Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN
CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC
TRONG MÔN HÌNH HỌC LỚP 7
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn chuyên đề:
Trong chương trình hình học THCS các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ
lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng
minh bài toán chứ không đơn thuần là giúp học sinh có được lời giải bài toán.
Thông qua việc hướng dẫn của giáo viên giúp học sinh tự đúc kết được phương
pháp chứng minh, tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn hình học.
Với chương trình hình học 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái niệm mở
đầu về hình học. Học sinh được tiếp cận kiến thức bằng con đường quy nạp
không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến kiến
thức mới. Học sinh nhận thức các hình và mối liên hệ giữa chúng bằng mô tả trực
quan với sự hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu. Lên lớp 7 học sinh
bước đầu làm quen với các mối quan hệ vuông góc, song song, bằng nhau… Với
yêu cầu về kĩ năng từ thấp đến cao đòi hỏi phải có sự suy luận lôgíc hợp lý, khả
năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh. Việc làm
quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên
đại đa số học sinh chưa biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu.
Nếu vấn đề này không được khắc phục ngay từ lớp 7 thì HS sẽ không thể tiếp
thu được kiến thức hình học ở các lớp trên. Do vậy vai trò của giáo viên giảng
dạy lúc này rất quan trọng. Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học
sinh tìm ra cách chứng minh bài toán hình học từ đó hình thành kĩ năng phân
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
2
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược

trong môn hình học lớp 7
================================================================
phân tích tìm lời giải cho bài toán là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng thú học
tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết quả tốt hơn.
3. Cơ sở thực tiễn của chuyên đề
a)Đối với giáo viên:
Cơ bản là có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trỡnh
độ chuyên môn nghệp vụ. Có trách nhiệm đối với học sinh, đối với trường lớp
Phương pháp giảng dạy đó có sự đổi mới hơn theo hướng tích cực hóa hoạt
động của người học, từng bước áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy.
Tuy nhiên một bộ phận không nhỏ giáo viên còn lúng túng trong việc phân
tích, hướng dẫn cho HS tìm ra lời giải cho bài toán. GV thường phân tích xuôi
chiều từ giả thiết đến kết luận, khiến HS không hiểu tại sao và nguyên nhân nào
đưa đến lời giải của bài toán vì thế không vận dụng được vào giải các bài toán
khác, do đó HS không biết cách học toán, cụ thể là cách suy nghĩ để tìm lời giải
cho một bài toán. Đặc biệt là các bài toán chứng minh trong môn hình học, khiến
HS tiếp thu một cách thụ động, thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết
quả học tập thấp.
b)Đối với học sinh:
Một bộ phận học sinh, khoảng 20% rất tích cực học tập, rèn luyện, có động
cơ học tập đúng đắn nên đó c kết quả học tập tốt.
Một bộ phận lớn học sinh, khoảng 35% cú kết quả học tập trung bình, trong số
này có khoảng 15% nếu có phương pháp học phù hợp thì sẽ đạt mức khá .
Số còn lại (45%) học yếu, trên lớp hầu như không tiếp thu được bài học,.
trong đó phần lớn là do các em không có phương pháp học toán phù hợp, không
có kĩ năng phân tích, tìm lời giải cho bài toán.
Qua tìm hiểu tôi thấy nguyên nhân do trong quá trình dạy học thầy cô giáo
chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ chức
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
4

Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================
- Chứng minh các đường thẳng đồng quy
- Chứng minh các yếu tố cố định,
2. Phương pháp chung để tìm lời giải bài toán
a) Tìm hiểu nội dung bài toán
+ Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng kí hiệu như
thế nào?
+ Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán.
+ Dạng toán nào?
+ Kiến thức cơ bản cần có là gì?
b) Xây dựng chương trình giải: Chỉ rõ các bước giải theo một trình tự
thích hợp.
c) Thực hiện chương trình giải: Trình bày bài làm theo các bước đã được
chỉ ra. Chú ý các sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi.
d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
+ Xem xét có sai lầm không, có phải biện luận kết quả không
+ Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để,
3. Phương pháp chứng minh bài toán hình học theo hướng phân tích
đi lên
* Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung, ta đi sâu vào hai bước: Tìm hiểu
và xây dựng chương trình giải.
- Bài toán yêu cầu phải chứng minh điều gì? ( Kết luận A)
- Đề chứng được kết luận A ta phải chứng minh được điều gì? ( Kết Luận X)
- Để chứng minh được kết luận X ta dựa vào dấu hiệu nào, chứng minh điều gì?
( Kết luân Y)….
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
6
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược

Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E
sao cho ME = MA. Chứng minh rằng
a) AB = CE
b) AC // BE.
Hướng dẫn tìm lời giải:
Sau khi hướng dẫn học sinh vẽ hình và ghi gt, kl
giáo viên yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau:
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
7
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================
a) Để chứng minh AB = CE ta phải chứng minh điều gì? ( GV gợi ý: Dựa vào
các tam giác bằng nhau có chứa hai cạnh là hai đoạn thẳng trên).
(
ABM ECM
∆ = ∆
)
- Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên bằng nhau chưa? tại sao?
(
ABM ECM
∆ = ∆
(c – g – c))
- Sau đó giáo viên cho học sinh trình bày theo hướng ngược lại
b) Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dựa vào các dấu hiệu nào?
( Học sinh nêu các dấu hiệu – giáo viên hướng cho học sinh nên sử dụng cặp
góc so le trong bằng nhau).
Để chứng minh AC//BE Ta chứng minh cặp góc nào bằng nhau? ( góc CAE
bằng góc BEA hoặc góc ACB bằng góc CBE).

Hướng dẫn tìm lời giải.
Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT, KL
a) Hướng dẫn như VD 1:
b) GV: Hai tam giác đã có những yếu tố nào
bằng nhau? (c-c)
Ta sẽ CM hai tam giác bằng nhau theo trường hợp
nào? Khi đó cần CM thêm điều kiện gì? (
·
·
MAN ABP=
)
- Góc MAN và góc BAC có quan hệ gì với nhau? (bù nhau)
Vậy để CM:
·
·
MAN ABP=
ta phải CM đều gì?
(Góc ABP và góc BAC bù nhau)
- Ta CM được góc ABP và góc BAC bù nhau dựa vào yếu tố nào? (AC//BP)
- Sơ đồ phân tích:
Để CM ∆MAN=∆BPA
·
·
·
·
·
·
ta cm ta cm
MAP ABP MAN BAC ABP BAC→ = → + = +
(CM được từ AC//BP

AHM AHN=
hoăc
µ
·
0
1
90A HNA+ =
).
– Giáo viên hướng cho học sinh chứng minh
µ
·
0
1
90A HNA+ =
.
- Tính
µ
¶
1 2
A A+
( = 90
0
).
- Vậy để chứng tỏ
µ
µ
0
1
90A N+ =
ta phải chỉ ra được góc N và góc A

Sơ đồ phân tích.
a) Để CM BD=CF
cm cm
CF AD ADE CFE→ = →∆ = ∆
(CM được từ GT)
b) Cách1: Để CM DE//BC
·
·
·
·
cm cm cm
CDF BCD BDC FCD BDC DCF→ = →∆ = ∆ → =
Cách 2: Để CM DE//BC
·
·
·
·
cm cm cm
DFB FBC BDF FCD DBF BFC→ = →∆ = ∆ → =
(CM được từ GT và phần a.)
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
10
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================
Ví dụ 4: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn.
Trên các cạnh AC và BD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE=BF. CMR các
điểm E, O, F thẳng hàng.
Sơ đồ phân tích:
CM: E, O, F thẳng hàng

Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
11
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================
Để CM: AH, BE, CD đồng quy taCM:
CD chứa đường cao của ∆BKC.
·
µ µ
µ
·
·
0
1
1 1
90
ta cm ta cm ta cm cm
cm cm cm
BK DC KBC C C K BAK DBC
KA BC KAC BCE KAC BCE
→ ⊥ → + = → = →∆ = ∆
→ = →∆ = ∆ → =
Ví dụ 7. Tam giác ABC có góc A bằng 90
0
và AB=AC.
Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn
Thẳng BC. Kẻ BD và CE vuông góc với xy.
CMR: DE=BD+CE
Sơ đồ phân tích.
Để CM: DE=BD+CE Ta CM:

µ
µ
B C=
ta nên làm thế nào?
( HS Tạo ra hai tam giác chứa hai góc đó bằng cách kẻ thêm đường phụ)
- GV: Yêu cầu học sinh chứng minh hai tam giác đó bằng nhau theo nhóm.
Bài 2. Cho góc xOy khác góc bẹt Ot là tia phân giác của góc xOy, trên tia Ot
lấy điểm H. Kẻ đường thẳng vuông góc với Ot tại
H,
đường thẳng này cắt tia Ox, Oy lần lựt tại A và B.
a) CMR: 0A=0B
b) Trên tia Ot lấy điểm C. Chứmg minh Ot là đường phângiác của góc
ACB.
GV: cho học sinh ghi GT; KL
và chứng minh phân phần a) .
b) GV: Hướng dẫn bằng hệ thống câu hỏi:
- Để C/m Ot là đường phân giác của góc ACB ta phải chứng điều gì?
( HS : góc ACH bằng góc BCH) -Muốn chỉ ra góc ACH bằng góc BCH
Ta làm như thế nào?
HS:
AOC BOC
∆ = ∆
hoặc
AHC BHC
∆ = ∆
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
13
2
1
t

a) CMR: AD⊥BC
b) Kẻ BM⊥AC, CN⊥AB (M∈AC, N∈AB)
Chứng minh
b1) AN=AM
b2) MN//BC
c)BM cắt CN tại H, chứng minh ba điểm A, H, D
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
14
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================
cùng thuộc một đườngthẳng
- GV: Đưa hình vẽ lên màn hình
- HS: Ghi GT, KL trên bảng
Hướng dẫn học sinh chứng minh phần a, b
a) GV: Nếu AD⊥BC, khi đó hãy so sánh
hai góc ADB và ADC
- HS: Hai góc ADB và ADC bằng nhau
- GV: Khi đó Hai tam giác ADB và ADC có quan hệ với nhau ntn?
- HS: hai tam giác bằng nhau (c-g-c)
- GV cho một HS trình bày trên bảng theo hướng ngược lại.
b) GV: AM=AN Khi nào
- HS: Khi BN=CM.
- GV: BN=CM khi nào?
- HS: Hai tam giác BNC và CMB bằng nhau.
- GV: Hai tam giác BNC và CMB bằng nhau theo trường hợp nào?
- HS: Hai tam giác BNC và CMB bằng nhau (cạnh huyền- góc nhọn)
(Sử dụng kết quả bài 1)
- GV: MN//BC khi nào?
- HS: MN//BC khi

Bài 3. Tam giác ABC có các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại O. Từ
A vẽ đường thẳng vuông góc với OA, cắt các tia BO, CD lần lượt tại M và N.
CMR: BM⊥BN, CM⊥CN.
Bài 4. M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
các tam giác đều AMC, BMD. E, F là trung điểm của AD, BC. CMR tam giác
MEF đều.
Bài 5. Cho tam giác ABC trên tia BA lấy điểm M, trên tia CA lấy điểm N, sao
cho BM + CN = BC. CMR đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 6. Tam giác ABC cân tại A, đường cao BE, trung tuyến AM. Trên tia BA lấy
điểm F sao cho BF = CE. CMR các đường thẳng BE, CF, AM đồng quy
Bài 7. Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm
M, N, P sao cho AM = BN = CP
a) CMR tam giác MNP đều.
b) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tan giác ABC. CMR: O
cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP.
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
16
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================
Bài 8. Cho góc nhọn xOy. Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, sao cho
OA=OB. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với tia Ox, cắt tia Oy ở E. Từ B kể
đường thẳng vuông góc với tia Oy cắt tia Ox tại F, AE và BF cắt nhau tại I.
CMR:
a) ∆AFI = ∆BEI
b) OI là tia phân giác của góc AOB.
IV. KẾT LUẬN
1.Biện pháp thực hiện
Giáo viên phải thấy được tầm quan trọng của việc hướng dẫn HS phân tích,

Việc tìm được lời giải của bài toán chứng minh hình học không phải là đơn
giản và không có một quy trình sẵn có nên đòi hỏi trong quá trình dạy học giáo
viên phải thường xuyên chú ý đến các phương pháp hướng dẫn học sinh tìm tòi
cách chứng minh bài toán.
Qua đó rèn kĩ năng phân tích tổng hợp, tư duy lôgíc và kĩ năng trình bày bài
giải. Đối với học sinh lớp 7 kĩ năng trên sẽ từng bước được hoàn thiện dần về sau
và ở các lớp trên.
Giáo viên có thể áp dụng chuyên đề đối với chương trình hình học các lớp
8,9.
Giáo viên có thể tăng thêm hệ thống các bài tập khó hơn và đa dạng hơn để
làm chuyên đề bồi dưỡng HS khá, giỏi.
Khi viết chuyên đề tôi đã cố gắng nghiên cứu lí luận, căn cứ nội dung chương
trình và thực trạng về thầy và trò của trường THCS An Nông, đã có những thành
công khi áp dụng trong thực tế, song cũng không tránh khỏi những thiếu sót do
kinh nghiệm và năng lực còn hạn chế. Rất mong được qúy thầy cô góp ý để đề
tài hoàn thiện hơn.
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
18
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================
Giao Thủy, ngày 15/ 03/2013.
Người viết chuyên đề

Phạm Thị Nhài
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
19
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược
trong môn hình học lớp 7
================================================================

1. Biện pháp thực hiện 15
2. Kết luận 15
Xác nhận, đánh giá của trường THCS Hồng Thuận
Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận
20