SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ
Mã số: ………………..


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI BÀI TẬP
TOÁN 8”

Người thực hiện: Lê Thị Hồng
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Lĩnh vực khác: ………… 
Có đính kèm
Mô hình

Phần mềm

Phim ảnh

Năm học: 2015 - 2016

1

Hiện vật khác


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

2


I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn toán là một môn khoa học về các quan hệ định lượng và các hình thể
không gian của thế giới hiện thực, là môn khoa học chi phối các môn khoa học khác.
Ở trường phổ thông môn toán học chiếm vị trí quan trọng cơ bản đối với
các em học sinh, kiến thức toán các em cần nắm phải là một chuỗi có hệ thống logic.
Trong đó số học là một môn khoa học chiếm khối lượng kiến thức khá lớn trong bộ
môn toán. Nó là một môn khoa học mà khả năng tư duy, kĩ năng suy luận của học
sinh được thể hiện rõ nét nhất, song song đó tính chặt chẽ và logic cũng được thể
hiện.
Về phương pháp giáo dục phải khuyến khích tự học, phải áp dụng
những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng học sinh năng lực tư duy sáng
tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự
nghiêm cứu cho học sinh.
Tuy nhiên trên thực tế thì ý thức học tập của các em học sinh ở bậc trung
học cơ sở còn chưa cao, các em chưa tự đi sâu, đi sát vấn đề khi chưa có sự hướng
dẫn của giáo viên. Trong đó kiến thức về hằng đẳng thức thuộc chương trình Toán lớp
8, phần lớn các em chỉ nắm được một số dạng toán cơ bản trong sách giáo khoa mà
chưa tự mở rộng được vấn đề. Vì thế tôi đã mạnh dạn chọn chuyên đề “Áp dụng
hằng đẳng thức vào giải bài tập toán 8” với mục đích khắc sâu các dạng toán trong
sách giáo khoa đồng thời giới thiệu cho các em một số dạng toán mà trong sách giáo
khoa không đề cập đến.
II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Theo từ điển giáo dục (NXB Từ điển bách khoa, 2001): Kỹ năng, khả năng thực
hiện đúng hành động, hoạt động phù hợp với những mục tiêu và điều kiện cụ thể tiến
hành hành động ấy, cho dù đó là hành động cụ thể hay là hành động trí tuệ …những
thao tác cụ thể ấy phải được luyện tập nhiều lần mới quen và ghi nhớ được, để đến khi

động chân tay do đó việc áp dụng phương pháp dạy học mới gặp rất nhiều khó khăn.
Đây là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
A. GIẢI PHÁP: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI BÀI TẬP TOÁN 8
1. ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ĐỂ TÍNH
* Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ sau để tính:
1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A– B)2 = A2 – 2AB + B2
3. A2 – B2 = (A– B) (A+B)
4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6. A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 )
7. A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 )
a. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính (y – 2)3
Giải:
6y2 + 12y – 8
Ví dụ 2: Tính ( 2x + 3y)2
Giải : ( 2x + 3y)2 = (2x)2 + 12xy + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
4

(y – 2)3 = y3 –


Ví dụ 3 : Tính (a + b + c)2
Giải : (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b).c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
b. Bài tập
Bài 1 : Tính

5


VT = (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
VP = – (b – a )3 = – (b3 – 3b2a + 3ba2 – a3)
= – b3 + 3b2a – 3ba2 + a3
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = VT (Đpcm)
b. Bài tập
Bài 1: Nhận xét sự đúng sai của kết quả sau: x2 + 2xy + y2 = ( x + 2y)2
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức:
a/ (x + y)3 = x(x – 3y)2 + y(y – 3x)2
b/ (x2 + y2)2 – (2xy)2 = (x + y)2(x – y)2
Hướng dẫn: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
A2 – B2 =(A - B)(A+B)
* Nhận xét: Đây là dạng toán không khó nhưng học sinh thường ngại làm khi nghe
đến chứng minh vì vậy để giải được dạng toán này hướng dẫn học sinh cần nhận dạng
được hằng đẳng thức sau đó biến đổi để vế trái bằng vế phải.
3. ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ TÍNH NHANH
Phương pháp giải: Tách các số trong phép tính sao cho có thể áp dụng các hằng
đẳng thức đã học.
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Tính nhanh 1012
Giải: 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 200 + 1 = 10201
Ví dụ 2: Tính nhanh 1992
Giải: 1992 = (200 – 1 )2 = 2002 – 400 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601
Ví dụ 3: Tính nhanh 47 . 53
Giải: 47 . 53 = ( 50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491
Ví dụ 4: Tính nhanh 342 + 662 + 68 . 66
Giải: 342 + 662 + 68 . 66 = 342 + 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000
* Nhận xét: Đây là một phương pháp đơn giản nhưng khi giải các em cần lưu ý khi

Bài 1: Rút gọn biểu thức rồi tính giá trị của biểu thức
a/ 4x2 – 28x + 49 với x = 4

b/ x3 – 9x2 + 27x – 27 với x = 5

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
b/ (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
* Nhận xét : Qua dạng toán này đa số các em bắt tay vào làm tất cả những gì mà các
em có thể làm được mà không quan sát, tư duy để có thể tìm được lời giải nhanh hơn,
ngắn gọn hơn, thích hợp hơn.
Do đó ngay sau khi giới thiệu đề bài tôi đã đặt câu hỏi: “Các em hãy quan sát kĩ
đề bài và thử phát hiện các biểu thức đã cho có gì đặc biệt ?” để từ đó các em hình
thành cho mình được thói quen phải biết quan sát, biết đặt những câu hỏi phân tích, tự
trả lời và tìm cho mình được lời giải thích hợp nhất. Kết quả là các em đã nhận ra
được các hằng đẳng thức trong các biểu thức đó và rất tự tin bắt tay và làm bài.
* Lưu ý : “A; B” trong các hằng đẳng thức có thể là một đơn thức nhưng cũng có thể
là một đa thức.
5. ĐIỀN VÀO Ô TRỐNG CÁC HẠNG TỬ THÍCH HỢP
Phương pháp giải:
- Dựa vào một số hạng tử của đẳng thức có ô trống ta nhận dạng một trong bảy hằng
đẳng thức đáng nhớ.
- Thay vào ô trống các hạng tử thích hợp.
7


a. Ví dụ
Ví dụ 1: Hãy tìm cách giúp bạn A khôi phục lại đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số
chỗ: x2 + 6xy + ……. = ( …….. + 3y)2
Giải: x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2


b. Bài tập: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a/ (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7
b/ (x2 + 2x + 3)(3x2 – 2x + 1) – 3x2(x2 + 2) – 4x(x2 – 1)
c/ (x + 3)3 – (x + 9)(x2 + 27)
* Nhận xét: Học sinh thường e sợ khi gặp bài toán chứng minh vì vậy hướng dẫn học
sinh rút gọn biểu thức đã cho để biểu thức đã rút gọn không còn chứa x.
7. TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ rút gọn vế trái của đẳng
thức và đưa về dạng ax + b hoặc đưa về phương trình tích từ đó tìm x
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm x, biết :
a/ (x + 2)2 – 9 = 0

b/ (x + 2)2 – x2 + 4 = 0
Hướng dẫn giải:

a/ (x + 2)2 – 9 = 0
Giải: (x + 2)2 – 9 = (x + 2)2 – 32 = (x + 2 – 3)(x + 2 + 3) = (x – 1)(x + 5).
Vậy (x – 1)(x + 5) = 0 từ đó ta có x = 1 hoặc x = - 5
b/ (x + 2)2 – x2 + 4 = 0
Cách 1: (x + 2)2 – x2 + 4 = x2 + 4x + 4 – x2 + 4 = 4x + 8.
8
4

Vậy 4x + 8 = 0 suy ra x = − = −2
Cách 2: (x + 2)2 – x2 + 4 = (x + 2)2 + ( 4 – x2) = (x + 2)2 + ( 2 + x)(2 – x)
= (x + 2) (x + 2 + 2 – x) = 4(x + 2). Vậy 4(x + 2) = 0 suy ra x = -2
b. Bài tập: Tìm x, biết:
a/ x(x – 2) + x – 2 = 0


Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi 2x + 1 = 0 hay x = − .
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 4x – x2 + 3
Giải:
B = 4x – x2 + 3 = - (x2 – 4x – 3) = - [(x2 – 4x + 4) – 7]
= - [(x – 2)2 – 7] = 7 – (x – 2)2
Vì – (x – 2)2 ≤ 0 nên B = 7 – (x – 2)2 ≤ 7. Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 7 khi
x – 2 = 0 hay x = 2.
b. Bài tập
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = x2 – 2x + y2 – 4y + 7
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ C = - 2x2 + 8x – 15
b/ B = x – x2
c/ A = 5 – 8x – x2
* Nhận xét: Đây là dạng toán khó vì vậy để giải được bài toán này cần có sự linh hoạt
trong quá trình biến đổi các em phải biết tách hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
9. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp giải:
Biến đổi đẳng thức về dạng A2 + B2 = 0, từ đó suy ra A = 0, B = 0.
a. Ví dụ
10


Ví dụ 1: Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca, chứng minh a = b = c.
Giải: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca, ta có:
2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0

3
1
+ = (x + )2 + > 0 với mọi x vì (x + )2 ≥ 0 với
4
4
2
4
2

mọi x.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng – 4x2 – 4x – 2 < 0 với mọi x.
Giải: – 4x2 – 4x – 2 = – [(4x2 + 4x + 1) + 1] = - [ (2x +1)2 + 1] = - (2x +1)2 – 1 < 0 với
mọi x.
11


b. Bài tập: Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau thỏa với mọi x, y:
a/ x2 + xy + y2 + 1 > 0
b/ x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0
* Nhận xét: Đây là phương pháp đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt các hằng đẳng
thức, phải biết tách hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
11. ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC
Phương pháp giải:
- Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k.
- Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia.
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng
minh rằng tổng bình phương của hai số a và b chia hết cho 5.
Giải: Ta có: a = 5K + 1; b = 5I + 2 (K, I ∈ N), Khi đó:
a2 + b2 = (5K + 1)2 + (5I + 2)2 = 25K2 + 10K + 1 + 25I2 + 20I + 4

Bài 2: Tính
a/ (a + b + c + d)2

b/ ( a – b + c – d)2

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a/ 8x3 – 60x2 + 150x – 125 với x = 4
b/ - 8x3 + 36x2 – 54x + 27 với x = 1
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
a/ (a + 3)(a2 – 3a + 9) – a(a2 + 1)
b/ (x – 2)(x2 + 2x + 4) – (2 – x)(2 + x)
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ x2 – 20x + 101
b/ 4a2 + 4a + 2
c/ 4x – x2 + 3
Bài 6: Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n 2 chia cho 7 dư bao nhiêu? n3 chia cho
7 dư bao nhiêu?
2. Bài tập chứng minh:
Bài 1: Chứng minh rằng (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Từ đó tính:
a/ (a + b)2, biết a – b = 3 và a.b = 4;
b/ (a – b)2, biết a + b = 6 và a.b = 8
Bài 2: Chứng minh rằng:
a/ x3 + y3 – xy(x + y) = (x + y)(x – y)2
b/ x3 – y3 + xy(x – y) = (x – y)(x + y)2
Bài 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x:
a/ x2 – 10x + 40
b/ 4x2 + 4x + 2
Bài 4: Chứng tỏ rằng đa thức sau không phụ thuộc vào x
(x2 + 2x + 3)(3x2 – 2x + 1) – 4x(x2 – 1) – 3x(x3 + 2x)

Giỏi %

Kh
á

%

T
B

%

Yê
u

%

Kém %

69

7

10,1
%

10

14,5
43,5


14,5
%

0

0%

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Áp dụng hằng đẳng thức vào giải bài tập toán 8 là dạng toán đòi hỏi học
sinh phải có sự yêu thích môn học cũng như phải có khả năng tư duy sáng tạo cao. Do
đó, tùy thuộc vào đối tượng học sinh mà đưa ra các bài toán phù hợp. Đối với học
sinh trung bình, yếu giáo viên đưa ra các bài tập đơn giản áp dụng hằng đẳng thức để
giải quyết các bài tập; đối với học sinh khá giỏi, giáo viên nâng mức độ bài tập như
bài tập chứng minh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp dạy học rất đa dạng và phong phú, không có phương pháp nào là
hoàn toàn ưu việt. Chính vì vậy trong quá trình dạy học nói chung và dạy học môn
Toán nói riêng, giáo viên phải năng động, sáng tạo kết hợp linh hoạt giữa các phương
pháp thì chắc chắn học sinh sẽ không khó khăn gì trong khi học môn Toán.
Đồ dùng dạy học cần chuẩn bị thường xuyên và có hiệu quả cao.

14


VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tôn Thân và cộng sự (2009). Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 tập 1,
tái bản lần thứ ba, Nhà xuất bản Giáo dục, Đà Nẵng.
2. Nguyễn Văn Lộc và công sự (2010). Rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán 8 tập
1, Nhà xuất bản Giáo dục, Huế.
3. Phan Đức Chính và công sự (2010). Sách giáo khoa toán 8 tập 1, tái bản lần

2

Câu 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2 tại x = 1 và y = -1
Câu 3: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

16

A = 2x – 2x2 – 5


Trang
Sơ lược lý lịch khoa học .......................................................................... 2
I. Lý do chọn đề tài ................................................................................. 3
II. Cơ sở lí luận và thực tiễn .................................................................... 3
III. Tổ chức thực hiện các giải pháp......................................................... 3
A. Giải pháp: Áp dụng hằng đẳng thức vào giải bài tập toán 8.............4
1. Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để tính ...................................... 4
2. Áp dụng hằng đẳng thức chứng minh đẳng thức.............................. 5
3. Áp dụng hằng đẳng thức để tính nhanh............................................ 6
4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức........................................7
5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp ............................................8
6. Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến. 8
7. Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước.................................................9
8. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức...................10
9. Phương pháp tổng bình phương.......................................................11
10.Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số.....................11
11. Áp dụng vào số học ......................................................................12
B. Bài tập áp dụng..................................................................................13