SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT TRỊ AN
TỔ TOÁN

Mã số :

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
TÍCH PHÂN
Người Thực Hiện : Lê Công Quý
Lĩnh vực nghiên cứu
Quản lý giáo dục
Phương pháp dạy học bộ mơn
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác
Sản phẩm đính kèm :
Mơ hình phần mềm phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2011-2012
Trang1
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
******
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên : Leâ Coâng Quyù
2. Ngày tháng năm sinh : 14/03 /1973
3. Nam, nữ :nam
4. Địa chỉ : Tổ 1, Khu phố 3, Thị trấn Vĩnh An, Huyện Vĩnh Cửu, Tỉnh
Đồng Nai
5. Điện thoại di động : 01677895669
6. Fax: e- mail:
7. Chức vụ:
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Trị An

tổng chủ biên tôi tóm tắc phần lý thuyết như sau:
a. Định nghĩa tích phân :
cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. nếu
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích
phân của f(x) từ a đến b và ký hiêu là:
∫
b
a
dxxf )(
trong trường hợp a < b ta gọi
∫
b
a
dxxf )(
là tích phân của f(x) trên đoạn [a;b]
người ta còn dùng ký hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a)
vậy theo định nghĩa ta có :
∫
b
a
dxxf )(
=
b
a
xF )(
= F(b) – F(a)
b. Tính chất của tích phân : giả sử các hàm số f(x) ,g(x) liên tục trên khoảng
K và a,b,c là các số thuộc K.
(1)
0)(

a
b
a
∫∫∫
+=+
)()()]()([
(5)
dxxfkdxxkf
b
a
b
a
∫∫
=
)()(
(k : hằng số)
- Trong sách giáo khoa các phương pháp tính tích phân chưa thật sự đầy đủ
các dạng bài tập . do đó chưa đáp ứng đủ nhu cầu kiến thức phục vụ cho học
sinh tham gia các kỳ thi như trung học chuyên nghiệp, cao đẳng và tuyển sinh
đại học .
Thông qua đề tài này , tôi đã phân loại , bổ sung thêm các dạng toán mà sách
giáo khoa chưa giới thiệu theo tinh thần từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức
tạp . mỗi loại có trình bày phương pháp cụ thể và ví dụ minh họa , bài giải một
cách rõ ràng để học sinh và đồng nghiệp tiện tham khảo.
Trang4
2. NỘI DUNG , BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:
a. Tính tích phân bằng định nghĩa
phương pháp: xác định được ngay nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích
phân rối áp dụng định nghĩa để tính tích phân
ví dụ 1: tính các tích phân sau:

−
−
2
2
1dxx
giải
a)
∫
−
+
3
1
3
)1( dxx
=
3
1
4
)
4
(
−
+ x
x
=
)1
4
1
(3
4

−
+ xx
=
8)
4
cos3
4
tan4(
4
cos3
4
tan4 =
−
+
−
−+
ππππ
c)I =
∫
−
−
2
2
1dxx

vì



≤−

2
=−−−+−−−=
−+−=
−+−=
−
−
∫∫
x
xx
x
dxxdxx
Chú ý: ở dạng này học sinh thường mắc sai lầm khi lấy nguyên hàm , các em
thường để cả dấu trị tuyệt đối khi lấy nguyên hàm .
Sai lầm : nguyên hàm của f(x) =
1−x
là F(x) =
x
x
−
2
2
b. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số :
Tính tích phân
∫
b
a
dxxf )(

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây
Trang5

b) J =
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
c) H =
∫
+
e
dx
x
x
1
ln1
phân tích : a) I =
∫
−
1
0
2
xdxe
x

Ta xem g(x) =

e
e
eeeduedue
uuu
2
1
)(
2
1
2
1
2
1
2
1
10
0
1
0
1
1
0
−
=−===−
−
−
−
−
∫∫
b) J =

4
1
3
1
3
1
=−==
∫
udu
u

c) H =
∫
+
e
dx
x
x
1
ln1
đặt u = 1+ lnx ⇒ du =
dx
x
1
đổi cận x = e ⇒ u = 2
x = 1 ⇒ u = 1
do đó H =
2
3
2

2
≠
++
∫
a
cbxax
dx
( với ∆ = b
2
-4ac)
• nếu ∆ > 0 : ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)(x – x
2
) nên
I =
C
xx
xx
xxa
dx
xxxxxxa
+
−
−
−
=


2
−
) nên
I =
C
xxa
xx
dx
a
+
−
−=
−
∫
)(
1
)(
1
0
2
0
• nếu ∆ < 0: ax
2
+ bx + c = a(x- x
0
)
2
+
)
4

∫
++
+
cbxax
dxnmx
2
)(
phân tích I =
dx
cbxaxcbxax
cbxax
∫






++
+
++
++
22
2
1
.
)'(
.
βα
chú ý: nếu ∆ > 0 ta có : I =

2
0
)(
)(1
xx
dxnmx
a
=
C
xx
nmx
xx
a
dx
xx
nmx
xx
m
a
+
−
+
−−=
−
+
+
−
∫
0
0

2
1
0
2
23
2
xx
xdx
; D =
dx
xx
x
∫
++
+
1
0
2
1
34
giải:
A =
∫
−
2
1
12x
dx
=
∫

)12( x
xdx
=
2
1
∫
−
2
1
2
)12(
2
x
xdx
=
2
1
dx
xx
x




−
+



−

)12(
1
12
1
=
4
1
∫
−
−
2
1
12
)12(
x
xd
+
4
1
∫
−
−
2
1
2
)12(
)12(
x
xd
=

=
4
1
ln3 +
6
1
C =
∫
+−
2
1
0
2
23
2
xx
xdx
=
∫
−−
2
1
0
)2)(1(
2
xx
xdx
phân tích :
)2)(1(
2)(

⇔



=−−
=+
4
2
02
2
B
A
BA
BA

2ln23ln42ln43ln42ln2
2
3
ln.4
2
1
ln.2
2ln41ln2)
2
4
1
2
(
2
1

Phân tích :
1
2
)12(
1
34
2
2
2
++
+
++
+
=
++
+
xx
xx
x
xx
x
βα
giải hệ



=
=
⇔


x
∫∫
++
+
++
+
1
0
2
1
0
2
1
1
1
12
2
Ta có:
3ln21ln2
1
)1(
2
1
12
2
1
0
2
1
0



+






+
=
++
=
1
0
2
2
1
0
2
2
3
2
1
1
1
1
đặt



2
3
2
1
2
2
2
+=








+






+x
I =
dt
x
x
∫
+

π
===
∫
tdt
vậy D = 2ln3 +
33
π
d. Tích phân của hàm vô tỉ :
phương pháp :
1) khi gặp tích phân của hàm chứa
n
xf )(
ta dùng phương pháp đổi biến số ,
đặt u =
n
xf )(
( f(x) : đa thức hoặc phân thức)
nếu biến số vừa nêu không giải được thì :
+ dùng x = acost ( hoặc x = asint ) khi gặp
22
xa −
+ dùng x = atant khi gặp
22
xa +
2) với dạng
∫
+++ cbxaxnmx
dx
2
)(

);
13
1
)
x
dxx
Cc
x
xdx
Bbdx
x
x
Aa
giải
a)
∫
+
+
=
1
0
3
13
1
dx
x
x
A
đặt u =
3

28
3
1
53
1
)2(
3
1
1
3
1
33
3
3
4
1
2
5
4
1
4
4
1
2
3
3
33
−=



u
duuuduu
u
u
A
b)
∫
++
=
1
0
121 x
xdx
B
đặt u =
12 +x

dxududxuduxu =⇒=⇒+=⇒ 2212
2
và x =
2
1
2
−u
đổi cận : x = 0 ⇒ u = 1
x = 1 ⇒ u =
3
6
13
2






+−−=








−=−=
+
−
=
∫∫
uu
duuu
u
udu
u
B

c)
∫
+
=

2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
1
0
2
2
−=−−−=








−=−=
−
=
+
=
∫∫∫
u

=
2
1
2
122 xxx
dx
A
Trang10
đặt u =
x
1
⇒ x =
u
1
⇒ dx =
du
u
2
1
−
đổi cận : x = 1 ⇒ u = 1
x = 2 ⇒ u = ½
133
524
ln)
2
133
ln()52ln(1)1(1ln
1)1(22
22

2
2
1
1
2
2
+
+
=
+
−+=++++=
++
=
++
=
++
=
++
=
++
−
=
∫∫∫∫∫
uu
u
du
uu
du
uu
u

22)1( xxx
dx
B
đặt t =
22
2
++ xx
⇒ t
2
= x
2
+ 2x + 2 ⇒ tdt = (x+ 1)dx
đổi cận : x = 0 ⇒ t =
2
x = 1 ⇒ t =
5
)12)(15(
)12)(15(
ln
2
1
12
12
ln
15
15
ln
2
1
1








+
−
−
+
−
=
+
−
=






+
−
−
=
−
=
−
=

1
2
2
1
2/1
2
1
;
28
B
giải
∫∫
−−
−−
=
−+
=
1
2/1
2
1
2/1
2
)1(928 x
dx
dx
xx
dx
A
đặt x-1 = 3sint , x∈

0
6
0
6
π
π
π
π
===
∫∫
−
−
−
tdt
t
tdt
dx
x
x
∫
+
=
3
1
2
2
1
B
đặt x = tant , x∈


∫∫∫∫
===+
+
3
4
22
3
4
2
3
4
2
2
2
2
3
4
2
2
2
sin.cos
cos
sin.cos
1
cos
1
.
cos
sin
cos

=⇒ u
π
t =
4
π
2
2
=⇒ u
⇒B=
∫
−
2
3
2
2
22
)1( uu
du
=








+−
−+
+−=

)22)(23(
)22)(23(
ln
2
1
3
2
2
2
22
22
ln
23
23
ln
2
1
3
2
2
2
1
1
2
11
)
1
1
1
1

du
uuu
du
uu
e. Tích phân hàm lượng giác
*Xét tích phân dạng
∫
dxxxR )cos,(sin
nếu
)cos,(sin)cos,sin( xxRxxR −=−
thì đổi biến số t = cosx
nếu
)cos,(sin)cos,(sin xxRxxR −=−
thì đổi biến số t = sinx
nếu
)cos,(sin)cos,sin( xxRxxR =−−
thì đổi biến số t = tanx
Trang12
nếu 3 cách trên thất bại đặt t = tan
2
x

*Dạng đặt biệt
),(cossin Znmxdxx
mn
∈
∫
nếu n lẻ, m chẵn : đổi biến số t = cosx
nếu n chẵn, m lẻ : đổi biến số t = sinx
nếu n lẻ, m lẻ : đổi biến số t = sinx ( hoặc t =cosx)

4sin
(
2
1
)4cos1(
2
1
2
0
2
0
π
π
π
=+=+
∫
x
xdxx
B=
∫
2
0
2cos.4sin
π
xdxx
=
3
2
6
1






+−=+
∫
π
π
xx
dxxx
Ví dụ 2:
A =
∫
2
6
4
3
sin
cos
π
π
dx
x
x
; B=
∫
π
0
23

* A =
∫
2
6
4
3
sin
cos
π
π
dx
x
x

đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
đổi cận x =
6
π
⇒ t =
2
1

x =
2
π
⇒ t = 1
Trang13
3
4
2

6
4
2
=






+−−+−=






+−=






−=
−
=
−
==
∫∫∫∫

0
22
sincossin xdxxx
=
15
4
5
1
3
1
5
1
3
1
53
)()1()1(sincos)cos1(
1
1
53
1
1
42
1
1
22
1
1
22
0
22

C
đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx ⇒ -dt = sinxdx
đổi cận : x = 0 ⇒ t = 1
x =
3
π
⇒ t =
2
1
2ln
8
3
8
1
2
1
ln
2
1
)
2
(ln
)
1
(
11
sin.
cos
cos1
1

−
=
∫∫∫∫
t
t
dtt
t
dt
t
t
dt
t
t
xdx
x
x
C
π
chú ý : ta có thể đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
Trang14
khi đó
∫
=
3
0
2
3
cos
cos
sin

dx
x
x
D
Đặt t = tanx ⇒ dt =
dx
x
2
cos
1
đổi cận: x =
6
π
⇒ t =
3
3
; x =
4
π
⇒ t = 1
⇒
∫
=
4
6
4
2
cos
sin
π

2
2
−=








−===
∫∫
t
dttdx
x
x
π
π
f . Phương pháp tích phân từng phần
Cơ sở của phương pháp này là công thức sau:
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(')())()(()(')(

1
0
3
dxxe
x
b) B=
∫
−
2
0
cos)1(
π
xdxx
c) C=
∫
−
6
0
3sin)2(
π
xdxx

d) D =
∫
−
5
2
)1ln(2 dxxx
giải:
a)A=

3
e
-
1
0
3
9
x
e
=
9
1
9
2
9
1
93
333
+=+−
eee
b)B =
∫
−
2
0
cos)1(
π
xdxx
đặt u = x - 1 ⇒ du = dx
cosxdx = dv ⇒ v = sinx

6
0
3sin)2(
π
xdxx
đặt u = 2 – x ⇒ du = - dx
dv = sin3xdx chọn v = -
3
3cos x
C =
9
5
9
1
3
2
9
3sin
3
2
3
3cos
3
cos3x
x)- (2 -
6
0
6
0
6

1
1
1) -1)ln(x -(x
5
2
2
5
2
5
2
2
5
2
2
−=+−=
+−=
−
−
−=
∫∫
x
x
dxxdx
x
x
D
nhận xét: *học sinh thường chọn v = x
2
rồi tính tích phân
dx

Chú ý : ngoài ra còn gặp các tích phân mà ta phải dùng tích phân từng phần
nhiều lần để làm xuất hiện lại tích phân ban đầu .
Và đôi khi gặp các tích phân không thuộc các dạng ở trên, dùng phương pháp
đổi biến số không giải được ta có thể dùng phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ tính các tích phân sau:
a) A =
∫
2
0
cos
π
xdxe
x
; b)B =
∫
e
dxx
1
2
)(ln
; c) C =
∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx

x
=
−
2
π
e
∫
2
0
sin
π
xdxe
x
(1)
Tính B =
∫
2
0
sin
π
xdxe
x
Trang17
đặt u
1
= e
x
⇒ du
1
= e

1
2
−
π
e
b) B =
∫
e
dxx
1
2
)(ln
đặt u = (lnx)
2
⇒ du = 2.
xdx
x
ln
1
dv = dx chọn v = x
⇒ B =
∫∫
−=−
ee
e
xdxexdxxx
11
1
2
ln2ln2)(ln

∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
đặt u = ln(sinx) ⇒ du =
dx
x
x
sin
cos
dv =
dx
x
2
cos
1
chọn v = tanx
⇒ C =
∫∫
−−=−
3
6
3

3ln
2
3
2ln
3
1
2ln33ln
2
3
3
6
π
π
π
−−=−+−
x
BÀI TẬP LÀM THÊM
Tính các tích phân sau:
Bài 1: a)
2
1
0
.
−
=
∫
x
I e xdx
; b)
2

dx
x
Bài 2: a)
dx
x
∫
−
+
0
1
43
1
b)
dx
x
∫
−
2
1
2
)13(
1
c)
dx
xx
x
∫
−−
−
2

+
∫
x
I dx
x
c)
2
2 3
0
2.= +
∫
I x x dx
d)
ln3
3
0
( 1)
=
+
∫
x
x
e
I dx
e
Bài 4: a)
/ 2
5
0
sin .x dx

−
+
∫
Bài 5: a)
∫
=
2
0
2
.cos.
π
dxxxI
b)
∫
=
1
0
2
).(sin dxxeI
x
π
c)
∫
+=
e
dxxxI
1
.ln).22(
d)
∫∫

11
Sĩ số giỏi Khá Trung bình yếu-kém
46 1 11 8 26
% 2.2 23.9 17.4 56.5
năm học 2011-2012 sau khi làm xong sáng kiến kinh nghiệm này , tôi đã cho
2 lớp 12A1 và 12A4 làm bài kiểm tra 45 phút và kết quả thu được như sau:
lớp 12A
1
Sĩ số giỏi Khá Trung bình yếu-kém
44 10 25 8 1
% 22.7 56.8 18.2 2.3
lớp 12A
4
Sĩ số giỏi Khá Trung bình yếu-kém
40 6 21 11 2
% 15 52.5 27.5 5
mặc dù việc so sánh này ở các lớp khác nhau , chất lượng học sinh khác nhau
nên chưa được chính xác cho lắm. nhưng dù sao Nhìn vào 2 bảng thống kê
cũng phản ánh được một phần nào đó sự tiến bộ của học sinh sau khi áp dụng
sáng kiến kinh nghiệm này .
Trang20
IV. ĐỀ XUẤT , KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:
Sáng kiến kinh nghiệm này có phạm vi áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả cao
tại trường và các trường bạn trên cơ sở đó đề xuất :
- hằng năm giáo viên trong nghành giáo dục làm rất nhiều đề tài tham gia
các cuộc thi hội giảng , chiến sĩ thi đua cấp cơ sở , chiến sĩ thi đua cấp
tỉnh . nghành có kế hoạch chọn các đề tài chất lượng đóng thành đĩa CD
phát hành về các trường để giáo viên và học sinh tham khảo.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao do Đoàn Quỳnh tổng chủ biên – nhà

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối ,
chính sách : tốt khá đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn ,dễ
thực hiện và dễ đi vào cuộc sống :
: tốt khá đạt
- Đã đươc áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng : : tốt khá đạt
Xác nhận của tổ chuyên môn: Thủ trưởng đơn vị :
( Ký và ghi rỏ họ tên ) ( ký tên , ghi rõ họ tên và đóng dấu)
Trang22

Trang23