o
I:ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng,
nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn
học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một
môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để
chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán
việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững
phương pháp dạy học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong
việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm
thường xuyên.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy
học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình
thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em
tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện
nhân cách
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi
lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm,
đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu
của việc học toán
Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc.
Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều
lời giải sai lầm. Nhà sư phạm toán nổi tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết
học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh :
“Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần
kiến thức khá quan trọng. Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng
thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh
bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương

sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi,
phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng
tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Trong trường THCS môn Toán là một môn nhiều học sinh cho là khó từ đó
không thích học. Qua quá trình giảng dạy và gần gũi học sinh tôi nắm được học
sinh thường chưa hiểu được công thức và không dám hỏi bạn bè và thầy cô giáo.
Với học sinh lớp 9 thì việc giải dạng toán “ Tìm x trong dấu căn đẻ giải phương
trình, các bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn ” gặp nhiều sai xót do
các em khi khai phương không lấy giá trị tuyệt đối, không chú ý đến điều kiện tồn
tại của căn bậc hai, các biểu thức liên hợp trong bài toán trục căn thức ở mẫu nên
dẫn đến kết quả sai hoặc bỏ xót nghiệm. Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này
học sinh thường ngại, lúng túng không tự tin và hay né tránh nên kết quả kiểm tra
phần này thường thấp.
Cụ thể khảo sát đầu năm học 2014-2015 kết quả như sau:

2
Lớp Giỏi % Khá % T.Bình % Yếu % Kém %
9A 1 4.3 2 8.6 10 43.7 9 39.1 1 4.3
9B 1 4.2 2 8.4 11 45.7 9 37.5 1 4.2
Chính vì vậy cần khắc phục tính rụt rè, thiếu tự tin cho các em bằng cách cho các
em phát hiện những chỗ sai trong các lời giải sai và phân tích nguyên nhân, từ đó
đưa ra biện pháp để khắc phục.
3.Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Khi chưa hướng dẫn học sinh giải bằng cách áp dụng sáng kiến kinh nghiệm,
học sinh giải thường vướng mắc các sai lầm như sau:
3.1 Sai do bình phương bằng nhau suy ra cơ số bằng nhau (A
2
= B
2

m mc c v vc c
( m c ) ( v c )
m c v c
m v
− = −
⇔ − = −
⇔ − + = − +
⇔ − = −
⇔ − = −
⇔ =
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Vậy sai lầm ở đâu? Phải chăng học sinh thường mắc phải trong suy luận:

3
A
2
= B
2
⇔ A = B Sửa lại cho đúng
A B A B= ⇔ =
2 2
Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán 9 trang 12) Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh
“Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.
Giả sử khối lượng con muỗi m(g) và khối lượng con voi V(g)

A
có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
Ví dụ 1: Có học sinh viết:
+Vì
( ).( )
− − = =
4 25 100 10
và
. ( ).( )− − = − − = =4 25 4 25 100 10
nên
( ).( ) .− − = − −4 25 4 25
(!)
+ Vì
− −
= = =
−
−
147 147
49 7
3
3
và
−
= =
−
147
49 7
3
nên
− −

• Biện pháp khắc phục:
- Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một
biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để
A
xác định, điều kiện để có:
.a b ab=
;
a a
b
b
=
.
3.3. Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một
số.
Ví dụ : Rút gọn biểu thức sau: A =
2
2 5a a−
( Với a < 0 )
+ Lỗi thường gặp như sau:
A =
2
2 5a a−
=
2 5 2 5 3a a a a a− = − = −
( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
A =
2
2 5a a−
=

- 6 = 0
⇔ − =
2
2 (1 ) 6x
⇔
1 x−
= 3.
Ta phải đi giải hai phương trình sau :
1) 1- x = 3
⇔
x = -2
2) 1- x = -3
⇔
x = 4.
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4.
+ Nguyên nhân:
Học sinh chưa vận dụng hằng đẳng thức
AA =
2
và giá trị tuyệt đối của
một số
+ Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một
số.

5
+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:
≥

=

nên ta có:
3 12x = −

⇒
3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
Ví dụ 3: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
Rút gọn biểu thức:
2
(4 17)−
+ Lỗi thường gặp như sau:
Học sinh A:
2
(4 17) 4 17 4 17− = − = −
Học sinh B:
2
(4 17) 4 17− = −
+ Cách giải đúng:
2
(4 17) 4 17 17 4− = − = −
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức
2
A A=
,
giá trị tuyệt đối của một số âm.
Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B =
1616 +x
-
99 +x
+

2
hay 16 =
2
)1( +x
⇔
16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1
⇔
x = 15

6
2) 16 = -(x+1)
⇔
x = - 17.
+ Cách giải đúng:
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1+x
+
1+x
(x
≥
-1)
B = 4
1+x
16 = 4
1+x

= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
3.5. Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn.
Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27
Rút gọn:
( x y )
x y
+
−
2
2 2
2 3
2
với
x , y , x y.≥ ≥ ≠0 0
Một học sinh A làm như sau:

( x y ) . ( x y ) ( x y )
x y
x y ( x y ) ( x y ) ( x y )
+ + +
= = =
−
− − − +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 2 6 6
2
2
Một học sinh B làm như sau:


2 5 3 5 9 2 6 2 5 15 2 14 7
− + + = − + +
= − + + = − + =
+ Cách giải đúng là:
20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 15 2 5
− + + = − + +
= − + + = −
+ Nguyên nhân:
Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi:

( )
x A y B z A m x z A y B m+ − + = − + +
( A,B
∈
Q
+
; x,y,z,m
∈
R )
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học
sinh khắc sâu và tránh những sai sót.
Ví dụ 3: Bài tập
Rút gọn:
( )
2
2
3 5 4A x x x= + − −
( với

+ Lỗi thường gặp như sau:
( )
2 2
.
1 1 (!)
y x y
y xy xy y
x x x
M
y y y y y
y y
x y
x x x
y
y y y
−
− −
= − = − = −
−
−
= − = − − = −
+ Cách giải đúng :

8
Đk để M xác định:
0xy ≥
;
0y ≠
. Ta xét hai trường hợp:
*

x x x
y
y y y
−
−
= − = −
−
−
−
= − = − + − = −
−
Vậy: nếu
0x
≤
; y<0 thì
1 2
x
M
y
= −
và nếu
0x
≥
; y>0 thì
1M = −
+ Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc
2
A B A B=
với
0B

A
tồn tại khi
0A
≥
+
0a
≥
,
( )
2
2
0x
a x
x a a
≥


= ⇔

= =


+ Nếu
0A
≥
, B > 0 thì
A A
B
B
=

9
hoặc
( )
( ) ( )
( )
2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 3
5 1
5 1 5 1
+ +
+
= = =
+
−
− +
hoặc
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 5 1 2 5 1 2 5 1
2 5 1
25 1 12
5 1
5 1 5 1
5 1
+ + +

5 1 5 1
− −
−
= = =
−
−
− +
- Cách giải đúng:
a.
b.
( )
( ) ( )
( )
2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 2
5 1
5 1 5 1
+ +
+
= = =
−
−
− +

- Nguyên nhân:
+ Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành
dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “
A B A B+ = +
” tương tự như

hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
+ Cần khắc sâu các công thức:
A A B
B
B
=
, với B > 0

10
( )
( )
2
3. 5 2
5 2 15 2 3
3
3
3
+
+ +
= =
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±

( )
( )
( )
( ) ( )
3 3
3
2
1 1 1 1
1
1 0
1 2 0
1 1
1
1
0( )
1 2 0 1
2
x x x x
x
x
x x x
x x
x
x
x loai
x x x x
x
− + = ⇔ − = −
≥
− ≥



Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x
1
=1; x
2
=2. (!)
+ Cách giải đúng:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3
3 3
3
2
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 2 0 1 2 0
x x x x x x
x x x x x x x x
− + = ⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ − − =
0x⇔ =
hoặc x = 1 hoặc x = 2.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
1 2 3
0; 1; 2x x x= = =
- Nguyên nhân:
+ Học sinh quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số
0a ≥

)174(32).17 −<x
.
- Lỗi thường gặp :
(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x <
3
( chia cả hai vế cho 4-
17
)
⇔
x <
2
3
.
- Cách giải đúng : Vì 4 =
16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có:
(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x >
3

x
x
=
3
)3)(3(
+
+−
x
xx
= x -
3
.
- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì
cần phải có x +
3
≠
0 hay x
≠
-
3
. Khi đó ta có
3
3
2
+
−
x
x
=
3

( x ) x+ − =2011 2010 0
(*)
+ Lơì giải sai:

12
Ta có :
( )
x x
+ − =
2011 2010 0

x
x x
x x
x
+ =

=− =−
 
⇔ ⇔ ⇔

 
− = =
− =
 

2011 0
2011 2011
2010 0 2010
2010 0

⇔ ⇔


− =

=

11 2 2 0
2
11 2 0
11
2 0
2
x x
x
x
x
x
+ Phân tích sai lầm: Không chú ý đến điều kiện căn thức có nghĩa
x −1
xác định khi
x ≥ 1
.Do đó
x =
2
11
Không phải là nghiệm
Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương
Mà (4)
x

Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương
đương với phương trình (4) với điều kiện:
x x− ≥ ⇔ ≤
2
2 7 0
7
. Do đó x = 2 cũng
không phải là nghiệm của (1).
+ Cách giải đúng:
Cách 1: Giải xong thử lại
Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định
x≤ ≤
2
1
7
. Do đó khi giải xong kết luận
phương trình vô nghiệm.
Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình
vô nghiệm.
Ví du 3: Giải phương trình:
x x+ = +4 2
+ Lời giải sai:
x
x x x x x x( x )
x
=

+ = + ⇔ + = + + ⇔ + = ⇔

= −





= −


2
2
2
2 0
4 2 0
0
3 0
4 4 4
3
Ghi nhớ :
B
A B
A B
≥

= ⇔

=

2
0
Ví dụ 4:Giải phương trình:
x

= ⇔ =
− −
2 5 2 5
1 1
2 2
(với x > 2 hoặc x ≤ -2,5)

x x x
⇔ + = − ⇔ = −
2 5 2 7
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = -7
4. Kiểm nghiệm
Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở các học sinh khá giỏi
môn toán của trường trong năm qua tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai
mà học sinh hay mắc phải những chỗ sai và tìm cách khắc phục như thế nào. Kết
quả học sinh có thể định hướng và vận dụng giải các bài toán thành thạo một cách
có hiệu quả. Cụ thể khảo sát sau khi học như sau:
Trước khi vận dụng:
Lớp Giỏi % Khá % T.Bình % Yếu % Kém %
9A 1 4.3 2 8.6 10 43.7 9 39.1 1 4.3
9B 1 4.2 2 8.4 11 45.7 9 37.5 1 4.2
Sau khi vận dụng kinh nghiệm:
Lớp Giỏi % Khá % T.Bình % Yếu % Kém %
9A 3 13,0 7 30,4 12 52,3 1 4,3 0 0
9B 3 12,5 6 25,0 14 58,3 1 4,2 0 0
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải
trong khi giải bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ
thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm
lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn

Do thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi,
nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết.
Đặc biệt gặp sai lầm khi giải toán là
điều khó tránh khỏi. Tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không dễ chút nào.
Nhưng nếu các bạn có ý thức khi giải toán thì chắc chắn các bạn sẽ thành công !
Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học
này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Rất mong được lãnh đạo và đồng
nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ sung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể
vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.

16
Tôi xin chân thành cám ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Hà Đông, ngày 15 tháng 3 năm 2015
TÔI CAM KẾT KHÔNG COPY.
Người viết
Phạm Đức Giang17