trở thành b
3
≥
0. (Luôn đúng vì b
≥
0 ).
+) Nếu a > 0 thì đặt b = t.a, t
≥
0. Thay vào bất đẳng thức đã cho ta được:
a
3
+ t
3
a
3

≥

≥
0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Cách 5:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm là a
3
và ab
2
, b
3
và a
2
b ta có:
a
3
+ ab
2≥
2
23
aba
= 2a
2
b; b
3
+ a
2
b


được:
b
a
2
+ b
≥
2
b
b
a
2
= 2a,
a
b
2
+ a
≥
2
a
a
b
2
= 2b;
Cộng theo từng vế hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Cách 7:
Ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm a
3
, a
3
và b

.
Cộng theo từng vế 2 bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Cách 8:
Ta biến đổi vế trái của BĐT đã cho, như sau
VT(2) = a
3
+ b
3
= (a + b )(a
2
+ b
2
- ab), mà áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2
số không âm a
2
và b
2
.
Ta có: a
2
+ b
2

≥
2ab.
Do đó VT(2) = (a + b)(a
2
+ b
2
- ab)

2
1
33
2
3
1
aaaaaaaaa
mm
+++≥+++
, với
,0, ,,
21
>
m
aaa
2.5.
accbbacba
nnnnnn
++≥++
+++ 111
, với a, b, c > 0,
2, ≥∈ nNn
2.6.
13221
11
3
1
2
1
1

ba
++≥
+
+
+
+
+
với a, b, c > 0
2.8.
,
333
cabcab
a
c
c
b
b
a
++≥++
với a, b, c > 0
2.9.
,
1111
333333
abc
abcacabccbabcba
≤
++
+
++

bc
bab
ab
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−
2
33
2
33
2
33
3
5
3
5
3
5
, với a, b, c > 0
11
2.12.
)(3
5
19

29
6
29
6
29
3
33
2
33
2
33
cba
cca
ac
bbc
cb
aab
ba
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−
, với a, b, c > 0
2.14.
)(5

)()(3
32
73
32
73
32
73
222
333333
cabcabcba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
++−++≥
+
+
+
+
+
+
+
+
, với
a, b, c > 0
2.16.
ac
caacac

2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≤++
(3)
a, Yêu cầu 1: Chứng minh (3) bằng nhiều cách khác nhau.
Kết quả
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b
a
b
a
b
a
b
a
331
3
3
3

3
3
2
2
=≥++
Cộng vế với về ba bất đẳng thức trên ta được






++≥++++++
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b

2
2
2
2
(2)
Mặt khác ta có:
33
3
=≥++
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
Do đó từ (2) ta có
2
2
2
2
2
2
2
a

2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≤++⇒
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
( )








++=++





2
2
22
31111.1.1.
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
12
Do

++
2
2
2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
2
2
2
2

13
2
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
nn
+++≤+++ 
với
n
aaa , ,
21
> 0,
3, ≥∈ nNn
3.2.
3
3
3
3
3

+
+
+
+
++≤++
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
, với a, b, c > 0,

mnNmn ≤∈ ,,
*

3.5.
1
1
1
1
3
1
2
1
2
1
1
13
2
2
1
+
+
+
+
+
+
+++≤+++
n
n
k
n


3.6.
m
m
k
m
m
m
m
n
n
k
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
13
2





+
≥
+ baba
(1), với mọi a, b
R∈
b,
3
33
22






+
≥
+ baba
, với mọi a, b > 0.
Câu 2 (5 điểm): Hãy mở rộng bất đẳng thức (1).
2. Đáp án đề kiểm tra
Câu Nội dung Điểm
1a
0)()()(2
22
2222

baba
baba
+≥+⇔






+
≥
+
0,5
⇔
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
a
3
+ b
3
- a

Dấu bằng xảy ra khi
ba =
.
0,5
Cách 2: áp dụng BĐT (1) ta có
22222
22
32
22
bababababa ++
≤






+
⇔






+
≥
+
1,0
4

1.
3
33
22






+
≥
+ baba
(câu 1b)
2.
4
44
22






+
≥
+ baba
, với mọi a, b
R∈
2,0

R∈
5.
3
333
33






++
≥
++ cbacba
, với mọi a, b , c > 0
6.
n
nnn
cbacba






++
≥
++
33
với mọi a, b, c > 0,

2,;, ≥∈ nmNnm
8.
3. Kết quả kiểm tra
+) Năm học 2007 – 2008: Lớp thực nghiệm là 10A5, lớp đối chứng là 10A4
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu:
nhỏ hơn 5,0)
Lớp Sĩ số
Điểm TBM kì I Kết quả bài kiểm tra
Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu
SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL %
10A5
53 7
1
3
27
5
1
19
3
6
0 0 8
1
5
29
5
5
16
3
0
0 0

6
1
2 4 0 0 19
3
9
29
5
9
1 2 0 0
10A9
48 5
1
0
36
7
5
7
1
5
0 0 2 4 30
6
3
16
3
3
0 0
+) Năm học 2011 – 2012: Lớp thực nghiệm là 10A5, lớp đối chứng là 10A6
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu:
nhỏ hơn 5,0)
Lớp Sĩ số

12
2
4
0 0
4. Phân tích kết quả kiểm tra đánh giá
15
- Việc chọn hai lớp có lực học tương đương nhau chỉ là tương đối nên kết quả
thu được sẽ có những chênh lệch nhất định. Do chất lượng học sinh ở mỗi lớp
học, mỗi khóa học là không hoàn toàn giống nhau nên kết quả thu được là cao
thấp khác nhau.
- Do bất đẳng thức là phần khó nên điểm kiểm tra phần này thường thấp hơn
điểm trung bình môn học kì 1. Qua kiểm tra cho thấy các lớp đối chứng có
điểm kiểm tra thấp hơn nhiều so với điểm trung bình môn học kì 1. Còn các
lớp thực nghiệm thì điểm kiểm tra gần bằng, có lớp kết quả còn cao hơn.
III. MỘT SỐ ĐỀ XUẤT NHẰM VẬN DỤNG CÓ HIỆU QUẢ KỸ
THUẬT ĐỘNG NÃO TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC
1. Đối tượng vận dụng
Bất đẳng thức là một nội dung khó nên mục tiêu kiến thức của mỗi lớp
cũng phải khác nhau. Những ví dụ trên thường chỉ có thể áp dụng có hiệu quả
cho những lớp có nhiều học sinh khá giỏi. Đối với những lớp học yếu hơn thì
chỉ cần hoàn thành được như mục tiêu của bài học đã đề ra cũng đã một sự nỗ
lực của cả giáo viên và học sinh.
2. Thời gian vận dụng
Theo khung phân phối chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo, thời
gian dạy chính khóa cho phần bất đẳng thức là rất ít, và gần như chỉ mang
tính giới thiệu về bất đẳng thức. Vì vậy để học sinh có thể nắm vững được
kiến thức và trên cơ sở đó phát huy được tính tích cực, sáng tạo thì giáo viên
cần phải tiếp tục dạy trong các tiết học bồi dưỡng và giao bài tập về nhà.
Trong ba ví dụ áp dụng nêu trên, thì chỉ có các yêu cầu 1 và 2 học sinh mới có
thể làm tại lớp, còn yêu cầu 3 hoặc 4 nên giao cho học sinh thực hiện ở nhà

nào đối với từng nội dung, từng bài học, từng đối tượng học sinh cụ thể là một
điều không đơn giản. Để việc vận dụng có hiệu quả đòi hỏi phải có sự chuẩn
bị chu đáo, sự tìm tòi và tích lũy kinh nghiệm của mỗi giáo viên. Đề tài
nghiên cứu này đã được thực nghiệm trên 3 khóa học sinh và sau mỗi khóa lại
có sự điều chỉnh cho phù hợp hơn.
Trước hết, đề tài đã phân tích cơ sở lý luận của vấn đề làm nền tảng cho
việc vận dụng cụ thể trong dạy học. Đề tài cũng đã nêu lên cách thức vận
dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức cũng như minh họa việc
vận dụng bằng những ví dụ cụ thể, bài kiểm tra cụ thể. Đồng thời, thông qua
thực tế vận dụng kỹ thuật này trong dạy học, một số đề xuất cũng đã được đưa
ra.
Vì việc áp dụng kỹ thuật này đòi hỏi phải có thời gian dành cho học
sinh nên việc vận dụng chỉ có thể thực hiện được trong một số giờ dạy nhất
định, điển hình là ba ví dụ đã nêu ở trên.
Đề tài này cũng có thể được áp dụng khi dạy học các chuyên đề khác
như: phương trình lượng giác, các bài toán tổ hợp – xác suất, hình học không
gian,
Mặc dù có thể đề tài còn có sự điều chỉnh cho phù hợp với những đối
tượng học sinh khác nhau, nhưng nhìn chung nó đã đáp ứng được được mục
tiêu ban đầu, đó là “phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh”.
17
PHỤ LỤC
LỜI GIẢI CÁC BẤT ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
1.1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
cbacba
abc
cba
cba
cba ++
≥++⇒=⋅⋅≥++

aaa
n
n
n
n
n
n
=⋅⋅⋅⋅≥+++








+++
nn
aaa
n
aaa +++
≥+++⇒

1

11
21
2
21
Đẳng thức xảy ra khi

.
411
;
411
papcpacpbp
≥
−
+
−
≥
−
+
−
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
1.4. Theo (1) ta có






+
+
+
=
+
+
+
≥+++

;
2
1121
16
1
++
≥






++
++
≥






++
.
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
1.5. Áp dụng bất đẳng thức (1) cho 2 số dương là 4a
2
+4b
2

và
cba +−
đều là các số dương.
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
acbacbacbacbacbacba 2
411411
≥
+−
+
−+
⇔
+−+−+
≥
+−
+
−+
.
acbacba
211
≥
+−
+
−+
⇔
Tương tự ta cũng có:
ccbacbabcbacba
211
;
211
≥




+
+
+
+⇔
adcb
db
dcba
ca
.
Khi đó, ta có:
dcba
ca
dcba
ca
dcbadcba
+++
+
≥






+
+
+

.
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d.
1.8. Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
cbacabacba
cabacabacabacaba
++
≥
+
+
+
≥++⇔
+
+
+
≥+++⇔
+
+
+
≥+++
2
16
)
11
(4
112
)
11
(4
1111441111

411
;
411
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = c, hoặc b = d.
1.10. Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
babaaaabaaabaaabaaa +
=
+++
≥






+
+
+
=
+
+
+
≥+++
3
164
4
11
4
441111

2
2
1
3
1
23
4
2
1
3
1
.
Tương tự, ta có:
cabcabaccbacbacb
++
≥
++
+
+++
≥
++
+
+
2
2
2
1
3
1
;

2
1
Đây là bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
1.13. áp dụng bất đẳng thức (1.1) ta có
)(4
9
222
9
2
1
2
1
2
1
cbabacacbcbabacacbcba
++
=
++++++++
≥
++
+
++
+
++
Đây là bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
1.14. Áp dụng bất đẳng thức (1.1) ta có
bababaabaa +
≥+⇔

9111
≥
+
+
+
+
+
⇔≥
+
++
+
++
+
+⇔
≥
+
++
+
+
++
+
+
++
⇔
≥






cb
cba
baaccb
cba
cbabaaccb
Đây là bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
1.16. Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau:

2
222222222222222444
)
3
(
111
cbaaccbbaaccbbacba ++
≥
++
+
++
+
++
.
áp dụng bất đẳng thức (1.1) ta có
222222222222444
111
accbbaaccbbacba ++
+
++
+

111
9
1
1
1
1
1
1
=
+
≥
+++
=
+++++
≥
+
+
+
+
+ cbacbacba
Đây là bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
1.18. áp dụng bất đẳng thức (1.1) ta có
2222222
)(
9
222
9
2
1

1.19. Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
7
3
213
1
10
1
23
1
≥
−
+
−
+
− xxx
Vì
2
13
3
2
<< x
nên 3x - 2 > 0, 10 - x > 0, 13 - 2x > 0.
Do đó áp dụng bất đẳng thức (1.1) ta có:
21

7
3
21
9
2131023

2
2
≥








+






+−⇔ b
b
aba
(luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
2.2.
0)()(
11
≥−−−⇔+≥+
++
babbaaabbaba
nnnnnn

32 ≥+
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
2.4. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương
3
2
3
1
3
1
,, aaa
ta có
2
2
1
3
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
33 aaaaaaaa
=≥++

21
2.5. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số dương
1111
,, ,,
++++ nnnn
baaa

ta có
banbaaanbaaa
n
n
nnnnn
n
nnn
)1()1(
1
11111
sô
111
+=+≥++++
+
++++++++

  

banbna
nnn
)1(
11
+≥+⇒

aaaa
ta có
21
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
sè
1
1
1
1
1
1
)1()1( aanaaaanaaaa
n
n
nnnnn
n
nnn
+=+≥++++
+
++++++++

nn
m
+≥+
++
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi
m
aaa ===
21
22
2.7. Từ (2) ta có a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2⇔
a
3
+ b
3
≥
ab(a + b)

⇔

2
b + ab
2⇔
a
3

≥
b(- b
2
+ a
2
b + ab
2
)
⇔
≥
b
a
3
- b
2
+ ab + a
2
.Tương tự ta có:
22
3
22

ab(a + b + c)
,
)()(
11
33
cbaabc
c
cbaab
abcba
++
=
++
≤
++
⇒

Tương tự:
;
)(
1
,
)(
1
3333
cbaabc
b
abcac
cbaabc
a
abccb

⇔
2a
3
+ a
3

≥
2a
3
- b
3
+ a
2
b + ab
2
⇔
3a
3

≥
a
3
- b
3
+ a
3
+ a
2
b + ab
2

)
⇔
3a
3
≥
(a
2
+ ab + b
2
)(2a - b)
⇔
3
2
22
3
ba
baba
a −
≥
++
.
Tương tự :
3
.2
,
3
2
22
3
22

- a
2
b - ab
2
⇔
5b
3
- a
3

≤
5b
3
+ b
3
- a
2
b - ab
2
⇔
5b
3
- a
3

≤
6b
3
- a
2

−
2
3
5
2
33
.
Tương tự:
ca
aca
ca
bc
cbc
bc
−≤
+
−
−≤
+
−
2
3
5
;2
3
5
2
3333
.
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

3
- a
2
b - ab
2⇔
19a
3
– b
3
≤
4b(ab + 5b
2
) - a(ab +5b
2
)
23
⇔
19a
3
– b
3
≤
(ab + 5b
2
)(4b – a)
⇔
ab

−
−≤
+
−
Cộng theo từng vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
2.13. Ta có: a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2⇔
- b
3

≤
a
3
- a
2
b - ab
2
≤
(ab + 6a
2
)(5a - b)
⇔

ba
aab
ba
−≤
+
−
5
6
29
2
33
.
Tương tự;
.5
6
29
,5
6
29
2
33
2
33
ac

a
3
- a
2
b - ab
2⇔
41a
3
– b
3

≤
42a
3
- a
2
b - ab
2
⇔
41a
3
– b
3

≤
6a(ab + 7a
2

41
,6
7
41
33
2
33
ac
cca
ac
cb
bbc
cb
−≤
+
−
−≤
+
−
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
2.15. Ta có: a
3
+b
3
≥
a
2
b + ab
2

) - ab(2a + 3b )
⇔
3a
3
+7b
3

≥
(2a +3b )(a
2
+ 2b
2
–ab)
.2
32
73
22
33
abba
ba
ba
−+≥
+
+
⇔

Tương tự:
.2
32
73

2

⇔
4a
3
+5b
3
- 3a
2
b +10ab
2
- b
3
≥
3a
3
+ 4b
3
-2 a
2
b +11ab
2
⇔
4a
3
+5b
3
- 3a
2
b +10ab

2233
abba
ba
abbaba
−+≥
+
+−+
⇔

Tương tự :
.4
3
10354
22
2233
bccb
cb
bccbcb
−+≥
+
+−+
24

caac
ac
caacac
−+≥
+
+−+
22

;
3
2
3
3
3
3
2
3
2
2
3
2
2
331
a
a
a
a
a
a
a
a
=≥++
,
1
3
3
1
3

=≥








++
n
k
k
k
n
n
n
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
1
1
1
2
1
2
2
(4)
Mặt khác ta có:
n
a
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n

a
a
a
a
a
1 1
1
2
1
2
1
1
2

∑∑
=
+
=
+
≤⇒
n
k
k
k
n
k
k
k
a
a



n
k
k
k
n
k
n
k
k
k
n
k
k
k
a
a
n
a
a
a
a
1
2
1
2
1
2
1

+
≤








n
k
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
a
a
a
a
a
a
1
2

1
1
Đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= = a
n
.
3.2. Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2
2
3
6
6
2
2
3
3
33
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a

2
3
3
33
a
c
a
c
a
c
a
c
a
c
=≥++
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được








++≥++++++++
2
2
2
2
2

b
a
a
c
c
b
b
a
25