Vấn đề2: Hẳng đẳng thức đáng nhớ

A/ Kiến thức
1) Giới thiệu bẩy hằng đẳng trong sgk
2) Bổ sung thêm các hằng đẳng thức
a) (a + b+ c)
2
= a
2
+ b
2
+c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca
b)( a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)(b + c)(c + a)
c)A
n
– B
n
= (A – B)(A
n-1
+ A.B
n-2



+
5
4
10
7
10
7
5
4 xyyx
3)(2a + b – 5)(2a – b + 5)
4)(3x +2)
3
5)(- x
2
– 2y)
3
6)(x
2
-
2
y
)
3

7)(3x – 4)(9x
2
+ 12x + 16) 8) (4x – 1)
2

2
xx
12)(5x – y)(25x
2
+ 5xy + y
2
)
13)(x + 1)
3
– x(x- 2)
2
– 1 14) (x + 1)(x
2
+ x + 1)(x – 1)(x
2
– x + 1)
15) 2x(2x- 1)
2
– 3x(x +3)(x- 3) – 4x(x+1)
2

16)(a – b+ c)
2
– (b – c)
2
+ 2ab – 2ac
17)(3x + 1)
2
– 2(3x +1)(3x + 5) + (3x + 5)
2

– x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)
22)(x – 2)(x
2
– 2x + 4)(x + 2)(x
2
+ 2x + 4)
23)(a + b + c)
3
– (b + c – a)
3
– (a + c – b)
3
– (a + b – c)
3

24)( a + b)
3
+ (b + c)
3
+ (c + a)
3
– 3(a + b)(b +c)(c + a)
Dạng2:Sử dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức về dạng bình phương
một tổng; bình phương một hiệu_Lập phương một tổng, lập phương một
hiệu.
Bài1: Viết mỗi biểu thức sau đây dưới dạng bình phương một đa thức
1)4x
2
– 2x +
4

phương của hai biểu thức:
x
2
+ 2(x + 1)
2
+ 3(x + 2)
2
+ 4(x + 3)
2
Bài4:Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là
một số chính phương.
Bài5:Viết các đa thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc lập
phương của một hiệu.
a) A = 8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
b)B = x
3
+3x
2
+ 3x + 1
c) C = x
3
– 3x
2

5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1)
2
+ (2x – 1)
2

7)G = x
4
– 2x
3
+ 3x
2
– 4x + 2005 8)H = x
6
– 2x
3
+ x
2
– 2x + 2
9)M =2x
2
+ 9y
2
– 6xy – 6x – 12y + 2028
10) N = x
2
– 4xy + 5y
2
+ 10x – 22y + 28
Bài2:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) P = x

+ 2x – 5
d)D = - 9x
2
+ 24x – 18 e)E = - 2x
2
– y
2
– 2xy + 4x + 2y + 5
g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x)
Bài4:So sánh hai số sau:
a) x = 2
16
và y = 3(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)
b)a = 2004.2006 và b = 2005
2

Bài5:
a) Với mọi x, y chứng minh rằng : x
2
+ 4y
2
+ 9
≥
2xy + 3x + 6y

+ 1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1) và B = 3
32
– 1
b)A = 12(5
2
+ 1)(5
4
+1)……(5
128
+ 1) và B = 5
256
– 1
Bài7:Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
A = 4a
2
b
2
– (a
2
+b
2
– c
2
)

+ b
2
)(x
2
+y
2
)
≥
(ax+ by)
2

6)(a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+y
2
+z
2
)
≥
(ax+ by +cz)
2

Bài9:Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhât?
S = 1 -

2
+y
2
+2)
3
– (x
2
+ y
2
– 2)
3
– 12(x
2
+y
2
)
2
b)Cho x + y = 1. Tính giá trị của B = x
3
+y
3
+ 3xy
Bài3:Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = x
2
– y
2
– 4x với x + y = 2
b)B = x
2

3
+ y
6
+ y
3
với x
3
+ y
3
= 1.
g)G =a
2
(a +1) – b
2
(b - 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
Bài4:Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 10. Tính a
4
+ b
4
+ c
4

Bài5:Cho ba số a, b, c thoả mãn các điều kiện sau :
a + b + c = 6 và a

+ b
5

Dạng5: Tìm giá trị của biến thoả mãn một điều kiện cho trước
Bài1:Tìm x,biết:
1) (x – 2)
3
– (x- 3)(x
2
+ 3x + 9) + 6(x +1)
2
= 49
2)x(x +5)(x-5) – (x+2)(x
2
- 2x + 4)= 42
3)(x +3)
3
– (x +1)
3
= 56
4)x
3
+ ( x – 1)
3
= (2x- 1)
3

5)(3x- 5)(5-3x) + 9(x +1)
2
= 30

2
– 2xy + 2x + 2- 4y = 0
e)5x
2
+ 5y
2
+ 8xy – 2x + 2y + 2 = 0
Bài3:Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn hệ thức sau:
a) x
2
– 4xy + 5y
2
= 100 b)4x
2
+2y
2
– 4xy + 20x – 6y + 29 = 0
Bài4:Tìm số tự nhiên n để:
a)n
2
– 4n + 7 là số chính phương b) n
2
– 3n – 1 là số chính phương
Dạng6:Chứng minh đẳng thức
Bài1:Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3

2
+b
2
+ c
2
)
c)a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a+b+c)(a
2
+ b
2
+c
2
– ab – bc – ca)
Bài4:Cho a
2
– b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng:
(5a- 3b + 8c)(5a- 3b – 8c)= (3a- 5b)
2

Bài5:Cho a, b, c thoả mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

2
111
222
=++
cba
.
Bài8:Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng :
(p – a)
2
+ (p – b)
2
+ (p –c)
2
+ p
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

Bài9:Cho x = a
2
– bc, y = b
2
- ac , z = c
2
– ab.
a) Cmr: ( x + y + z)(a + b + c)=ax + by + cz

2
)=(ax + by + cz)
2
vỡi,
y, z khác 0 thì
z
c
y
b
x
a
==
Bài12:Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a + b+ c)
2
+ a
2
+ b
2
+c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2

b)x
4

Bài1:Chứng minh rằng các số dạng: 1331; 1030301; 1003003001; ….;

0
0 100
ncs

00
01 0030 003
cnncs
đều là lập phương của một số tự nhiên.
Bài2:Với a, b
∈
Z; chứng minh rằng:
a)(a + b)

2
⇔
(a
2
+ b
2
)

2 b)(a + b)

6
⇔
(a
3
+ b

Rút gọn các biểu thức sau
1)(3x +
6
5a
)
2
2)






−






+
5
4
10
7
10
7
5
4 xyyx
3)(2a + b – 5)(2a – b + 5)

11)(
3
2
+
x
)(








+− 9
2
3
4
2
xx
12)(5x – y)(25x
2
+ 5xy + y
2
)
13)(x + 1)
3
– x(x- 2)
2
– 1 14) (x + 1)(x

19)(a + b – c)
2
+ (a – b + c)
2
– 2(b – c)
2

20) (a + b + c)
2
+ ( a – b – c)
2
+ (b – c – a)
2
+ (c – a – b)
2

21) (x – 2)
3
– x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)
22)(x – 2)(x
2
– 2x + 4)(x + 2)(x
2
+ 2x + 4)
23)(a + b + c)
3
– (b + c – a)
3
– (a + c – b)
3

– x + 1)
2
+ (x
2
– 3)
2
– 2(x
2
– 3)(x
3
– x + 1)
Bài2:Viết dưới dạng tổng các luỹ thừa của (x -1) đa thức sau:
A = 2x
2
– 3x + 5 và B = 3x
2
+ 7x – 1
Bài3:Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình
phương của hai biểu thức:
x
2
+ 2(x + 1)
2
+ 3(x + 2)
2
+ 4(x + 3)
2
Bài4:Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là
một số chính phương.
Bài5:Viết các đa thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc lập

+ b
2
+c
2
b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c)
Dạng3:Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá
trị lớn nhất nhỏ nhất_GTLN.
Bài1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
1) A = x
2
+ 10x + 25,01 2)B = 3x
2
– 6x + 4
3)C= x
2
– 4x + 7 4)D = 2x
2
+ 3x + 4
5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1)
2
+ (2x – 1)
2

7)G = x
4
– 2x
3
+ 3x
2
– 4x + 2005 8)H = x

– 2x + 2y + 15
d)S = x
2
+ 26y
2
– 10xy + 14x – 76y + 59
e)T = x
2
– 4xy + 5y
2
+ 10x – 22y + 28
Bài3:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = 4 – 2x
2
b)B = - x
2
+ 10x – 5 c)C = - 3x
2
+ 2x – 5
d)D = - 9x
2
+ 24x – 18 e)E = - 2x
2
– y
2
– 2xy + 4x + 2y + 5
g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x)
Bài4:So sánh hai số sau:
a) x = 2
16

– 2x + 4y + 5
≥
0 Với mọi x, y
e)
2
9
4
x
- 4x +
2
9
> 0 với mọi x
g)- 9x
2
+ 12x – 5 < 0 với mọi x
Bài6: So sánh hai số A và B.
a) A = (3 + 1)(3
2
+ 1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1) và B = 3
32
– 1
b)A = 12(5
2
+ 1)(5

2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) + 1
≥
0
3)x
2
+9y
2
+ z
2
+
2
19
> 2x + 12y + 4z
4)(x -1)(x -3)(x-4)(x -6) +10
≥
1
5)(a
2
+ b
2
)(x
2
+y
2
)
≥
(ax+ by)
2

6)(a

+ 146.127 + 73
2

4)D = 93.107 5)E = 2006
2
– 2005
2
+ 2004
2
– 2003
2
+ …+ 2
2
– 1
2

Bài2:
a) Rút gọn biểu thức : A = (x
2
+y
2
+2)
3
– (x
2
+ y
2
– 2)
3
– 12(x

2
y
2
(x +y) với x + y = 1
d)D = 2(x
3
+y
3
) – 3(x
2
+ y
2
) với x + y = 1
e)E = 2x
6
+ 3x
3
y
3
+ y
6
+ y
3
với x
3
+ y
3
= 1.
g)G =a
2

+ (z +1)
2005

Bài7:Cho a + b = 10 và ab = 4. Tính
1) A = a
2
+b
2
2)a
3
+ b
3
3)a
4
+ b
4
4) a
5
+ b
5

Dạng5: Tìm giá trị của biến thoả mãn một điều kiện cho trước
Bài1:Tìm x,biết:
1) (x – 2)
3
– (x- 3)(x
2
+ 3x + 9) + 6(x +1)
2
= 49

2
+ 5y
2
– 4xy + 10x – 22y +
zyx ++
+26=0
c)x
2
+ y
2
+ x – xy +
0
2
1
=
d)x
2
+ 2y
2
– 2xy + 2x + 2- 4y = 0
e)5x
2
+ 5y
2
+ 8xy – 2x + 2y + 2 = 0
Bài3:Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn hệ thức sau:
a) x
2
– 4xy + 5y
2

a) (a +b)
2
+ (a – b)
2
= 2(a
2
+ b
2
)
b)(a + b+ c)
2
+ (b + c – a)
2
+ (c +a- b)
2
+ (a + b – c)
2
= 4(a
2
+b
2
+ c
2
)
c)a
3
+ b
3
+ c
3

2
+ c
2
)
2
= 2(a
4
+ b
4
+ c
4
)
Bài7:Chứng minh rằng nếu:
2
111
=++
cba
và a+ b + c = abc thì
2
111
222
=++
cba
.
Bài8:Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng :
(p – a)
2
+ (p – b)
2
+ (p –c)

2
với x, y khác 0 thì:
y
b
x
a
=
Bài11:Chứng minh rằng nếu: ( a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+z
2
)=(ax + by + cz)
2
vỡi,
y, z khác 0 thì
z
c
y
b
x
a
==

2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca b)(a + b+ c)
2
= 3(a
2
+b
2
+ c
2
)
c)(a + b+ c)
2
= 3(ab + bc + ca)
Dạng7: Các bài toán liên quan đến số học
Bài1:Chứng minh rằng các số dạng: 1331; 1030301; 1003003001; ….;

0
0 100
ncs

00
01 0030 003
cnncs
đều là lập phương của một số tự nhiên.
Bài2:Với a, b
∈

4 44
ncs
. Chứng minh rằng x + y + 1 bao giờ
cũng là một số chính phương.
Bài4:Chứng minh rằng :
a) Nếu p và p
2
+8 là các số nguyên tố thì P
2
+ 3 cũng là số nguyên tố.
b)Nếu p và 8p
2
+ 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố
Bài5:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho
ab + 4 là số chính phương.