SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
" VẬN DỤNG KỸ THUẬT ĐỘNG NÃO VÀO DẠY HỌC BẤT
ĐẲNG THỨC NHẰM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH"

1


PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán ở phổ thông, bất đẳng thức được coi là một chuyên đề
khó, nếu không muốn nói là khó nhất. Câu hỏi liên quan tới bất đẳng thức cũng là câu có
độ khó cao nhất trong các đề thi tuyển sinh đại học, các đề thi học sinh giỏi, ... và nó
thường được dùng để phân loại các học sinh khá, giỏi. Từ trước tới nay cũng đã có rất
nhiều sách viết về bất đẳng thức, có rất nhiều đề thi các cấp có bài toán bất đẳng thức, ...
nhưng các bài toán bất đẳng thức dù có mặt ở đâu và với tần suất như thế nào thì khi gặp
chúng đa số học sinh đều bỏ qua vì khó. Chính vì vậy mà việc dạy học bất đẳng thức
không phải là việc dễ và gần như chỉ dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Song xét
theo một khía cạnh khác thì bất đẳng thức thực ra lại là một trong những chuyên đề có tác
dụng phát huy tính sáng tạo, tích cực tư duy của học sinh, tạo ra hứng thú, say mê khi học
môn toán. Vì vậy, nếu vận dụng các phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực vào dạy học
bất đẳng thức sẽ góp phần rất lớn cho sự thành công của việc dạy học bất đẳng thức.
Trong số các kỹ thuật dạy học tích cực đang được áp dụng hiện nay thì kỹ thuật
động não được coi là có tác dụng rất hữu hiệu trong việc phát triển khả năng tư duy sáng
tạo cho học sinh không chỉ trong quá trình học tập và nghiên cứu, mà còn trong cả công
việc và cuộc sống sau này của họ. Kỹ thuật động não rất phù hợp với việc dạy học bất
đẳng thức, có tác dụng khơi nguồn sáng tạo cho học sinh. Nhưng vận dụng như thế nào
cho phù hợp với mục tiêu bài học, nội dung chương trình, phân bổ thời gian, trình độ của
học sinh, ... là vấn đề không đơn giản và yêu cầu có sự đầu tư thích đáng. Vì vậy, tôi

3


PHẦN II: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
I. ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị quyết Trung
ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12 - 1996), được thể
chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), được cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo
dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15 (4 - 1999).
Luật Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống
lại thói quen học tập thụ động.
II. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀ KỸ THUẬT DẠY HỌC TÍCH
CỰC
Phương pháp dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ
những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng
tạo của người học. Phương pháp dạy học tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực
hóa hoạt động nhận thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của
người học chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy, tuy
nhiên để dạy học theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy
theo phương pháp thụ động.
Ở cấp độ cao hơn của phương pháp dạy học, người ta có thể nói tới các đường hướng dạy
học. Ở cấp độ thấp hơn của phương pháp dạy học, người ta có thể nói tới các kỹ thuật dạy
học. Một phương pháp dạy học có thể bao gồm nhiều kỹ thuật dạy học khác nhau. Chẳng
hạn, hiểu một cách đơn giản, để có được một giờ dạy học bằng phương pháp dạy học tích
cực thì giáo viên đã phải phối hợp, vận dụng một cách phù hợp nhiều kỹ thuật dạy học
tích cực khác nhau.

đánh giá tính tốt xấu, tính hữu dụng, ... của ý tưởng. Biết đâu có những ý tưởng mà giáo
viên và bạn học cho là ngớ ngẩn lại giúp họ có được một ý tưởng cực kỳ sáng tạo và độc
đáo mà chưa ai nghĩ tới.
IV. QUY TẮC CỦA ĐỘNG NÃO
Người khởi xướng ra kỹ thuật này, A. Osborn, quan sát thấy rằng mỗi người thường
thuộc một trong hai thiên hướng tư duy chính là sáng tạo và phê phán. Nếu để 2 nhóm
người này ngồi cùng nhau thì thường dẫn đến tranh luận kéo dài và kết quả đạt được
không cao. Do đó, động não dựa trên nguyên tắc quan trọng nhất là: Tách quá trình phát
sinh ý tưởng và quá trình đánh giá ý tưởng thành hai giai đoạn riêng biệt. Như vậy, điểm
nổi bật của động não là tránh đánh giá và phê phán trong quá trình thu thập ý tưởng của
các thành viên. Đồng thời, khuyến khích số lượng các ý tưởng, cho phép sự tưởng tượng
và liên tưởng.
V. ĐĂC ĐIỂM VÀ YÊU CẦU
5


- Kỹ thuật động não có thể được tiến hành bởi một hay nhiều người. Số lượng người
tham gia nhiều sẽ giúp cho việc tìm ra lời giải được nhanh hơn và toàn diện hơn nhờ vào
nhiều góc nhìn khác nhau bởi các trình độ, trình tự khác nhau của mỗi người tham gia.
- Dụng cụ: Tốt nhất là thể hiện bằng một bảng viết cho mọi thành viên đều đọc rõ tình
trạng của hoạt động động não. Nếu tiến hành cá nhân hay vài người thì có thể thay thế
bằng giấy viết. Ngày nay, người ta có thể tiến hành bằng cách nối các máy tính cá nhân
vào chung một mạng làm cùng tiến hành việc động não. Bằng cách này những người ở xa
nhau cùng có thể tham gia và họ có thể tận dụng được các thế mạnh của công nghệ thông
tin như là các kho dữ liệu, các từ điển trực tuyến, và các máy truy tìm.
VI. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH
- Trong nhóm lựa chọn ra một người điều phối và một thư ký để ghi lại các ý tưởng (hai
công việc này có thể do cùng một người đảm nhiệm nếu tiện).
- Người điều phối dẫn nhập vào chủ đề và làm cho mọi thành viên hiểu rõ được vấn đề
cần thảo luận.

Có thể thấy những ưu điểm nổi bật của kỹ thuật động não trước hết là dễ thực hiện,
không tốn kém. Chỉ cần một cây bút và một tờ giấy trắng, người tham gia có thể viết tất
cả các ý tưởng có liên quan đến chủ đề bất chợt nảy sinh trong đầu mà không phải tính
đến sự đúng sai của nó. Hơn nữa, kỹ thuật động não có thể tận dụng được hiệu ứng cộng
hưởng, huy động tối đa trí tuệ của tập thể và tạo cơ hội cho tất cả thành viên tham gia.
Tuy nhiên, cũng có thể thấy ngay rằng các ý kiến đưa ra có thể đi lạc đề, tản mạn. Do đó,
có thể mất nhiều thời gian trong việc lựa chọn các ý kiến thích hợp. Trong dạy học, có
thể có một số học sinh “quá tích cực”, số khác lại thụ động.
IX. VẬN DỤNG TRONG DẠY HỌC
Đã từ lâu, việc đổi mới phương pháp dạy học là phải lấy người học làm trung tâm, phải
phát huy được tối đa khả năng tự học, tự nghiên cứu của người học. Đặc biệt, học sinh
phổ thông là một trong số các đối tượng người học có nhiều tiềm năng, năng lực, sự sáng
tạo, ... cần được khai thác có hiệu quả. Kỹ thuật động não được áp dụng trong dạy học
không chỉ giúp cho giáo viên đạt được mục đích dạy học mà còn giúp phát triển khả năng
sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho họ một số kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này.
Kỹ thuật công não có thể được thực hiện một cách linh hoạt tùy thuộc vào nội dung và
tính chất của bài học (học bài mới hay ôn tập, bài học lý thuyết hay bài học theo hướng
ứng dụng, ...), tùy thuộc vào mục đích của giáo viên (coi trọng việc kiểm tra khả năng
sáng tạo của học sinh hay coi trọng việc giải quyết được vấn đề, ...), tùy thuộc vào năng
lực của nhóm học sinh và nhiều điều kiện ngoại cảnh khác.
Toán học là một trong số các môn học có tác dụng phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh, song lại khó áp dụng các phương pháp và kỹ thuật dạy học sinh động hay mang tính
thực tiễn. Tuy nhiên giáo viên có thể sử dụng kỹ thuật công não để phát huy trí tưởng
tượng và khả năng sáng tạo của học sinh mà lớp học cũng không kém phần sôi động.
7


Để sử dụng kỹ thuật động não trong dạy học, giáo viên có thể đưa ra một bài toán hoặc
một vấn đề và yêu cầu học sinh khai thác bài toán này theo các hướng khác nhau, hoặc để
giải bài toán bằng những cách khác nhau. Các ý tưởng được đưa ra có thể dựa trên các

một số ứng dụng khác và yêu cầu học sinh tiếp tục chứng minh.
- Yêu cầu 5: ...
Dưới đây là các ví dụ áp dụng.
1. Ví dụ 1: Bài tập 5, trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao:
Chứng minh rằng: Nếu a > 0 và b > 0 thì

1 1
4
 
(1)
a b ab

a, Yêu cầu 1: Chứng minh bất đẳng thức (1) bằng nhiều cách khác nhau.
Kết quả:
Cách 1: (1) 

ab
4

 (a  b) 2  4ab  (a  b) 2  0 (*)
ab
ab

(*) đúng suy ra (1) đúng.
Cách 2: (a  b) 2  0  (a  b) 2  4ab  0  (a  b) 2  4ab 


ab
4


b  4   
(đpcm)
  ( a  b )  
a b ab
b
a b
 a


b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (1).
Kết quả:
1.1.

1 1 1
9
  
với a, b, c > 0
a b c abc

1.2.

1 1
1
n2
, với a1 , a2 ,..., an  0,

 ... 

a1 a2
an a1  a2  ...  an



với a, b, c > 0
4a 4b 4c 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b

1.5.

1
1
1
với a, b > 0


2
8ab (a  b) 2
4a  4b

1.6.

1
1
1
1 1 1


   với a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
abc abc abc a b c

1.7.


8




với a, b, c, d > 0.
ab bc cd d a abcd

1.10.

1 1 1 1
1
1
1
1
    4(



) với a, b, c, d > 0.
a b c d
3a  b 3b  c 3c  d 3d  a

1.11.

1
1
1
1
1

với a, b, c > 0
2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4(a  b  c)

1.14.

1 1 1
1
1
1
   3(


) với a, b, c > 0
a b c
2a  b 2b  c 2c  a

1.15.

a
b
c
3


 với a, b, c > 0
bc ca ab 2

2

10


1.18.

1
1
1
 2
 2
 9 , với a, b, c > 0, a + b + c  1.
a  2bc b  2ca c  2ab

1.19.

1
1
1
3
2
13


 , với x thoả mãn  x  .
3 x  2 x  10 13  2 x 7
3
2

4

2


+) Nếu a > 0 thì đặt b = t.a, t  0. Thay vào bất đẳng thức đã cho ta được:
a3 + t3a3  ta3 + t2a3  1 + t3  t + t2  (t + 1)(t2 - t + 1)  t(t + 1)
11




(t +1)(t2 – t +1 - t) )  0



(t +1)(t - 1)2  0. Đây là bất đẳng thức đúng.

Cách 5:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm là a3 và ab2, b3 và a2b ta có:
a3 + ab2  2 a 3 ab 2 = 2a2b; b3 + a2b  2 b 3 a 2 b = 2ab2 .
Cộng theo từng vế 2 bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Cách 6:
Ta xét các trường hợp:
+) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng.
a2 b2
+) Nếu a > 0 và b > 0 thì ta chia cả 2 vế của bất đẳng thức cho ab > 0 ta được:
+
=
b
a

a + b.
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương là


Ta có: a2 + b2  2ab.
Do đó VT(2) = (a + b)(a2 + b2 - ab)  (a + b)(2ab - ab) = (a + b)ab = a2b + ab2 = VP(1).
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

12


b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (2)
Kết quả:
2.1.

a 4  b 4  a3 b  ab3 , với mọi a, b.

2.2.

an 1  bn 1  an b  abn , với a, b > 0

2.3.

a3  b3  c3  a2b  b2c  c2a , với a, b, c > 0

2.4.

a13  a23  ...  am3  a12 a2  a22 a3  ...  am2 a1 , với a1 , a2 ,...,am  0,

2.5.

an 1  bn 1  cn 1  an b  bnc  cn a , với a, b, c > 0, n  N, n  2

a1n 1  a2n 1  a3n 1  ...  amn 1  a1n a2  a2n a3  ...  amn a1 ,


1
1
1
1



, với a, b, c > 0
a 3  b 3  abc b 3  c 3  abc c 3  a 3  abc abc

2.10.

a3
b3
c3
abc



, với a, b, c > 0
3
a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2

2.11.

5b 3  a 3 5c 3  b 3 5a 3  c 3


 a  b  c , với a, b, c > 0


13


3a 3  7b 3 3b 3  7c 3 3c 3  7a 3
2.15.


 3(a 2  b 2  c 2 )  (ab  bc  ca ) , với a, b, c > 0
2a  3b
2b  3c
2c  3a

4a 3  5b 3  3a 2b  10ab 2 4b 3  5c 3  3b 2 c  10bc 2 4c 3  5a 3  3c 2 a  10a 2 c


3a  b
3b  c
3c  a
2
2
2
 5(a  b  c )  (ab  bc  ca), với a, b, c > 0

2.16.

3. Ví dụ 3 (Áp dụng trong giờ dạy tự chọn, hoặc bồi dưỡng)
a b c a 2 b2 c2
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng    2  2  2
b c a b


Cộng vế với về ba bất đẳng thức trên ta được
a2 b2 c2 a b c
a2 b2 c2
a b c
a b c
 2  2     3  3     2  2  2  3  2    (2)
2
b c a
b
c
a
b
c
a
b c a
b c a

Mặt khác ta có:

a b c
abc
   33
3
b c a
bca

2
b2 c2
a b c a b c a


.
1



1

1

1

3

 

c
a   b 2 c 2 a 2 
b c a b
b c a 





14


2
2


   2 với a1, a2 ,...an > 0, n  N, n  3
a 2 a3
a1 a22 a32
a1

3.2.

a 2 b 2 c 2 a3 b3 c3



  , với a, b, c > 0,
b 2 c 2 a 2 b3 c3 a 3

3.3.

a n b n c n a n 1 b n 1 c n 1
 n  n  n 1  n 1  n 1 , với a, b, c > 0, n N*
n
b
c
a
b
c
a

3.4.

an bn cn am bm cm

a1

c, Yêu cầu 3: (Về nhà) Chứng minh các bất đẳng thức ở Yêu cầu 2.
II. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ
1. Đề kiểm tra 20 phút
Câu 1 (5 điểm): Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a2  b2  a  b 

a,

2
 2 

2

(1), với mọi a, b  R

15


3

a3  b3  a  b 

b,
 , với mọi a, b > 0.
2
 2 

Câu 2 (5 điểm): Hãy mở rộng bất đẳng thức (1).

3

a3  b3  a  b 
3
3
3

Cách 1:
  4(a  b )  (a  b)
2
 2 

0,5

 a3 + b3  a2b + ab2  a3 + b3 - a2b + ab2  0

0,5

a


2

(a-b) – b2(a - b)  0  (a - b)(a2 – b2)  0

0,5

(a - b)2(a + b)  0. (4) đúng suy ra (3) đúng

Dấu bằng xảy ra khi a  b .

16


Câu

Điể
m

Nội dung
+) Tương tự như cách 1 ta cũng có a 2b  ab 2  a 3  b3
3

a 3  b3  a 3  b3 a 3  b3
a b

Do đó 
(đpcm)
 
4
2
 2 

1,0

Dấu bằng xảy ra khi a  b .
Bình luận: Cách 2 có vẻ dài hơn trong chứng minh bất
đẳng thức 1b, tuy nhiên để chứng minh các bất đẳng thức
mở rộng với số mũ lớn hơn thì cách 2 hữu hiệu hơn.
2


 , với mọi a, b > 0, n  N, n  2
2
 2 
2

a2  b2  c2  a  b  c 

4.
 , với mọi a, b, c  R
3
3


3

a3  b3  c3  a  b  c 

5.
 , với mọi a, b , c > 0
3
3



2,0

n

an  bn  cn  a  b  c 




3. Kết quả kiểm tra
+) Năm học 2007 – 2008: Lớp thực nghiệm là 10A5, lớp đối chứng là 10A4
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ hơn 5,0)
Điểm TBM kì I
Lớp

10A5
10A4

Khá

Kết quả bài kiểm tra

Sĩ
số

Giỏi

TB

Yếu

Giỏi

Khá

TB


1
3

2
7

5
1

1
9

3
6

0

0

8

1
5

2
9

5
5


0

1
0

2
0

2
9

5
8

1
1

2
2

0

0

%

+) Năm học 2010 – 2011: Lớp thực nghiệm là 10A10, lớp đối chứng là 10A9
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ hơn 5,0)
Điểm TBM kì I
Lớp

% S
L

49

1
7

3
5

3
0

6
1

2

4

0

0

48

5

1

L

%

1
9

3
9

2
9

5
9

1

2

0

0

2

4

3
0

Khá

Kết quả bài kiểm tra
TB

Yếu

Giỏi

S
L

% S
L

% S
L

% S
L

% S
L

51

2
6

5

3

2

0

0

Khá

TB

Yếu

% S
L

% S
L

% S
L

%

2
5

4
9

2
4

0

0

4. Phân tích kết quả kiểm tra đánh giá
- Việc chọn hai lớp có lực học tương đương nhau chỉ là tương đối nên kết quả thu được
sẽ có những chênh lệch nhất định. Do chất lượng học sinh ở mỗi lớp học, mỗi khóa học là
không hoàn toàn giống nhau nên kết quả thu được là cao thấp khác nhau.
- Do bất đẳng thức là phần khó nên điểm kiểm tra phần này thường thấp hơn điểm trung
bình môn học kì 1. Qua kiểm tra cho thấy các lớp đối chứng có điểm kiểm tra thấp hơn
nhiều so với điểm trung bình môn học kì 1. Còn các lớp thực nghiệm thì điểm kiểm tra
gần bằng, có lớp kết quả còn cao hơn.
III. MỘT SỐ ĐỀ XUẤT NHẰM VẬN DỤNG CÓ HIỆU QUẢ KỸ THUẬT ĐỘNG
NÃO TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC
1. Đối tượng vận dụng
Bất đẳng thức là một nội dung khó nên mục tiêu kiến thức của mỗi lớp cũng phải khác
nhau. Những ví dụ trên thường chỉ có thể áp dụng có hiệu quả cho những lớp có nhiều
học sinh khá giỏi. Đối với những lớp học yếu hơn thì chỉ cần hoàn thành được như mục
tiêu của bài học đã đề ra cũng đã một sự nỗ lực của cả giáo viên và học sinh.
2. Thời gian vận dụng

19


Theo khung phân phối chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo, thời gian dạy chính khóa
cho phần bất đẳng thức là rất ít, và gần như chỉ mang tính giới thiệu về bất đẳng thức. Vì
vậy để học sinh có thể nắm vững được kiến thức và trên cơ sở đó phát huy được tính tích

PHẦN IV: KẾT LUẬN
Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực trong dạy học là một yêu cầu
trong đổi mới phương pháp dạy học. Tuy nhiên vận dụng như thế nào đối với từng nội
dung, từng bài học, từng đối tượng học sinh cụ thể là một điều không đơn giản. Để việc
vận dụng có hiệu quả đòi hỏi phải có sự chuẩn bị chu đáo, sự tìm tòi và tích lũy kinh
nghiệm của mỗi giáo viên. Đề tài nghiên cứu này đã được thực nghiệm trên 3 khóa học
sinh và sau mỗi khóa lại có sự điều chỉnh cho phù hợp hơn.
Trước hết, đề tài đã phân tích cơ sở lý luận của vấn đề làm nền tảng cho việc vận dụng cụ
thể trong dạy học. Đề tài cũng đã nêu lên cách thức vận dụng kỹ thuật động não vào dạy
học bất đẳng thức cũng như minh họa việc vận dụng bằng những ví dụ cụ thể, bài kiểm
tra cụ thể. Đồng thời, thông qua thực tế vận dụng kỹ thuật này trong dạy học, một số đề
xuất cũng đã được đưa ra.
Vì việc áp dụng kỹ thuật này đòi hỏi phải có thời gian dành cho học sinh nên việc vận
dụng chỉ có thể thực hiện được trong một số giờ dạy nhất định, điển hình là ba ví dụ đã
nêu ở trên.
Đề tài này cũng có thể được áp dụng khi dạy học các chuyên đề khác như: phương trình
lượng giác, các bài toán tổ hợp – xác suất, hình học không gian, ...
Mặc dù có thể đề tài còn có sự điều chỉnh cho phù hợp với những đối tượng học sinh
khác nhau, nhưng nhìn chung nó đã đáp ứng được được mục tiêu ban đầu, đó là “phát
huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh”.

21