Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 1
1
BÀI GiẢNG MÔN HỌC
SỨC BỀN VẬT LiỆU
GV: TRẦN HỮU HUY
Tp.HCM, tháng 10 năm 2009
(Lưu hành nội bộ)
2
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
 ĐỊNH NGHĨA
 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
CHƯƠNG 4:
 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN
 CÁC CÔNG THỨC BiẾN ĐỔI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
 VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH.
 BÀI TẬP
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 2
3
ĐỊNH NGHĨA
Trong những trường hợp như thanh chịu uốn, xoắn… thì
ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A
mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt…
nghĩa là phụ thuộc vào các yếu tố khác gọi chung là đặc
trưng hình học của mặt cắt ngang.
y
P
z
y
P

Mômen tĩnh
Từ đó suy ra cách xác định trọng tâm đối với diện tích A
như sau:
-Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm của mặt cắt.
- Như vậy, mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm là bằng
không.
6
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh
co
co
xx x
yy y
=+
=+
Gọi C là trọng tâm của tiết diện cần tìm. Qua C dựng hệ
trục tọa độ x
0
Cy
0
song song với hệ trục tọa độ oxy ban đầu
0
0
0
C
C
0
A
dA
M

Mômen tĩnh
()
()
xco c ocxo
AAA
yco c ocyo
AAA
S y ydAy dA ydAyAS
SxydAxdAxdAxAS
=+ = + =+
=+ = + =+
∫∫∫
∫∫∫
Triển khai biểu thức trên:
Vì x
0
và y
0
là trục trung tâm nên
00
xy
S= S 0
=
Từ đó ta có:
xcyc
SyA;SxA==
Tọa độ của điểm C là (x
C
,y
C

9
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen quán tính
Mômen quán tính của diện tích
A đối với trục x (hay y) là các
biểu thức tích phân sau:
22
xy
AA
IydA;IxdA==
∫∫
- Mômen quán tính có thứ nguyên
là [chiều dài
4
].
- Mômen quán tính luôn mang giá
trị dương.
x
y
y
x
M
dA
A
10
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Bán kính quán tính
Một đặc trưng hình học hay được dùng để tính toán kết
cấu đó là bán kính quán tính được xác định như sau:
y

x
ρ
Từ đó ta có quan hệ:
222
pxy
xy
III
ρ= +
=+
12
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen quán tính ly tâm
Mômen quán tính ly tâm của diện tích A đối với hệ trục xoy
là biểu thức tích phân sau:
xy
A
IxydA=
∫
Mômen quán tính ly tâm có thứ
nguyên là [chiều dài
4
]. Và có
giá trị âm, dương hoặc bằng
không.
A
dA
M
x
y
y

y
dA
y
x
b
h
dA b.dy=
h2
h2
33
22
x
Ah2
h2
b
ybh
I y dA y bdy
312
−
−
⇒= = = =
∫∫
3
y
hb
I
12
=
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 8

==
−
==−
=−=
∫∫
∫∫∫
y
b
x
y
dA
dy
y
h
b
16
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình tròn
Ta có:
dA 2 .d=πρρ
R
R
4
2
p
0
0
44
4

II 0,05D
264
π
=== ≈
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 9
17
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình vành khăn
()
4
44 4
p
4
4
p
DdD d
I1
32 32 32 D
D
I1
32
⎛⎞
πππ
⎛⎞
=−= −
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

, I
y
, I
xy
.
-Tìm I
X
, I
Y
, I
XY
Ta có các liên hệ sau:
()
()
2
2
X
AA
22
X
A
22
X
AAA
I Y dA y b dA
Iy2bybdA
IydA2bydAbdA
==+
=++
=+ +

=+ +
=+ +
=+ + +
-Vậy ta có:
A
dA
M
y
x
X
Y
y
x
Y
X
0
a
b
Trong đóa, b làtọa độ của
gốc tọa độ ban đầu trong hệ
trục tọa độ mới XOY.
20
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức chuyển trục song song
xy
SS0==
Trong trường hợp đặc biệt
khi gốc tọa độ ban đầu nằm
tại trọng tâm mặt cắt.
A

Xét hệ trục uov xoay
từ hệ trục ban đầu
một góc α
Ta có liên hệ tọa độ:
uxcos ysin
vycos xsin
=α+α
⎧
⎨
=α−α
⎩
-Biết I
x
, I
y
, I
xy
.
-Tìm I
u
, I
v
, I
uv
x
y
u
v
x
.s

CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục
Thay vào công thức I
u
()
2
u
A
22
22
u
AA A
22
ux y xy
IycosxsindA
Icos ydAsin xdA2sin.cosxydA
IIcos Isin 2Isin.cos
=α−α
=α +α − αα
=α+ α− αα
∫
∫∫ ∫
Sử dụng các công thức lượng giác:
() ()
22
11
cos 1 cos2 ;sin 1 cos2 ;2sin .cos sin 2
22
α= + α α= − α α α= α
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy

suất trên mặt cắt nghiêng. Nên:
2
xy xy
2
max xy
2
xy xy
2
min xy
II II
II
22
II II
II
22
+−
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎝⎠
+−
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠
Với phương quán tính chính:
xy
xy
2I
tg2

xy
Vì vậy, nếu dùng một hệ trục tọa độ với trục hoành biểu
diễn I
u
và trục tung biểu diễn I
uv
thì quan hệ giữa I
u
và I
uv
là
tương quan của một vòng tròn gọi là vòng tròn Mohr quán
tính.
26
VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH
Công thức xoay trục
Ở đây, vòng tròn Mohr luôn
nằm ở bên phải trục tung vì
các giá trị I
u
là luôn dương
y
Ι
B
Ι
x
xy
Ι
Ι
min

Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng
bất kỳ:
Trong trường hợp tổng quát, khi hình phẳng A không có
trục đối xứng, hệ trục QTCTT được xác định theo trình tự
như sau:
-Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu. Xác định trọng tâm của
hình trong hệ trục này.
- Chuyển trục song song về trọng tâm của hình. Tính các
mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm.
- Xoay trục để tìm phương chính đi qua trọng tâm.