SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN DÃY SỐ LỚP 5”
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Mỗi môn học ở Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban
đầu để hình thành nhân cách mỗi con người.
Trong các môn học ở tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí đặc biệt
quan trọng bởi các kiến thức, kĩ năng của môn Toán có nhiều ứng dụng trong đời sống
mỗi con người và rất cần thiết cho mọi người lao động. Môn Toán là môn công cụ giúp
học tập các môn học khác ở tiểu học và học tập môn Toán trung học. Môn Toán còn giúp
học sinh nhận biết được những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế
giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới
xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống
Môn Toán còn góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ,
phương pháp suy luận giải quyết vấn đề, nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy
nghĩ độc lập của học sinh.
Từ những yêu cầu trên, cho thấy việc giảng dạy môn Toán ở bậc tiểu học có vai trò quan
trọng trong quá trình hình thành nhân cách của học sinh. Trong chương trình môn Toán
bậc tiểu học, việc dạy các bài toán về dãy số là một trong những dạng toán giúp học sinh
rèn luyện về trí tuệ, đồng thời giúp học sinh hình thành những kỹ năng biến đổi các phép
tính, các dãy tính để hình thành được quy luật của dãy số. Nó giúp các em định hướng
được cách giải để tìm ra kết quả dãy số cần tìm. Chính vì vậy, việc nâng cao hiệu quả
giảng dạy các dạng bài tập về dãy số để bồi dưỡng học sinh giỏi ở bậc tiểu học là một
việc rất cần thiết của mỗi giáo viên để nâng cao hiệu quả học tập của học sinh.
Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn nâng cao hiệu quả giảng dạy về dãy
số cho học sinh giỏi lớp 5 ở trường Tiểu học, tôi đã nghiên cứu và rút ra kinh
nghiệm: "Phương pháp giải các bài toán về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 ". Qua kinh
nghiệm này, tôi xin đưa ra một vài ý kiến về phương pháp giảng dạy, nhằm nâng
cao nghiệp vụ chuyên môn cho bản thân và các bạn đồng nghiệp, mong phần nào nâng
cao chất lượng giảng dạy môn Toán nói chung và nhất là nâng cao hiệu quả giảng dạy về

học Phú Xá - Thành phố Thái Nguyên.
5 - Thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh qua việc sử dụng phương pháp giảng dạy mới.
6- Tổng kết kinh nghiệm.
V. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU TRA, NGHIÊN CỨU:
1. Phương pháp điều tra khảo sát.
2. Phương pháp thử nghiệm.
3. Phương pháp thực hành.
4. Phương pháp phân tích tổng hợp.
5. Phương pháp kiểm tra đánh giá.
6. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
7. Phương pháp tổng két kinh nghiệm.
VI. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU:
- Tháng 9: Điều tra, khảo sát chất lượng dạy và học môn Toán, giảng dạy các bài tập về
dãy số trong môn Toán lớp 5.
- Tháng 10: Tìm biện pháp giảng dạy thích hợp. Dạy thực nghiệm.
- Tháng 11, tháng 12, tháng 1, tháng 2: Dạy thực nghiệm.
- Tháng 3, tháng 4: Đúc rút viết thành kinh nghiệm, sáng kiến để phổ biến rộng rãi trong
trường.
- Tháng 5: Tổng kết kinh nghiệm, viết sáng kiến kinh nghiệm.

PHẦN II: NỘI DUNG:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Xuất phát từ yêu cầu đặt ra trong quá trình dạy và học. Trong chương trình giáo dục Tiểu
học hiện nay, môn Toán cùng với các môn học khác trong nhà trường Tiểu học có những
vai trò góp phần quan trọng đào tạo nên những con người phát triển toàn diện.
Toán học là môn khoa học tự nhiên có tính lôgíc và tính chính xác cao, nó là chìa khoá
mở ra sự phát triển của các bộ môn khoa học khác. Vì vậy người giáo viên phải gây được
hứng thú học tập cho học sinh để các em tích cực, chủ động tiếp thu kiến thức. Việc dạy
học Toán theo chương trình sách giáo khoa và giải các bài toán nâng cao đối với học sinh
khá giỏi là hết sức cần thiết, nó giúp cho việc rèn luyện tư duy, làm quen với cách phân

- Các đồng chí giáo viên trong tổ có lòng yêu nghề mến trẻ, có tinh thần học hỏi,
nghiên cứu tài liệu để nâng cao chất lượng giảng dạy nên việc hỗ trợ và giúp đỡ nhau
trong quá trình nghiên cứu và dạy thực nghiệm đề tài có nhiều thuận lợi.
- Là những giáo viên đã giảng dạy lớp 5 nhiều năm và chuyên bồi dưỡng học sinh giỏi
nên tôi nắm được đặc điểm, đặc trưng của môn Toán và khả năng tiếp thu của học sinh
với dạng bài tập về dãy số cũng như các lỗi hay mắc của học sinh khi giải dạng bài tập
này.
2. Khó khăn:
- Dạng bài tập về dãy số thường có trong các đề kiểm tra học sinh giỏi các cấp và có
trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, ít có trong chương trình học hàng ngày nên
đối tượng nghiên cứu hẹp và ít.
3. Quá trình điều tra:
3- 1. Điều tra việc giảng dạy dạng toán về dãy số ở lớp 5:
a) Hạn chế về phương pháp giảng dạy:
- Phần lớn giáo viên chưa đưa dạng bài tập này vào chương trình buổi 2 trong năm học
mà phó mặc cho giáo viên dạy bồi dưỡng.
- Nội dung dạy và học chỉ gói gọn trong các giờ học bồi dưỡng học sinh giỏi, ít được
thực hành và ít vận dụng với thực tế.
- Việc tạo nguồn cảm hứng, niềm yêu thích với dạng bài tập này vẫn chưa được nhiều
giáo viên quan tâm.
b) Hạn chế về việc vận dụng, giảng dạy dạng bài tập về dãy số của giáo viên :
- Thiếu sáng tạo khi giảng dạy dạng bài tập này. Còn máy móc, khuôn mẫu, chưa vận
dụng sáng tạo trong quá trình giảng dạy dạng bài tập về dãy số.
- Chưa chịu tìm tòi để tìm ra cách giảng dạy tốt nhất về quy luật của dãy số.
- Chưa vận dụng các kiến thức toán học trong giảng dạy dạng bài tập về dãy số để giúp
học sinh phát hiện ra sự liên quan giữa các mạch kiến thức toán học.
3- 2. Điều tra về việc học dạng bài tập về dãy số của học sinh lớp 5:
a) Về hứng thú khi học dạng bài tập về dãy số:
- Học sinh ít hứng thú với dạng toán dãy số
- Học sinh vận dụng giải dạng bài tập này một cách máy móc, không linh hoạt. Nhiều em

bài khảo sát
Nắm chắc
kiến thức cơ
bản.
Nhận dạng
bài tập tốt
Kỹ năng
thực hiện bài
giải hợp lý

Chưa nắm
được quy
luật bài tập.Kết quả
chung bài
giải của HS

Điểm giỏi

6 bài
Đạt 20%7 bài
Đạt 23,3%

3 bài
Đạt 10%


12 bài
Đạt 40 %

9 bài
Đạt 30%

10 bài
Đạt 33,4%11 bài
Đạt 36,7%

Điểm yếu 5 bài
Đạt16,6%

3 bài
Đạt 10%
6 bài
Đạt 20%

6 bài
Đạt 20%

4 bài
Đạt 13,3%
III- CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIÊN:
Các giải pháp cải tiến phương pháp giảng dạy, cách giải dạng toán về dãy số cho học sinh
lớp 5:

lượng các số lẻ
- Dãy số bắt đầu là một số chẵn, kết thúc là một số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số
lượng các số lẻ
- Dãy số bắt đầu là một số lẻ, kết thúc cũng là một số lẻ, thì số lượng các số lẻ nhiều hơn
số lượng các số chẵn là 1 số
- Dãy số bắt đầu là một số chẵn, kết thúc cũng là một số chẵn, thì số lượng các số chẵn
nhiều hơn số lượng các số lẻ là 1 số
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bát đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính
bằng giá trị của số cuối cùng của dãy số ấy.
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bát đầu từ số khác 1 thì số lượng các số trong dãy số
bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.
2. Phân dạng bài tập, giúp học sinh nhận dạng các bài tập và phương pháp giải các
bài tập của từng dạng.
Các bài toán về dãy số cá thể phân ra các loại sau:
* Dãy số cách đều.
- Dãy số tự nhiên.
- Dãy số chẵn, lẻ.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó.
* Dãy số không cách đều:
- Dãy số Phi bo na xi.
- Dãy số có tổng (hiệu) giữa 2 số liên tiếp là một dãy số.
- Dãy số thập phân, phân số.
3. Hướng dẫn học sinh nắm chắc các bước giải toán :
Cách giải các dạng toán về dãy số :
* Dạng 1 : Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước dãy số :
- Trước hết cần xác định lại quy luật của dãy số.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng ( hoặc trừ) với
một số tự nhiên a.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân ( hoặc chia) với
một số tự nhiên q khác 0.

Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2
Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2

Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số
liền sau gấp 2 lần số liền trước đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy số là : 1 x 2 = 2.
b) Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10
Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9
Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8
Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7

Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó : Mỗi số hạng bằng 11 nhân với số thứ tự của số
hạng ấy.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy số là : 1 x 11 = 11.
* Ví dụ 4 : Tìm các số hạng còn thiếu trong dãy số sau :
a. 3, 9, 27, , 729,
b. 3, 8, 32, , 608,
Muốn tìm được các số còn thiếu trong dãy số này, trước hết cần xác định quy luật của
dãy số đó :
b) Ta nhận xét : 3 x 3 = 9
9 x 3 = 27

Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi
số liền sau bằng 3 lần số liền trước
Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :
27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 ( đúng)
Vậy dãy số còn thiếu 2 số là : 81 và 243.
b) Ta nhận xét : 3 x 3 – 1 = 8 ;
8 x 3 – 1 = 23.

Giải :
a) Ta nhận thấy :
Số hạng thứ 1 là : 2 = 2 x 1
Số hạng thứ 2 là : 4 = 2 x 2
Số hạng thứ 3 là : 6 = 2 x 3
…………………………….
Số hạng thứ n là : ? = 2 x n
Quy luật của dãy số là : Một số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
b) Ta nhận thấy : Các số hạng của dãy số là số chẵn, mà số 85 là số lẻ, nên số 85 không
phải là số hạng của dãy số đó.
* Ví dụ 2. Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……
- Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
Số 2012 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
* Giải:
- Ta thấy: 8 – 5 = 3 11 – 8 = 3
Dãy số trên được viết theo quy luật sau : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) bằng số
hạng đứng liền trước nó cộng với 3
Vậy 3 số tiếp theo của dãy số là : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.
Số 2012 có thuộc dãy số trên vì kể từ số hạng thứ 2 của dãy và số 2012 đều chia cho 3 dư
2
* Ví dụ 3: Em hãy cho biết :
a) Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,… hay không?
b) Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11, hay không ?
c) Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24, không ? Tại sao ?
* Giải :
a) Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy số đã cho vì :
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5
b) Số 2002 không thuộc dãy 2, 5, 8, 11, vì mọi số hạng của dãy đều chia cho 3 dư 2, mà
2002 thì chia cho 3 dư 1.

Số các số hạng của dãy = số khoảng cách + 1
Quy luật của dãy là: Số hạng đứng trước ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số thì số đó bằng
tổng bấy nhiêu số tự nhiên liên tiếp ( bắt đầu từ 1) thì được tính theo công thức:
Ví dụ :
* Ví dụ 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992
a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là số nào?
* Giải:
a) Ta có:
2 4 6 8 10 ………… 1992
4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 2
6 – 4 = 2 ; ………
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 2.
Nói cách khác: Đây là dãy số chẵn hay dãy số cách đều 2 đơn vị.
Dựa vào công thức sau:
( Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Ta có số các số hạng của dãy là:
(1999 – 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).
Ta nhận xét : Số hạng thứ 1 là : 4 = 2 – 2 = 2 + (2 – 1) x 2
Số hạng thứ 2 là : 6 = 2 + 4 = 2 + (3 – 1) x 2
Số hạng thứ 3 là : 8 = 2 + 6 = 2 + (4 – 1) x 2
…………………………….
Số hạng thứ 2002 là : 2 + (2002 – 1) x 2 = 4004
Đáp số : a) 996 số hạng
b) 4004 số hạng.
*Ví dụ 2: Cho dãy số 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp. Hỏi số 1981 là số hạng
thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?
( Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)
*Giải: Ta thấy: Số hạng thứ 1 là : 1 = 1 + 2 x 0
Số hạng thứ 2 là : 3 = 1 + 2 x 1

học sinh làm theo 2 cách sau:
Ta thấy: 3 + 37 = 40 ; 7 + 33 = 40
5 + 35 = 40 ; 9 + 31 = 40
……… ………
Khi đó, nếu sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số vào gồm 18 số hạng, thì được các cặp số
có tổng là 40
Số cặp là: 18 : 2 = 9 (cặp số)ổng của 19 số liên tiếp đầu tiên là :
1 + 40 x 9 = 361
Chú ý: Khi số số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở một trong 2 đầu dãy số (số đầu
hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn các số hạng rồi sắp cặp, lấy tổng của mỗi cặp nhân
với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số.
- Từ ví dụ trên, ta nhận thấy: Khi giải dạng toán bằng phương pháp lí thuyết tổ hợp, phải
chú ý phân biệt rõ cặp nào sắp xếp thứ tự và cặp nào không sắp xếp thứ tự để tránh sự
nhầm lẫn trong tính toán.
* Ví dụ 2: Tình tổng của các số tự nhiên từ 1 đến n
Giải:
Ghép các số: 1,2,…., n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2 với n – 1, 3
với n – 2, …
Khi n chẵn. ta có: (n ; 2) = n x (n + 1) : 2
Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có :
1 + 2 + + (n – 1) = (n - 1) x n : 2
Từ đó ta có :
S = (n – 1) x n : 2 + n
= (n - ) x n : 2 + 2 x n : 2
= [(n – 1) x n : 2 + 2 x n] : 2
= (n – 1 + 2) x n : 2
= n x (n + 1) : 2
*Ví dụ 3 : Cho dãy số : 1, 2, 3, …… 195. Tính tổng các chữ số trong dãy ?
Giải :
- Cách 1 : Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số : 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy :