Về giả phổ của ma trận
Lê Đình Năng
Ngày 18 tháng 7 năm 2010
Mục lục
1 Phổ c ủa ma trận 4
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tính chất của phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bán kính phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Hoành độ phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Giả phổ của ma trận 15
2.1 Định nghĩa về giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Hoành độ giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Ví dụ về giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Tính chất của giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Biên của giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Tính toán hoành độ giả phổ của ma trận 35
3.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Thành phần liên thông của giả phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Sự hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
Lời mở đầu
Trong quá trình sử dụng hoành độ phổ để nghiên cứu tính ổn định vững của hệ phương
trình vi phân tuyến tính ˙x = Ax, x ∈ C
n
, A ∈ C
n×n
đã phát hiện nhiều lập luận không
còn chính x ác, và có thể dẫn tới kết luận sai lầm về dáng điệu tiệm cận của nghiệm dưới
tác động của nhiễu nhỏ hoặc dưới lực cưỡng bức rất nhỏ. Chính vì vậy cần có một c ông cụ

Hà nội, Ngày 18 tháng 7 năm 2010
Lê Đình Năng
GVHD:TS. Lê Công Lợi 3 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Chương 1
Phổ củ a ma trận
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1 Ta biết rằng với ma trận A vuông cấp n (thực hoặc phức), số phức λ
và véc tơ 0 = x ∈ C
n
thỏa mãn Ax = λx được gọi là giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng
của ma trận A, cặp (λ, x) được gọi là cặp riêng (eigenpair) của ma trận A.
Dễ thấy rằng, khi A không suy biến và nếu (λ, x) là cặp riêng của ma trận A thì (λ
−1
, x)
là cặp riêng của ma trận A
−1
.
Định nghĩa 1.1.2 Phổ của ma trận A là tập hợp gồm tất cả các giá trị riêng phân biệt
của nó trong mặt phẳng phức. Kí hiệu Λ(A) l à phổ của ma trận A khi đó ta có:
Λ(A) = {λ ∈ C : det(A −λI) = 0}.
Vì vậy
λ ∈ Λ(A) ⇔ A −λI suy biến ⇔ det(A −λI) = 0.
Tập {x = 0 : x ∈ ker(A − λI)} là tập gồm tất cả các véc tơ riêng liên kết với λ, và
ker(A −λI) được gọi là không gian riêng của A ứng với giá trị riêng λ. p(λ) = det(A −λI)
được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A, và đa thức đặc trưng p(λ) có bậc n đối với
λ, có số hạng với bậc cao nhất là (−1)
n
λ
n
. Do đó, giá trị riêng của ma trận A là nghiệm






−0.01 5 −1 −1
−5 −0.01 5 −1
0 0 −0.01 5
0 0 −5 −0.01








∈ R
4×4
,
khi đó rõ ràng A có hai giá trị riêng bội hai và phổ của A là:
Λ(A) = {−0.01 ±5i}.
Ma trận
B =







GVHD:TS. Lê Công Lợi 5 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
1.2 Tính ch ất c ủa phổ
Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng p(λ) = 0 nên những
tính chất của đa thức sẽ phản ánh nhiều tính chất của phổ ma trận. Vì vậy ta có nhận xét
sau:
1. Λ(A
T
) = Λ(A).
2. Λ(A) = Λ(A).
3. Λ(A
∗
) = Λ(A).
4. 0 ∈ Λ(A) khi và chỉ khi A suy biến.
5. Với k ∈ N hoặc A không suy biến và k ∈ Z thì
Λ(A
k
) = {λ
k
: λ ∈ Λ(A)}.
6. Λ(αI + A) = α + Λ(A), ∀α ∈ C.
7. Λ(αA) = αΛ(A), ∀α ∈ C.
8. Λ(AB) = Λ(BA), ∀A, B ∈ C
n×n
.
9. Với ma trận thực A, khi đó nếu A có giá trị riêng phức thì các giá trị riêng phức đó
phải xuất hiện theo cặp liên hợp, nghĩa là nếu λ ∈ Λ(A) t hì λ ∈ Λ(A).
10. Định lý các đường tròn Gerschgorin: Các giá trị riêng của A = (a
ij
) ∈ C

|a
ij
|

=: G
r
. (1.2.1)
GVHD:TS. Lê Công Lợi 6 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Vì Λ(A
T
) = Λ(A), nên (1.2.1) có thể được viết lại theo cột, vì vậy các giá trị riêng
của A bị chứa trong hợp G
c
các đường tròn được xác định bởi
Λ(A) ⊆
n

j=1

λ ∈ C : |λ − a
jj
| ≤
n

i=1,i=j
|a
ij
|


trận A là Λ(A) = {5, (1 ±5
√
5)/2}. Tr ong khi đó theo Định lý các đường tròn Gerschgorin
thì một giá trị riêng của A nằm trong đường tròn c ó tâm tại điểm (−5, 0) còn hai giá trị
riêng còn lại nằm trong hợp của hai đường tròn tâm tại (5, 0) và (6, 0) như Hình 1.1
Hình 1.1: Các đường tròn Ge rschgorin của ma trận trong Ví dụ 1.2 theo hàng
Số mũ của giá trị riêng
Với λ ∈ Λ(A) = {λ
1
, λ
2
, . . . , λ
k
}, ta có một số định nghĩa sau:
• Số mũ đại số của λ, ký hiệu al g mult
A
(λ), là số lần nó lặp lại trong tập nghiệ m của
đa thức đặc trưng p(λ). Nghĩa là, alg mult
A
(λ
i
) = a
i
khi và chỉ khi
(x −λ
1
)
a
1
(x −λ

(λ) = ge o mult
A
(λ) được gọi là các giá trị
riêng nửa đơn của A.
Chéo hóa ma trận
• Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận đường
chéo.
• Ma trận A chéo hóa được khi và chỉ k hi A có tập đầy đủ các véc tơ riêng. Hơn nữa,
GVHD:TS. Lê Công Lợi 8 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
P
−1
AP = diag(λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
) khi và chỉ khi các cột của P chứa một tập đầy đủ các
véc tơ riêng liê n kết với các giá trị riêng λ
i
, ∀i = 1, 2, . . . , n của ma trận A, nghĩa là
(λ
i
, P
∗i
) là cặp riêng của ma trận A.
• Nếu ma trận vuông A cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.
• Định lí chéo hóa Schur’s: Mỗi ma trận vuông đồng dạng unita với ma trận tam
giác trên. Nghĩa là, với A ∈ C

k
} chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại các ma trận {G
1
, G
2
, . . . , G
k
}
sao cho:
A = λ
1
G
1
+ λ
2
G
2
+ ··· + λ
k
G
k
,
trong đó các ma trận G
i
, i = 1, 2, . . . , k có các tính chất sau:
– G
i
là phé p chiếu lên ker(A −λ
i
I) dọc theo Im(A −λ

xy
∗
là phé p chiếu phổ liên kết với λ.
Ví dụ 1.3: X ét ma trận A =





1 −4 −4
8 −11 −8
−8 8 5





. Khi đó ma trận A có phổ gồm hai giá
trị riêng 1 đơn và -3 bội 2, ma trận P =





1 1 1
2 1 0
−2 0 1




với rankA = r, khi đó các khẳng định sau đây là đúng.
• Các véc tơ riêng khác không c ủa các ma trận A
∗
A và AA
∗
bằng nhau và thực dương.
• Các giá trị k ì dị khác không của A l à căn bậc hai số họ c của các giá trị riêng khác
không của A
∗
A (và AA
∗
).
• Khai triển kỳ dị (SVD): Tồn tại các ma trận uni ta U, V ∈ C
n×n
, và ma trận đường
chéo D = diag(σ
1
, σ
2
, . . . , σ
r
) ∈ C
r×r
sao cho
A = U


D 0
0 0


1
|, |λ
2
|, . . . , |λ
r
|}.
• Các véc tơ kì dị phải và trái của A là các véc tơ riêng của ma trận A
∗
A và A A
∗
tương
ứng.
• Ma trận Hermit B =


0 A
A
∗
0


có các giá trị riêng khác không là {±σ
1
, ±σ
2
, . . . , ±σ
r
},
trong đó {σ
1

λ∈Λ(A)
|λ|,
được gọi là bán kính phổ của ma trận A.
Dễ nhận thấy tính bị chặn trên của bán kính phổ của một ma trận, bán kính phổ của ma
trận không vượt quá chuẩn của nó, tức là:
ρ(A) ≤ ||A||.
Thật vậy, nếu (λ, x) là cặp riêng của ma trận A, thì Ax = λx, suy ra |λ|.||x|| = ||Ax|| ≤
||A|| .||x||, do đó |λ| ≤ ||A|| với mọi λ ∈ Λ(A), từ đó suy ra ρ(A) ≤ ||A||.
Ta có một số tính chất về bán kính phổ như sau:
• ρ(A) = lim
k→∞
||A
k
||
1/k
.
• Với A ∈ C
n×n
, kí hiệ u |A| l à ma trận có các phần từ là |a
ij
| và ma trận A, B ∈
R
n×n
, B ≤ C ⇔ b
ij
≤ c
ij
∀i, j. Khi đó nế u |A| ≤ B thì ρ(A) ≤ ρ(|A|) ≤ ρ(B).
GVHD:TS. Lê Công Lợi 11 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

∞
k=1
A
k
= (I −A)
−1
.
Hội tụ về 0: Với A ∈ C
n×n
, lim
k→∞
A
k
= 0 khi và chỉ khi ρ(A) < 1.
1.4 Hoành độ phổ
Định nghĩa 1.4.1 Hoành độ phổ của ma trận A là giá trị lớn nhất của phần thực của các
giá trị riêng của A. Kí hiệu α(A) là hoành độ phổ, khi đó ta có:
α(A) = max{Reλ : λ ∈ Λ( A)}.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
˙x = Ax, A ∈ C
n×n
, x(0) = c, (1.4.1)
trong đó x = (x
1
(t), x
2
(t), . . . , x
n
(t))
t

1
+ e
λ
2
t
v
2
+ ··· + e
λ
k
t
v
k
,
trong đó v
i
= G
i
c ∈ ker(A −λ
i
I), G
i
là phép chiếu phổ liên kết với λ
i
.
Tính ổn định
Hệ (1.4.1), trong đó A chéo hóa được với các giá trị riêng λ
i
, ta có:
• Nếu Reλ

e
At
= 0 và l im
t→∞
u(t) = 0 với mọi véc tơ ban đầu c, khi đó hệ
˙x = Ax ổn định.
• Nếu tồn tại một chỉ số i nào đó sao cho Reλ
i
> 0 thì các thành phần của u(t) không
bị chặn khi t → ∞, trong trường hợp này hệ ˙x = Ax và ma trận A k hông ổn định.
Vì vậy nếu hoành độ phổ α(A) âm (không âm) thì ta nói rằng A ổn định (không ổn định).
Quỹ đạo z(t) ∈ R
n
hoặc trong C
n
thỏa mãn ˙z = Az hội tụ về gốc tọa độ nhanh hơn e
βt
(với β thực âm cho trước ) ⇔ α < β. Vì vậy hoành độ phổ đo mức giảm tiệm cận của quỹ
đạo nghiệm về gố c tọa độ.
Ví dụ 1.4: Giả sử ta có ma trận
C =


J
9
(−0.1) 0
0 −0.001


∈ R

Λ

(A) là tập gồm tất cả các giá trị riêng của các ma trận phức X cách ma trận A một
khoảng không vượt quá , nghĩa là:
Λ

(A) = {z ∈ C : z ∈ Λ(X) trong đó ||X −A|| ≤ }, (2.1.1)
ở đây ||.|| là chuẩn-2 trên C
n×n
.
Trong luận văn, chúng tôi thường xét  là số thực dương cố định. Tuy nhiên, khi  = 0
ta có ngay Λ
0
(A) = Λ(A). Một phần tử trong -giả phổ được gọi là giả giá trị riêng. Rõ
ràng là Λ(A) ⊆ Λ

(A). Tương tự, ta có định nghĩa giả phổ chặt của ma trận A là tập:
Λ


(A) = {z ∈ C : z ∈ Λ(X) trong đó ||X −A || < }.
Một định nghĩa về giả phổ tương đương với (2.1.1) được cho bởi:
Λ

(A) = {z ∈ C : ||(A −zI)v|| ≤  với v ∈ C
n
, ||v|| = 1}. (2.1.2)
15
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Bây giờ ta xét khai triển kì dị (SVD) của ma trận zI − A được cho bởi:

≥ 0 là các giá trị kì dị của ma trận zI −A. Khi đó, giả nghịch đảo
suy rộng Moore-Penrose (zI − A)
+
có thể được viết như sau:
(zI − A)
+
=
n

i=1
σ
+
i
v
i
u
∗
i
,
ở đây
σ
+
i
=





1

∗
A (do ma trận A
∗
A đối xứng nên có giá trị riêng thực
không âm). Khi σ
min
(zI −A) = σ
n
= 0 thì (2.1.4) và (2.1.5) đều đúng nên ta có ngay điều
cần chứng minh, vì vậy ta xét σ
min
(zI −A) = σ
n
= 0, khi đó rõ ràng là ||(zI −A)
+
|| =
1
σ
n
nên ||(zI − A)
+
|| ≥ 
−1
⇔ σ
n
≤  ⇔ σ
min
(zI − A) ≤ . Vì vậy ta có (1.2.4)⇔(1.2.5).
Định l ý 2.1.1 [6] Các định nghĩa (2.1.1),(2.1.2),(2.1.4) và (2.1.5) về -giả phổ của m a
trận A là tương đương.

||(zI − A)
+
||. . Vậy ta có ||(zI − A)
+
|| ≥ 
−1
, tức là (2.1.2) ⇒ (2.1.4).
Từ khai triển SVD (2.1.3) suy ra ||(zI − A)v
n
|| = ||σ
n
u
n
v
∗
n
v
n
|| = σ
n
= σ
min
(zI − A).
Tức là ta có (2.1.5) ⇒ (2.1.1). Vậy ta có điều chứng minh. 
2.2 Hoành độ giả phổ
Định nghĩa 2.2.1 [6] α

−hoành độ giả phổ của ma trận A, ký hiệu α

(A), là giá trị



−1 −5 −25 −125 −625
0 −1 −5 −25 −125
0 0 −1 −5 −25
0 0 0 −1 −5
0 0 0 0 −1











.
Ma trận A chỉ có một giá trị riêng -1 bội 5. Các Hình 2.1, 2.2 và 2.3 cho giả phổ của ma
trận A tương ứng với  = 0.01,  = 0.1 và  = 0.001.
Hình 2.1: Giả phổ của ma trận A với  = 0.01
Ví dụ 2.2: Xét ma trận Demmel nhiễu, là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay
phần tử (5, 1) từ 0 thành 0.001i. Tức là ta thu được ma trận sau:
˜
A =





 = 0.001 tương ứng.
Nhận xét: Từ các Ví dụ 2.1 và 2.2 ta nhận thấy khi ma trận bị nhiễu nhỏ thì giá trị riêng
của nó bị thay đổi nhiều, trong khi đó giả phổ của nó tương đối ổn định.
Ví dụ 2.3: Xét ma trận
B =


0 1
−1 0


∈ R
2×2
.
Ta nhận thấy giả phổ Λ

(B) gồm hợp của hai hình t ròn bán kính , tâm tại hai giá trị riêng
±i. Trong trường hợp  = 1, thì giả phổ Λ
1
(B) là hai hình tròn tiếp xúc nhau tại gốc tọa
độ (xem Hình 2.7). Nếu  =
√
2 thì Hình 2.8 cho giả phổ Λ
√
2
(B) là hợp của hai hình tròn
cắt nhau.
2.4 Tính ch ất c ủa giả phổ
Xét hàm h : R
2

trong đó vế phải nhận giá trị 0 khi z ∈ Λ(A). Vì vậy g là nghịch đảo chuẩn của giải thức.
Sử dụng kí hiệu này và từ (2.1.5), khi đó giả phổ của ma trận là:
Λ

= {z ∈ C : g(z) ≤ }.
GVHD:TS. Lê Công Lợi 20 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.4: Giả phổ của ma trận
˜
A với  = 0.01
Tương tự, ta có giả phổ chặt
Λ


= {z ∈ C : g(z) < }.
Ta có một số định lý sau đây.
Định l ý 2.4.1 [6] Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó:
1. Λ

(A(:, 1 : k)) ⊆ Λ

(A(:, 1 : k + 1)), 1 ≤ k < n.
2. Λ

(A(1 : k + 1), :) ⊆ Λ

(A(1 : k, :)), 1 ≤ k < n.
Chứng minh: Theo định nghĩa giá trị kì dị nhỏ nhất của ma trận A, thì ta có:
σ
min

−1
(z −α)I − A)
+
||. 
Bổ đề 1 [1,2] Với các số thực x và y, số  > 0 là một giá trị kì dị của ma trận A−(x+iy)I
khi và chỉ khi iy là m ột giá trị riêng của ma trận
H(x) =


xI − A
∗
I
−I A − I


.
Điều này đúng nếu h(x, y) = 0.
Chứng minh: Theo Mục 1.2, thì m a trận A − (x + iy)I có giá trị kì dị  nếu và chỉ nếu 
GVHD:TS. Lê Công Lợi 22 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.6: Giả phổ của ma trận
˜
A với  = 0.001
là giá trị ri êng c ủa ma trận


0 A −(x + iy)I
A
∗
−(x − iy)I 0


(A
∗
− xI) −I
I (xI − A)


+ iy


I 0
0 I


,
nên (2.4.2) tương đương với iy là một giá trị riêng của ma trận


xI − A
∗
I
−I A − xI


.
Vậy ta có điều cần chứng minh của bổ đề. 
GVHD:TS. Lê Công Lợi 23 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709
Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận
Hình 2.7: Giả phổ của ma trận B với  = 1
Xét một số thực x cố định, từ Bổ đề 1, suy ra hàm h(x, ·) có tối đa 2n không điểm. Để


j=1

l
j
(x), u
j
(x)

,
nên ta có thể coi mỗi y trong tập trên là một tung độ "criss-cross" của giả phổ chặt, và ta
GVHD:TS. Lê Công Lợi 24 HV: L ê Đình Năng - THTT 0709

Trích đoạn Thử nghiệm số

---