Tài liệu gồm 3 phần:
Phần một: Tóm tắt kiến thức cơ bản về:
A. Đại số :
I. Các phép biến đổi đồng nhất
II. Hàm số bậc nhất
III. Hàm số y=ax
2
. Phơng trình bậc hai một ẩn.
IV. Giải bài toán bàng cách lập phơng trình
B. Hình học :
I. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
II. Các loại đờng trong tam giác
III. Đờng tròn.

Phần hai : 18 đề luyện tập.
Phần ba: Một số đề thi và đáp án tham khảo.
Phần I : Kiến thức cần nhớ
A. Đại số
I. Các phép biến đổi đồng nhất
1) Cộng (trừ) các đơn thức : Chỉ cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng bằng cách cộng (trừ) các hệ
số.
2) Quy tắc về thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức đại số
3) Quy tắc về dấu : Khi bỏ dấu ngoặc, đổi dấu một phân thức .
4) Phép tính về lũy thừa (m,n N; m >n b0)
a
m
: a
n
= a
m-n

.
. 0
0
A B A B
A B A B neu A
A B A B neu A
=
=
= <

.
0
A B AB
A A
B
B
B
=
=
6) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
( a b)
2
= a
2
2ab+ b
2
; ( a b)
3
= a
3

II. Hàm số bậc nhất
1. Hàm số y= f(x) đợc cho bởi công thức y= ax+b (a, b là các số thực a0)
Ta gọi d là đờng thẳng y= ax+b.
Đờng thẳng y= ax+b ( a0) cắt trục hoành tại điểm A(-
b
a
;0)
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
a. Minh họa : Tập nghiệm của hệ phơng trình minh họa trên mặt phẳng tọa độ .
Trên mặt phẳng tọa độ nếu gọi (d) là đờng thẳng ax+by =c
và (d) là đờng thẳng ax+by =c
+ Tập nghiệm của hệ phơng trình (I)đợc biểu diễn bởi tọa độ các điểm chung của (d) và(d)
Ta có: * (d) cắt (d) ú hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất.
* (d) // (d) ú hệ (I) vô nghiệm
* (d) trùng (d) ú hệ (I) có vô số nghiệm
+ Xét hai đờng thẳng (d
1
) : y= ax+b (a0)và (d
2
) : y= ax+b(a0)
Ta có: * d
1
cắt d
2
ú a a.
* d
1
song song d
2
ú a =a; b b .

2
.Phơng trình bậc hai một ẩn.
1. Hàm số y=ax
2

(a0)
Đồ thị của hàm số y=ax
2
(a0) là một đờng cong đi qua gốc tọa độ (gọi là Parabol), nhận Oy là
trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol
+ Nếu a> 0 thì đồ thị nằm ở nửa mặt phẳng bờ xx chứa tia Oy.
+Nếu a< 0 thì đồ thị nằm ở nửa mặt phẳng bờ xx chứa tia đối của tia Oy.
2.Phơng trình bậc hai một ẩn.
a. Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng ax
2
+bx +c =0 (1)
a,b, c là các hệ số , a 0.
+ Có hai nghiệm phân biệt : a 0 và > 0
+ Có nghiệm kép : a 0 và = 0
+ Có một nghiệm : a= 0 và b 0
+ Vô nghiệm xét hai trờng hợp: + a= 0 và b=0 và c 0
+ a 0 và < 0
Chú ý: Đối với phơng trình (1), cần phân biệt rõ khi nào (1) là phơng trình bậc 2 hoặc trở thành
phơng trình bậc nhất.
+ Nếu phơng trình ax
2
+bx +c =0 có a+b+c =0 thì pt có một nghiệm x
1
= 1, x
2

=
b
a
; x
1
.x
2
=
c
a
.
*Nếu hai số có tổng bằng S và tích của chúng bằng P thì các số đó là các nghiệm của phơng
trình: ax
2
- Sx + P =0
c. Xét Parabol (P) : y=ax
2
(a0) và đờng thẳng y=bx +c (b0)

* Tọa độ giao điểm của (P)và(d) là nghiệm của hệ phơng trình:
2
ax y
bx c y

=

+ =

* Hoành độ giao điểm của của (P)và(d) là nghiệm của phơng trình ax
2

>0
iv. Hai nghiệm cùng âm : ú 0 và
c
a
>0 ;
b
a

<0
e.Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+bx +c =0 có hai nghiệm x
1
và x
2
thì tam thức ax
2
+bx+c phân tích đợc
thành nhân tử: ax
2
+bx +c= a(x x
1
) (x - x
2
)
IV.Giải bài toán bàng cách lập Phơng trình
Các bài giải toán bằng cách lập phơng trình có nội dung rất đa dạng và phong phú Dới đây các
thầy cô chỉ thống kê các dạng bài thờng gặp:

Dạng 1. Dạng công việc làm chung, làm riêng.

0

bằng nửa cạnh huyền.
b. Tứ giác và các tứ giác đặc biệt ( định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết), các hình
bình hành, thoi, vuông, hcn.
3. Đờng tròn: + Định nghĩa, tính chất đờng kính.
+ Các loại góc: góc ở tâm, góc nội tiếp, góc giữa tiếp tuyến và một dây, góc có
đỉnh ở trong, ở ngoài đờng tròn.(đ/n ,tính chất, hệ quả).
+Tứ giác nội tiếp đờng tròn. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Tiếp
tuyến của đờng tròn.
Phần II : một số đề luyện tập
Đề luyện tập số 1:
Bài 1: Cho biểu thức:
2
2
1
.
12
2
1
2










2
2
1
xx +
.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong thời gian nhất định. Nhng khi còn cách B 18km, ngời
đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đờng còn lại, nên đã đến B sớm hơn 18 phút. Tính vận
tốc ban đầu của ngời đó.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O; điểm A ở bên ngoài đờng tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến
ADE. Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh AH là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB
2
= AI.AH.
d) BH cắt đờng tròn tâm O ở K; chứng minh rằng: AE//CK.
Bài 5: Cho b, c là hai số thoả mãn hệ thức:
2
111
=+
cb
Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phơng trình sau phải có nghiệm:
x
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ cx + b = 0.
Đề luyện tập số 2:
- 4

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một lâm trờng dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vợt mức
5ha so với kế hoạch, nên đã trồng đợc 80ha và hoàn thành sớm 1 tuần. Hỏi mỗi tuần, lâm trờng dự
định trồng bao nhiêu ha rừng.
Bài 4: Cho ABC. Dựng ra ngoài tam giác các hình vuông ABEG và ACFH. Gọi K là giao điểm
của BH và CG.
a) C/M: AGC = ABH
b) C/M: BH CG
c) C/M các đờng thẳng CG, BH, EF đồng qui.
Bài 5: Cho 2 bất phơng trình: 3mx - 2m > x + 1 (1)
và m - 2x < 0 (2)
Tìm m để 2 bất phơng trình trên có cùng một tập hợp nghiệm.
Đề luyện tập số 3:
Bài 1: Cho biểu thức:
3 1 2
:
2 2
2 2 1 1
x x x x
A
x
x x x x x

+ +
= + +
ữ ữ
ữ ữ

+ +








+


+
+








+

+

=
2
2
2
1
:
2

Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa (O)
đờng kính AB và nửa (O) đờng kính AO. Trên (O) lấy 1 điểm M (Khác A và O), tia OM cắt (O) tại
C, gọi D là giao điểm thứ 2 của CA với (O).
a) CM: ADM cân
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E. Xác định vị trí tơng đố của đờng thẳng EA đối với(O)
và (O).
c) Đờng thẳng AM cắt OD tại H, đờng tròn ngoại tiếp COH cắt (O) tại điểm thứ 2 là N.
CMR: 3 điểm A, M, N thẳng hàng.
d) Cho ME//AB, tính OM theo a.
Bài 5:
Cho đờng thẳng y = (m-1).x+2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng đó là lớn
nhất?
Đề luyện tập số 5
Bài 1: Cho biểu thức:
1 1 1
:
x x
Q x
x x x x

+

= +
ữ
ữ
ữ
+
. Các tiếp tuyến vẽ tại B và C với đ-
ờng tròn cắt nhau tại A. Gọi M là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BC (trừ B; C). Tiếp tuyến tại M với (O)
cắt AB tại E, cắt AC tại F.
a) Tính số đo góc EOF.
b) CM: ABC đều. Tính chu vi AEF, biết bán kính đờng tròn (O) đã cho là R.
c) Gọi I và K tơng ứng là giao điểm của BC với OE và OF. CM tứ giác OIFC nội tiếp và các đờng
thẳng OM, EK, FI cùng đi qua 1 điểm.
d) CM: OIK đồng dạng với OFE và EF = 2KI.
Đề luyện tập số 6
Bài 1: Cho biểu thức
x
x
x
x
xx
x
A

+


+

+

=
3
12
2
3

là một điểm bất kỳ nằm giữa B và C, một đờng thẳng qua I và vuông góc với OI cắt đờng thẳng AB
tại E và cắt đờng thẳng AC tại F.
a) CMR: I là trung điểm của EF.
b) CMR: tứ giác AEOF nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
c) Trên cung nhỏ BC lấy điểm K (K B, C). Qua K kẻ t.tuyến nối (O, R) cắt AB tại P, cắt AC tại Q.
Tính chu vi tam giác APQ nếu OA =2R.
d) Đờng thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB và AC lần lợt tại M và N. Xác định
vị trí điểm A để S
AMN
nhỏ nhất.
Bài 5: Cho x, y > 0; x + y
4
3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
yx
yxS
11
+++=
Đề luyện tập số 7
Câu 1: Cho biểu thức










x
x
xx
x
x
x
P
a) Rút gọn P. b) Chứng minh P > 1.
c) Tìm x để:
( )
42)(22(5).22 +=++ xxPx
Câu 2:
Cho hàm số: y = x
2
; y = mx + 2 (x là biến).
a) Chứng minh: đồ thị 2 hàm số luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm m để đồ thị 2 hàm số có 1 giao điểm với hoành độ bằng 2.
Câu 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120km trong thời gian nhất định. Sau khi đi đợc 1 giờ ô
tô bị chắn đờng bởi tàu hoả mất 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe tăng vận tốc thêm 6km/h.
Tính vận tốc dự kiến lúc đầu.
Câu 4:
Cho đờng tròn (O; R), đờng kính AB. Lấy điểm K là điểm chính giữa cung AB, điểm N
thuộc đờng kính AB. Tia KN cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là M.
a) Nêu cách dựng đờng tròn (I) sao cho đờng tròn (I) tiếp xúc đờng tròn (O) tại M và đờng tròn (I)
tiếp xúc với AB tại N.
b) Gọi giao điểm của đờng tròn (I) với AM và BM là E, F. Chứng minh EF//AB.
c) Chứng minh tích KM. KN có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm N.
d) Gọi giao điểm của EN và FN với KB, KA lần lợt là P,Q. Tìm GTNN của chu vi NPQ khi N
chuyển động trên AB.

23
12
:
23
3
1
2
xxx
x
xx
xx
x
x
P
a) Rút gọn P. b) Tìm x để: -
( )
22.1 +=+ xPx
c) Tìm m để x =1, x = 3 thoả mãn
mP = (m
2
1)x- m
1+x

Câu 2: Cho hai hàm số: y = x
2
y = 3x + m + 1
a) Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm số khi m = -3
- 7
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Câu 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.






=
1(
1
1
2
:
1
1
xx
x
x
x
xP
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P < 4 -
32
c)Tìm x để P < 4x
2
d) Xác định m để có x thoả mãn: P = 2x (x-1) x
2
m
2
-
)12( mx
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với vận tốc đã định. Nhng khi đi đợc 1 giờ










+








+
+

+
=
)3)(2(
6
3
2
:
65
3

AO giao với (O) tại A ; AE giao với (O) tại C.
a) CM: OM.ON = R
2
b) CM: Tứ giác MBCE nội tiếp.
c) CM: I cách đều MA, MB, AB.
d) Qua O kẻ đờng vuông góc với OM cắt MA, MB lần lợt tại H và K. Tính min S
MHK.
.
Đề luyện tập số 11
- 9
Bài 1: Cho
4 2
:
1
1 1
x x x
P x
x
x x

+

=
ữ
ữ
ữ

+ +



+














=
43
2
4
:
2
42
2
22
xx
x
x

Đề luyện tập số 13
Bài 1: Cho biểu thức
2 2 1 1x x x x x
P
x x x x x
+ +
= +
+
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức P. c) So sánh P với 5.
d) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa. CMR: biểu thức
P
8
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 2: Cho phơng trình
ax
2
(b a + 1) x = m
2
+ 1 (1)
a)Với a = 1; b = 2 chứng minh rằng khi đó phơng trình (1) luôn luôn có nghiệm m
b)Tìm m để K = x
1
2
+ x
2
2
nhỏ nhất.
c)CMR: nếu 2a
2
b

;









+
+








+


= a
a
aa
a
a
aa
Q

2
1
21
xxxx
xx
M
+++
+
=
c) M có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
Bài 4: Cho (O, R) đờng kính AB và điểm M bất kỳ thuộc (O). Gọi các điểm chính giữa cung AM,
cung BM lần lợt là H, I, các dây AM và HI cắt nhau tại K.
a) CMR: HKM có độ lớn không đổi.
b) Kẻ IP vuông góc AM. CMR: IP làtiếp tuyến của (O, R).
c) Q là trung điểm dây MB. Vẽ hình bình hành APQS. CMR: S cũng thuộc đờng tròn (O, R).
d) CMR: Khi M di động thì HI luôn luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn .
Đề luyện tập số15.
- 11
Bài 1: Cho biểu thức P=
2
1 1 1
.
2
1 1 2
x x x
x x x

+

ữ ữ

b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x= 2y.
c)Gọi
1
( )d
và
2
( )d
là đồ thị của hai phơng trìnhcủa hệ vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ xOy.
Chứng minh rằng với mọi m,
1
( )d
và
2
( )d
luôn cắt nhau tại một điểm.Gọi giao điểm này là A.
Chứng minh rằng khi m thay đổi A luôn chạy trên một đờng tròn cố định.
Bài 4: Cho ABC cố định vuông tại A, đờng cao AD. Vẽ đờng tròn tâm (O
1
) ngoại tiếp ABD và đ-
ờng tròn tâm (O
2
) ngoại tiếp ACD. Qua A kẻ đờng thẳng d bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Gọi
giao điểm của d với (O
1
) là E, với (O
2
) là F. Gopị giao điểm của DE với AB là M, giao diểm của DF
với AC là N.
a) Chứng minh rằng góc EDF là góc vuông. b) Chứng minh MN//EF.
c) Chứng minh khi d quay quanh A(vẫn không cắt đoạn BC) tỉ số



+


= x
x
xx
x
x
xx
A
1
1
1
1
a) Tìm x để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm x để A < 7 4
3
.
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
2 (m + 1) x + m 4 = 0
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) CMR: phơng trình luôn luôn có nghiệm phân biệt m.
c) CMR: K = x
1
(1 x
2
) + x



a)Rút gọn P. b. Chứng minh P>2
b) Tìm x để
3
. 2 4 3 4x x P x x x x x + + = +

Bài 2 : Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong trong thời gian dự định. Thực tế xí nghiệp lại giao
80 sản phẩm, vì vậy mặc dù ngời đó đã làm mỗi giờ thêm 1 sản phẩm song thời gian hoàn thành
công việc vẫn chậm hơ 12 phút so với dự định .Tính năng suất dự kiến biết 1 giờ làm đợc không
nhiều hơn 20 sản phẩm.
Bài 3: Cho parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng (d): y = 2a + m
a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm m để (a) tiếp xúc với (P). Vẽ đồ thị ứng với m vừa tìm đợc.
c) Khi (d) tiếp xúc (P) làm trục toạ độ tiếp điểm.
d) Tìm m để (d) cắt (P) từ điểm có hoành độ x
1
= -1. Tìm hoành độ còn lại.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB =2R và điểm M cố định trên tiếp tuyến của đờng tròn
tại A (M A). Kẻ tiếp tuyến thứ hai MC và cát tuyến MHK ( C,H,K thuộc đờng tròn tâm O), H
nằm giữa M và K, tia MK nằm giữa hai tia MB và MO. Các đờng thẳng BH và BK cắt đờng thẳng
MO tại E và F. Qua A kẻ đờng thẳng song song với MK , đờng thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai
là I. CI cắt MK tại N.
a) Chứng minh rằng tứ giác MCHE là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh OE= OF.
c) Chứng minh tổng MN
2
+ON

x
-3)P = 12m
x
-4
Bài 2: Cho hệ phơng trình:
2 3 1
3
x y
ax y
+ =


=

x
2
2 (m + 1) x + m 4 = 0
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm và giải hệ khi có nghiệm.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Cho 2 vòi nớc cùng chảy vào bể cạn. Nếu dùng riềng từng vòi thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi
2laf 4giowf. Khi nớc đã đầy bể ngời ta đóng vòi 1 và vòi 2 lại, đồng thời mở vòi 3 cho nớc chảy ra,
sau 6 giờ thì bể cạn. Khi nớc đã cạn hết, nếu 3 vòi cùng mở đồng thời thì sau 24 giờ bể sẽ đầy. Nếu
mỗi vòi chảy vào một mình thì sau bao lâu bể đầy? Bao lâu vòi 3 chảy hết nớc trong bể sau khi đã
bơm đầy?
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và một điểm M nằm ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến MB
và MC cắt tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Kẻ đờng thẳng qua B song song với Mx, đờng thẳng
này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. AC cắt Mx tại I. BO cắt đờng tròn tâm O tại B. Qua O kẻ đờng
thẳng vuông góc với BB, đờng thẳng này cắt MC, BC tại K và E.
a) CMR: Tứ giác MOIC nội tiếp.
b) Chứng minh MOB= EBO .