SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
" VẬN DỤNG KỸ THUẬT ĐỘNG NÃO VÀO DẠY HỌC BẤT
ĐẲNG THỨC NHẰM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH"
1
PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán ở phổ thông, bất đẳng thức được coi là một chuyên đề
khó, nếu không muốn nói là khó nhất. Câu hỏi liên quan tới bất đẳng thức cũng là câu có
độ khó cao nhất trong các đề thi tuyển sinh đại học, các đề thi học sinh giỏi, và nó
thường được dùng để phân loại các học sinh khá, giỏi. Từ trước tới nay cũng đã có rất
nhiều sách viết về bất đẳng thức, có rất nhiều đề thi các cấp có bài toán bất đẳng thức,
nhưng các bài toán bất đẳng thức dù có mặt ở đâu và với tần suất như thế nào thì khi gặp
chúng đa số học sinh đều bỏ qua vì khó. Chính vì vậy mà việc dạy học bất đẳng thức
không phải là việc dễ và gần như chỉ dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Song xét
theo một khía cạnh khác thì bất đẳng thức thực ra lại là một trong những chuyên đề có tác
dụng phát huy tính sáng tạo, tích cực tư duy của học sinh, tạo ra hứng thú, say mê khi học
môn toán. Vì vậy, nếu vận dụng các phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực vào dạy học
bất đẳng thức sẽ góp phần rất lớn cho sự thành công của việc dạy học bất đẳng thức.
Trong số các kỹ thuật dạy học tích cực đang được áp dụng hiện nay thì kỹ thuật
động não được coi là có tác dụng rất hữu hiệu trong việc phát triển khả năng tư duy sáng
tạo cho học sinh không chỉ trong quá trình học tập và nghiên cứu, mà còn trong cả công
việc và cuộc sống sau này của họ. Kỹ thuật động não rất phù hợp với việc dạy học bất
đẳng thức, có tác dụng khơi nguồn sáng tạo cho học sinh. Nhưng vận dụng như thế nào
cho phù hợp với mục tiêu bài học, nội dung chương trình, phân bổ thời gian, trình độ của
học sinh, là vấn đề không đơn giản và yêu cầu có sự đầu tư thích đáng. Vì vậy, tôi
2
chọn đề tài “Vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức nhằm phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh” làm đề tài nghiên cứu của mình.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Luật Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống
lại thói quen học tập thụ động.
II. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀ KỸ THUẬT DẠY HỌC TÍCH
CỰC
Phương pháp dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ
những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng
tạo của người học. Phương pháp dạy học tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực
hóa hoạt động nhận thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của
người học chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy, tuy
nhiên để dạy học theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy
theo phương pháp thụ động.
Ở cấp độ cao hơn của phương pháp dạy học, người ta có thể nói tới các đường hướng dạy
học. Ở cấp độ thấp hơn của phương pháp dạy học, người ta có thể nói tới các kỹ thuật dạy
học. Một phương pháp dạy học có thể bao gồm nhiều kỹ thuật dạy học khác nhau. Chẳng
hạn, hiểu một cách đơn giản, để có được một giờ dạy học bằng phương pháp dạy học tích
5
cực thì giáo viên đã phải phối hợp, vận dụng một cách phù hợp nhiều kỹ thuật dạy học
tích cực khác nhau.
Trong quá trình đổi mới các phương pháp dạy học thì việc sử dụng các kỹ thuật dạy học
tích cực có ý nghĩa đặc biệt trong việc phát huy sự tham gia tích cực và có hiệu quả của
người học vào quá trình dạy học. Do đó, áp dụng các kỹ thuật này trong dạy học có tác
dụng kích thích tư duy, khả năng sáng tạo và sự cộng tác làm việc của người học. Các kỹ
thuật dạy học tích cực đang được áp dụng rộng rãi hiện nay mà chúng ta có thể kể đến là:
động não, XYZ, bể cá, ổ bi, tia chớp, 3 lần 3, Chúng có thể được áp dụng thuận lợi
trong làm việc nhóm, song cũng có thể được kết hợp thực hiện trong các hình thức dạy
học toàn lớp nhằm phát huy tính tích cực của người học. Trong đó, kỹ thuật động não

các thành viên. Đồng thời, khuyến khích số lượng các ý tưởng, cho phép sự tưởng tượng
và liên tưởng.
V. ĐĂC ĐIỂM VÀ YÊU CẦU
- Kỹ thuật động não có thể được tiến hành bởi một hay nhiều người. Số lượng người
tham gia nhiều sẽ giúp cho việc tìm ra lời giải được nhanh hơn và toàn diện hơn nhờ vào
nhiều góc nhìn khác nhau bởi các trình độ, trình tự khác nhau của mỗi người tham gia.
- Dụng cụ: Tốt nhất là thể hiện bằng một bảng viết cho mọi thành viên đều đọc rõ tình
trạng của hoạt động động não. Nếu tiến hành cá nhân hay vài người thì có thể thay thế
bằng giấy viết. Ngày nay, người ta có thể tiến hành bằng cách nối các máy tính cá nhân
7
vào chung một mạng làm cùng tiến hành việc động não. Bằng cách này những người ở xa
nhau cùng có thể tham gia và họ có thể tận dụng được các thế mạnh của công nghệ thông
tin như là các kho dữ liệu, các từ điển trực tuyến, và các máy truy tìm.
VI. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH
- Trong nhóm lựa chọn ra một người điều phối và một thư ký để ghi lại các ý tưởng (hai
công việc này có thể do cùng một người đảm nhiệm nếu tiện).
- Người điều phối dẫn nhập vào chủ đề và làm cho mọi thành viên hiểu rõ được vấn đề
cần thảo luận.
- Thiết lập “luật” cho buổi động não, thông thường bao gồm:
+ Người điều phối có nhiệm vụ điều khiển buổi làm việc.
+ Không một thành viên nào có quyền đòi hỏi hay cản trở, đánh giá, phê bình hay thêm
bớt vào ý kiến, từ ngữ nêu ra, hay giải đáp của thành viên khác.
+ Cần xác định rằng không có câu trả lời nào là sai!
+ Tất cả câu trả lời, các ý, các cụm từ (ngoại trừ nó đã được lặp lại) đều sẽ được thu thập
ghi lại (cách ghi có thể tóm gọn trong một chữ hay một câu cho mỗi ý riêng rẽ).
+ Vạch định thời gian cho buổi làm việc và ngưng khi hết giờ.
- Bắt đầu động não: Người điều phối chỉ định hay lựa chọn thành viên chia sẻ ý kiến trả
lời (hay những ý niệm rời rạc). Người thư ký phải viết ra tất cả các câu trả lời, nếu có thể
công khai hóa cho mọi người thấy (viết lên bảng chẳng hạn). Không cho phép bất kỳ một
ý kiến đánh giá hay bình luận nào về bất kỳ câu trả lời nào cho đến khi chấm dứt buổi

không chỉ giúp cho giáo viên đạt được mục đích dạy học mà còn giúp phát triển khả năng
sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho họ một số kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này.
Kỹ thuật công não có thể được thực hiện một cách linh hoạt tùy thuộc vào nội dung và
tính chất của bài học (học bài mới hay ôn tập, bài học lý thuyết hay bài học theo hướng
ứng dụng, ), tùy thuộc vào mục đích của giáo viên (coi trọng việc kiểm tra khả năng
sáng tạo của học sinh hay coi trọng việc giải quyết được vấn đề, ), tùy thuộc vào năng
lực của nhóm học sinh và nhiều điều kiện ngoại cảnh khác.
Toán học là một trong số các môn học có tác dụng phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh, song lại khó áp dụng các phương pháp và kỹ thuật dạy học sinh động hay mang tính
thực tiễn. Tuy nhiên giáo viên có thể sử dụng kỹ thuật công não để phát huy trí tưởng
tượng và khả năng sáng tạo của học sinh mà lớp học cũng không kém phần sôi động.
Để sử dụng kỹ thuật động não trong dạy học, giáo viên có thể đưa ra một bài toán hoặc
một vấn đề và yêu cầu học sinh khai thác bài toán này theo các hướng khác nhau, hoặc để
giải bài toán bằng những cách khác nhau. Các ý tưởng được đưa ra có thể dựa trên các
nguyên tắc sau:
- Bỏ bớt hoặc làm yếu giả thiết của bài toán.
- Tổng quát hóa bài toán.
- Đặc biệt hóa bài toán.
10
- Đặt bài toán theo hướng ngược lại.
- Xét bài toán đã cho với một đối tượng khác.
- Tìm các ứng dụng của bài toán đã cho.
-
Trong số các ý kiến đưa ra, có thể có những ý kiến không đúng hay không thể thực hiện
được, nhưng cũng có thể có những ý kiến tìm ra được cách giải độc đáo hoặc mở ra một
bài toán mới hay hơn, có ý nghĩa hơn.
PHẦN III: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. THỰC HÀNH GIẢNG DẠY
Cách thức áp dụng kỹ thuật động não: Giáo viên nêu một bài toán bất đẳng thức
trong sách giáo khoa hoặc trong các sách tham khảo (trong các giờ tự chọn, bồi

⇔ baabba
baab
ba
(*)
(*) đúng suy ra (1) đúng.
Cách 2:
baab
ba
abbaabbaba
+
≥
+
⇒≥+⇒≥−+⇒≥−
4
4)(04)(0)(
222
baba +
≥+⇒
411
Cách 3: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có
12
⇒=⋅≥+






+ 42.
11


+ b
b
a
a
ba
ba
baba +
≥+⇒
411
(đpcm)
b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (1).
Kết quả:
1.1.
cbacba ++
≥++
9111
với a, b, c > 0
1.2.
nn
aaa
n
aaa +++
≥+++

1

11
21
2

chu vi của tam giác đó.
1.4.
bacacbcbacba ++
+
++
+
++
≥++
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
với a, b, c > 0
1.5.
222
)(
1
8
1
44
1
ba

+
ad
db
dc
ac
cb
db
ba
ca
với a, b, c, d > 0
1.8.






++
+
++
+
++
+
++
≥+++
badadcdcbcbadcba 2
1
2
1
2

addccbbadcba +
+
+
+
+
+
+
≥+++
với a, b, c, d > 0.
1.11.
cbacbacbaaccbba
++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
2
1
2
1
2
1
3
1

cbabacacbcba ++
≥
++
+
++
+
++
với a, b, c > 0
1.14.
)
2
1
2
1
2
1
(3
111
accbbacba +
+
+
+
+
≥++
với a, b, c > 0
1.15.
2
3
≥
+

1
1
≥
+
+
+
+
+ cba
với a, b, c
≥
0, a + b + c
≤
3
1.18.
9
2
1
2
1
2
1
222
≥
+
+
+
+
+ abccabbca
, với a, b, c > 0, a + b + c ≤ 1.
1.19.

3
≥
a
2
b + ab
2
. (2)
a, Yêu cầu 1: Chứng minh (2) bằng nhiều cách khác nhau.
Kết quả:
Cách 1: Ta có:
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
a
3
+ b
3
- a
2
b + ab
2


0 và b
≥
0, và
dấu bằng xảy ra khi a = b hoặc a = b = 0.
Cách 2: Ta có:
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
(a + b)(a
2
– ab + b
2
)
≥
ab(a+b)
⇔
(a + b)(a
2
– ab + b
2
- ab)
≥

⇔
(a
2
- b
2
)(a - b)
≥
0
⇔
(a - b)
2
(a + b)
≥
0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Cách 4 :
Ta xét các trường hợp sau:
+) Nếu a = 0 thì bất đẳng thức đã cho trở thành b
3
≥
0. (Luôn đúng vì b
≥
0 ).
+) Nếu a > 0 thì đặt b = t.a, t
≥
0. Thay vào bất đẳng thức đã cho ta được:
15
a
3
+ t
3

0
⇔
(t +1)(t - 1)
2
≥
0. Đây là bất đẳng thức đúng.
Cách 5:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm là a
3
và ab
2
, b
3
và a
2
b ta có:
a
3
+ ab
2≥
2
23
aba
= 2a
2
b; b
3

a
b
2
và a, Ta được:
b
a
2
+
b
≥
2
b
b
a
2
= 2a,
a
b
2
+ a
≥
2
a
a
b
2
= 2b;
Cộng theo từng vế hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Cách 7:
Ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm a

≥
3ab
2
.
16
Cộng theo từng vế 2 bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Cách 8:
Ta biến đổi vế trái của BĐT đã cho, như sau
VT(2) = a
3
+ b
3
= (a + b )(a
2
+ b
2
- ab), mà áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không
âm a
2
và b
2
.
Ta có: a
2
+ b
2

≥
2ab.
Do đó VT(2) = (a + b)(a

3
2
22
2
1
33
2
3
1
aaaaaaaaa
mm
+++≥+++
, với
,0, ,,
21
>
m
aaa
2.5.
accbbacba
nnnnnn
++≥++
+++ 111
, với a, b, c > 0,
2, ≥∈ nNn
2.6.
13221
11
3
1

ac
bc
cb
ab
ba
++≥
+
+
+
+
+
với a, b, c > 0
2.8.
,
333
cabcab
a
c
c
b
b
a
++≥++
với a, b, c > 0
2.9.
,
1111
333333
abc
abcacabccbabcba

cba
aca
ca
cbc
bc
bab
ab
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−
2
33
2
33
2
33
3
5
3
5
3
5
, với a, b, c > 0
2.12.

2.13.
)(4
6
29
6
29
6
29
3
33
2
33
2
33
cba
cca
ac
bbc
cb
aab
ba
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−

−
, với a, b, c > 0
2.15.
)()(3
32
73
32
73
32
73
222
333333
cabcabcba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
++−++≥
+
+
+
+
+
+
+
+
, với a, b, c > 0
2.16.

2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≤++
(3)
a, Yêu cầu 1: Chứng minh (3) bằng nhiều cách khác nhau.
Kết quả
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b
a
b
a
b
a
b
a

a
c
331
3
3
3
2
2
=≥++
Cộng vế với về ba bất đẳng thức trên ta được






++≥++++++
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a

a
23
2
2
2
2
2
2
(2)
Mặt khác ta có:
33
3
=≥++
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
Do đó từ (2) ta có
2
2
2
2

2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≤++⇒
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
( )








++=++

2
2
2
2
2
2
22
31111.1.1.
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b




++
2
2
2
2
2
2
2
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
19

2
2
2
1
13
2
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
nn
+++≤+++ 
với
n
aaa , ,
21
> 0,
3, ≥∈ nNn
3.2.
3

1
1
+
+
+
+
+
+
++≤++
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
c
c
b
b
a
a
c
c

b
a
++≤++
, với a, b, c > 0;
mnNmn ≤∈ ,,
*

3.5.
1
1
1
1
3
1
2
1
2
1
1
13
2
2
1
+
+
+
+
+
+
+++≤+++

21
> 0, k
3≥

3.6.
m
m
k
m
m
m
m
n
n
k
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

22
22






+
≥
+ baba
(1), với mọi a, b
R∈
b,
3
33
22






+
≥
+ baba
, với mọi a, b > 0.
Câu 2 (5 điểm): Hãy mở rộng bất đẳng thức (1).
2. Đáp án đề kiểm tra
Câu Nội dung

33
)()(4
22
baba
baba
+≥+⇔






+
≥
+
0,5
⇔
a
3
+ b
3
≥
a
2
b + ab
2

⇔
a
3

0. (4) đúng suy ra (3) đúng
0,5
Dấu bằng xảy ra khi
ba =
. 0,5
Cách 2: áp dụng BĐT (1) ta có 1,0
21
Câu Nội dung
Điể
m
22222
22
32
22
bababababa ++
≤






+
⇔







Bình luận: Cách 2 có vẻ dài hơn trong chứng minh bất
đẳng thức 1b, tuy nhiên để chứng minh các bất đẳng thức
mở rộng với số mũ lớn hơn thì cách 2 hữu hiệu hơn.
2
1.
3
33
22






+
≥
+ baba
(câu 1b)
2.
4
44
22






+
≥

++
≥
++ cbacba
, với mọi a, b, c
R∈
5.
3
333
33






++
≥
++ cbacba
, với mọi a, b , c > 0
2,0
22
Câu Nội dung
Điể
m
6.
n
nnn
cbacba



với mọi
m
aaa ,,,
21
> 0,
2,;, ≥∈ nmNnm
8.
2,0
3. Kết quả kiểm tra
+) Năm học 2007 – 2008: Lớp thực nghiệm là 10A5, lớp đối chứng là 10A4
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ hơn 5,0)
Lớp
Sĩ
số
Điểm TBM kì I Kết quả bài kiểm tra
Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu
S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L
% S
L

1
5
3
0
3
1
6
2
4 8 0 0
1
0
2
0
2
9
5
8
1
1
2
2
0 0
+) Năm học 2010 – 2011: Lớp thực nghiệm là 10A10, lớp đối chứng là 10A9
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ hơn 5,0)
Lớp
Sĩ
số
Điểm TBM kì I Kết quả bài kiểm tra
Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu
S

9
2
9
5
9
1 2 0 0
10A9
48 5
1
0
3
6
7
5
7
1
5
0 0 2 4
3
0
6
3
1
6
3
3
0 0
+) Năm học 2011 – 2012: Lớp thực nghiệm là 10A5, lớp đối chứng là 10A6
(Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ hơn 5,0)
Lớp

4
7
1 2 0 0
2
5
4
9
2
4
4
7
2 4 0 0
10A6
50
2
5
5
0
2
2
4
4
3 2 0 0
1
8
3
6
2
0
4