SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VAI TRÒ CỦA GIÁO VIÊN CHỦ NHIỆM LỚP TRONG
CÔNG TÁC GIÁO DỤC ĐẠO ĐỨC HỌC SINH
Người thực hiện : Trần Văn Tiến
Chức vụ : Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán
THANH HÓA NĂM 2013
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1
Trong 5 năm trở lại đây Bộ giáo dục đã đưa phần số phức vào chương trình 12.
Đây là vấn đề mới đối với học sinh và đây là nội dung trong chương trình thi tốt
nghiệp cũng như thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng. Học sinh thường ngại học
phần này do chưa nắm được khái niệm cũng như áp dụng vào giải bài tập. Thực tế
phần này là phần không phức tạp, mức độ ra đề thi học sinh rất dễ lấy được điểm.
Trong nội dung bài viết này tôi muốn nêu ra một vài kinh nghiệm tổng kết, sắp xếp
các dạng bài tập cơ bản tạo hứng thú trong học tập cho học sinh, làm cho học sinh
thấy dễ hiểu và vận dụng tốt hơn, đạt hiệu quả trong làm bài tập.
B. CÁC KHÁI NIỆM
Xét trên tập số thực phương trình sau có nghiệm hay không ?
x
2
+ 1 = 0
Rõ ràng phương trình này vô nghiệm, các phương trình bậc hai có < 0 đều vô
nghiệm.
Với mong muốn các phương trình đều có nghiệm, toán học đã mở rộng tập hợp
số thực đó là tập hợp số phức để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm.
Người ta đưa ra một số mới i với i
2
= -1. Vậy x

I. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
VD 1: Cho z
1
= 2 + i, z
2
= 3 – i. Tính
211
zzz
−

Lời giải: z
1
+ z
1
z
2
= 2 + i + (2 + i)(3 – i) = 9 + 2i
⇒

211
zzz
−
=
8529
22
=+
2
VD 2: Tìm số phức z biết: z + 2 = (2 – i)
3
(1 – i) (1)

133
−=⇒





−=
=
⇔



=−
=
⇔

VD 3(CĐ 2009): Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)
2
(2 – i)z = 8 + i + (1 +2i)z.
Tìm phần thực và phần ảo của z .
Lời giải: (1 + i)
2
(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z
⇔
(2i)(2 – i)z – (1 + 2i)z = 8 + i
⇔
z[4i + 2 – 1 – 2i] = 8 + i
⇔
z =

Lời giải:
Giả sử z = a + bi
⇒
= a – bi
(1)
⇔
a + bi + 2(a – bi) =
)2)(2(
)2()1)(21(
2
ii
iii
+−
++−
⇔
3a – bi =
i
5
8
5
6
+

5
2
=⇒
a
và b =
5
8

iz
−=
+
+
2
1
)(5
(1)
Tính môđun của số phức
ω
= 1 + z + z
2
.
Lời giải: (1)
i
bia
ibia
−=
++
+−
⇔
2
1
)(5
iz
b
a
ab
ba
abbiba

|
ω
| =
1332
22
=+
VD6 (ĐH D - 2012): Cho số phức z thỏa mãn :
i
i
i
zi 87
1
)21(2
)2(
+=
+
+
++
(1)
3
Tìm môđun của số phức
ω
= z + 1 + i.
Lời giải: Giả sử z = a + bi
(1)

⇔
(2 + i)(a + bi) +
i
i

)1)(1(
)1)(21(2
22
2
2
b
a
ab
ba
iiiibiaibia
i
ii
ii
biaibia
Do đó
ω
= 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i
⇒
|
ω
| =
534
22
=+
VD 7 (ĐH A – 2011): Tìm tất cả các số phức z, biết z
2
=
zz
+
2





−=−=
==
=−=
⇔



=+
=+
⇔
2
1
;
2
1
0;0
2
1
;
2
1
02
02
2
ba
ba

=+=⇒







−=
=
⇔



−=−+
=−
⇔
z
b
a
ba
ba
VD 9: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa mãn z
3
= 18 + 26i
Lời giải: Ta có
( )
)3(26)3(18
263
183

2
– 2i = -2i. Do đó: (1 – i)
4
= 4i
2
= -4
⇒
( 1 – i)
4n
= (-1)
n
. 4
n

⇒
(1 – i)
2013
= (1 – i)
4.503
.(1 – i) = (-4)
503
.(1 – i)
4
= (-4)
503
+ 4
503
.i
Vậy z có phần thực và phần ảo tương ứng là: (-4)
503

43
58
+
−
+
+
+
i
i
i
Bài 2. Tìm phần thực; phần ảo; môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
a. z
1
= (2i – 1)
2
– 3i(i + 1) + 2i
3
b.
i
i
i
3
2
23
+
−
−
c. z
3
= 3.i

c. z
3
= (4 + 3i)
3
d. z
4
= (2+ 5i)
2
– (4 – i)
3
Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn:
0)32)(3)(1(
=+−+−
iziziz
Xác định phần thực và phần ảo của z.
Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn:
i
i
z
−
+
=
1
)31(
3
. Tìm môđun của
izz
+
Bài 7. Tính môđun của số phức z, biết
iiziz 53)2)(4()2)(12( −=+−+−+

1
2
= z
VD1 : Tìm căn bậc hai của số phức: z = 5 + 12i
5
Lời giải: Giả sử m + ni (m,n ) là căn bậc hai của z
Ta có: (m + ni)
2
= 5 + 12i
⇔
m
2
+ 2mni + n
2
i
2
= 5 + 12i
⇔
m
2
+ 2mni – n
2
= 5 +12 i





=
=−

2
= 5
⇔
n
4
+ 5n
2
– 36 = 0




−=
=
⇔
)(9
)/(4
2
2
loain
mtn



−=⇒−=
=⇒=
⇔
32
32
mn

2
= 16 ; m
2
= -180 ( loại)




−=⇒−=
=⇒=
⇔
564
564
nm
nm
Vậy z có hai căn bậc hai là:
ivài 564564
−−+
Bài tập luyện: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a)
i247 −−
b)
i341
+
c)
i22017
+
d)
i6423
−−

’
6





=
−=−
⇔





=
−=−
⇔
)2(
524
)1(164
5482
164
22
22
m
n
nm
mn
nm

= 5 + 12i
⇔
m
2
+ 2mni + n
2
i
2
= 3 + 4i
⇔
m
2
+ 2mni – n
2
= 3 + 4i





=
=−
⇔



=
=−
⇔
)2(


−
12
12
)(1
4
0433
2
2
2
22
2
2
nm
nm
loaim
m
mm
m
m
Vậy
∆
có hai căn bậc hai là






+=

’ là
3i
±
Vậy nghiệm của phương trình là:
iziz 32,32
−−=+−=
VD 3: Giải phương trình: z
3
+ 4z
2
+ (4 + i)z + 3 + 3i = 0 (1)
Lời giải: Dễ thấy z = -i là nghiệm của (1) nên:
(1)
⇔
(z + i)[z
2
+ (4 – i)z + 3 – 3i] = 0



=−+−+
=+
⇔
)2(033)4(
0
2
iziz
iz
Giải (2):
∆

i
ii
z
Vậy (1) có ba nghiệm là –i, -3, -1 + i
VD 4: Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình:
2(1 + i)z
2
– 4(2 – i)z – 5 – 3i = 0
7
Tính |z
1
|
2
+ |z
2
|
2

Lời giải: Ta có:
∆
’ = 4(2 – i)
2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình có hai
nghiệm phức :
iziz
2

3
– 2z
2
+ 6z – 4 = 0
trên tập số phức tính tổng: S =
2
4
2
3
2
2
2
1
1111
zzzz
+++

Lời giải: pt: z
4
– z
3
– 2z
2
+ 6z – 4 = 0
⇔
(z – 1)(z + 2)(z
2
– 2z + 2) = 0 (1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của phương trình (1) là:


1
1111
22
2
4
2
3
2
2
2
1
=
+
+
−
++=+++
ii
zzzz

VD 6: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm: z
1
= 6 – i và z
2
= 4 + 3i
Lời giải: Ta có tổng và tích:
S = z
1
+ z
2
= (6 – i) + (4 + 3i) = 10 + 2i

2
4
.
Lời giải: Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = z
1
+ z
2
= -2 + i
P = z
1
.z
2
= 3 + 5i
Do đó: z
1
2
+ z
2
2
= S
2
– 2P = (-2 + i)
2
– 2(3 + 5i) = -3 – 14i.
z
1
4

+ z

≠
0.
Chia hai vế phương trình (1) cho z
2
ta được :
)2(0
2
111
2
2
=+






−−






+
z
z
z
z
Đặt

=−=−=∆⇒=+−
Vậy phương trình (3) có 2 nghiệm:
2
31
,
2
31
21
i
t
i
t
−
=
+
=
Với
2
31
1
i
t
+
=
ta có
)4(02)31(2
2
311
2
=−+−⇔

zi
ii
z
Tương tự, với
2
31
2
i
t
−
=
ta có 2 nghiệm là:
2
1
,1
43
−−
=−=
i
ziz
Do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm:
2
1
,1,
2
1
,1
4321
−−
=−=

nào đó đối với a và b. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
VD 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho
iz
iz
u
−
++
=
32
là một số
thuần ảo.
Lời giải: Giả sử z = a + bi (a, b
∈
), khi đó:
[ ][ ]
22
)1(
)1()3(2
)1(
32
−+
−−+++
=
−+
+++
=
ba
ibaiba
iba
ibia

5
, khuyết 2 điểm (0;1) và (-2; -3).
VD 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn:
(*)1
4
32
=
+−
−+
iz
iz
Lời giải: Giả sử z = a + bi
(*)
⇔
|a + 2 + (b – 3)i| = |a – 4 – (b – 1)i|
⇔
(a + 2)
2
+ (b – 3)
2
= (a – 4)
2
+ (b – 1)
2
⇔
3a – b -1 = 0
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x – y – 1
= 0.
9
VD 3: ìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức

+
+−
=⇔++=
ω
(1)
2
2
)3()3(
2
31
)3(3
2
31
)3(3
22
≤
−+−
⇔≤
+
−+−
⇔≤
+
−+−
⇔
ba
i
iba
i
iba
16)3()3(

e)
|2||1|2 izzz
+−=−
f)
( )
4||
2
2
=−
zz
V. TÌM SỐ PHỨC Z CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
Bài toán : Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện G nào đó. Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
Trường hợp 1: giả thiết G có dạng ma + nb = k. Ta rút ra a theo b (hoặc b theo a)
sau đó ta sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương.
VD 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn
)31)(3( izizu
++−+=
là một số thực. Tìm giá
trị lớn nhất của |z|
Lời giải: Giả sử : z = a + bi, ta có:
u = [a + 3 + (b – 1)i][a + 1 – (b – 3)i] = a
2
+ b
2
+ 4a – 4b + 6 + 2(a – b – 4)i
u
∈

⇔

Vậy |z| min
⇔
z = 2 – 2i
VD 2: Cho phức z thỏa mãn :
|2||1| iziz
−=++
. Tìm giá trị nhỏ nhất của z.
Lời giải: Giả sử : z = a + bi, ta có:
|a + bi + i + 1| = |a – bi – 2i|
⇔
(a + 1)
2
+ (b + 1)
2
= a
2
+ (b + 2)
2

⇔
a
2
+ 2a + 1 + b
2
+ 2b + 1 = a
2
+ b
2
+ 4b + 4
⇔

≥

2
1

⇔
a =
2
1
; b = -
2
1
. Vậy Min |z| =
2
1
.
Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng (x + a)
2
+ (y + b)
2
= k
2

Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của S =
CmxBmxA ++ cossin
Ta có:
C
BA
A
mx

=
22
22
sin
cos
BA
B
BA
A
α
α
. Khi đó
CmxmxBAS
+++=
)sin.coscos.(sin
22
αα
Do đó:
m
k
mm
xCBAMinS
παπ
2
2
22
+−
−
=⇔++−=
m




−=
+=
⇔



=+
=−
4cos4
sin43
cos44
sin43
α
α
α
α
b
a
b
a






−+=−+=

απ
π
βα
2
2
2
2
kk
++−=⇒+−=−
. Do đó Min |z| = 1
Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của |z| ta có thể sử dụng phương pháp hình học.
VD 4: Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
+ 5| = 5, |z
2
+ 1 – 3i| = |z
2
– 3 – 6i|.
Tìm GTNN của |z
1
– z
2
|.
Lời giải: Giả sử điểm M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z
1
= a + bi, N(c;d) là

không cắt (C) và |z
1
– z
2
| = MN.
Bài toán trở thành : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : (x + 5)
2
+ y
2
= 25
và đường thẳng d
1
: 8x + 6y = 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN biết M chạy trên
(C) và N chạy trên đường thẳng d
1
.
L
H
I
K
d1
d2
N
M
Gọi d
2
là đường thẳng qua I và vuông góc với d
1
. Phương trình đường thẳng d
2

2
9
1
3086
3568
H
y
x
yx
yx
Gọi K và L là giao điểm của d
2
với đường tròn (C). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ :
.
3;9
3;1
3086
25)5(
22



−=−=
=−=
⇔



−=−
=++

, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất
12
2. Trong các số phức z thỏa mãn:
3
1
22
=
−−
++
iz
iz
, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất, lớn nhất.
3. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
+ i| = 5, |z
2
– 5| = |
2
z
-7|. Tìm giá trị nhỏ nhất
của |z
1
– z
2

=








+
+








+ ba
b
ba
a
Đặt
2222
sin;cos
ba
b
ba
a

)]sin()[cos(
)]sin()[cos(
2121
2
2
2
1
21212121
αααα
αααα
−+−=
+++=
i
r
r
z
z
irrzz
Đặc biệt với
)2sin2(cos)sin(cos
22
αααα
irzirz
+=⇒+=

(**))sin(cos
)3sin3(cos
33
αα
αα







−=
6
sin.
6
cos2
6
sin.
6
cos2
22
3
2
ππππ
ii
i
z
VD 2: Tìm các acgumen của số phức :






−=

−−−=
)
10
3
sin(.)
10
3
cos(2
10
3
sin.
10
3
cos2)
52
sin(.)
52
cos(2
ππππππππ
iiiz
13
⇒
acgumen của z là
π
π
2
10
3
k
+

iiz
Áp dụng công thức Moavơrơ ta có:
2012201220122012
)22()0.1()22(
4
2012
sin
4
2012
cos)22(
−=+−=






+=
iiz
ππ
VD 4: Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2 – 2i.






−
+
−

iiiz
VD 5: Tìm một acgumen của số phức
iz 232
−=
Lời giải :
.
6
sin
6
cos4
2
1
2
3
4












−
+


+
+−
=
3
2
sin
3
2
cos
3
8
ππ
i
i
i
z
.
Lời giải: Ta có:
.
3
sin
3
cos4
2
3
2
1
4
4
)31(8





−=
−
=
+−
+
=
+−
ππ
ii
i
ii
ii
i
i
Theo quy tắc nhân hai số phức lượng giác, ta được :






+=










−
+






−
=
3
sin
3
cos4
33
2
sin
33
2
cos4
3
2
sin
3
2



+=
izz
2
3
2
1
||
.
Do đó:








+−=+−
iziz
2
3
2
1
)2|(|)31(
.
- Khi |z| > 2, một acgumen của
)31( iz
+−

7
sin2
ππ
iz
Lời giải:












−
+






−
=




−=
14
5
sin
14
5
cos2
14
5
sin
14
5
cos2
72
sin
72
cos2
7
cos
7
sin2
ππ
ππππππππ
i
iiiz
⇒
acgumen của z là
π
π
2



+=






+=








+
−
=⇒
+=−=
=−=+=∆
3
sin
3
cos223
2
1
2

4
2012
2
2012
0
2012
CCCCCCS
+−+−+−=
Lời giải: Ta có :
20122012
2012
20112011
2012
33
2012
22
2012
1
2012
0
2012
2012
20122012
2012
20112011
2012
33
2012
22
2012

2012
2)503sin503(cos2
4
sin
4
cos2)1(
−=+=












+=+
ππ
ππ
iii
10061006
2012
2012
2)]503sin()503[cos(2
4
sin
4

8
cos
8
sin
ππ
i
−−
15
c)
)
2
0(cossin1
π
ααα
<<+−
i
d)
( )
i
i
2626
6
sin
6
cos4
−++





)3(
)1(
i
i
+
+
b)
2000
2000
1
z
z +
biết rằng
1
1
=+
z
z
Bài 5: Dùng công thức khai triển nhị thức Niu- tơn (1 _ i)
19
và công thức Moa–vrơ
để tính :

18
19
16
19
4
19
2

1
– z
2
|. Từ đó suy ra :
+ |z
1
| + |z
2
|
≥
|z
1
– z
2
|
+ |z
1
| - |z
2
|
≥
|z
1
– z
2
|
+ |z
1
+ z
2

221
2
121
3
2
3
1
=+−+=+
zzzzzzzz
, suy ra :
z
1
3
= - z
2
3

⇒
|z
1
|
3
= |z
2
|
3

⇒
|z
1

3
z
1
| .
Lời giải : Vì |z
1
z
2
z
3
| = 1 nên :
)(|||
111
||
321321
321
321321
133221
133221
ðpcmzzzzzz
zzz
zzzzzz
zzzzzz
zzzzzz
++=++=
++=++=
++
=++
16
VD 3: Cho số phức z


+++=






+
z
z
z
z
z
z
2
6
82
3
3
3
. Suy ra :
a
z
z
z
z
z
za 69
2

, z
2
đều có môđun bằng 1. Chứng minh rằng
21
21
1 zz
zz
z
+
+
=
là
một số thực.
Bài 2: Cho số phức z
≠
0 thỏa mãn
.2
1
3
3
≤+
z
z
Chứng minh rằng
2
2
≤+
z
z
Bài 3 : Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức

A. Đặt vấn đề ……………………………………………………………. Trang 1
B. Các khái niệm ……………………………… ………………………. Trang 1
C. Phân loại một số dạng bài tập cơ bản ………………………………. Trang 1
I. Các phép toán trên số phức …………………………………………… Trang 1
II. Căn bậc hai của số phức …………………………………………… Trang 4
III. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức ………………………… Trang 5
IV. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z ……………………………… Trang 8
V. Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất ………………………… Trang 9
VI. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng ……………………….… Trang 12
VII. Một số dạng bài tập về chứng minh …………………………………Trang 15
D. Kiểm nghiệm ……………………………………………………… Trang 16
E. Kết luận …………………………………………………………… Trang 16
18
* Tài liệu tham khảo :
- Sách giáo khoa lớp 12 cơ bản và nâng cao
- Sách bài tập lớp 12 cơ bản và nâng cao
- Phương pháp ôn luyện thi đại học cao đẳng môn toán chủ đề số phức – Nhà xuất
bản đại học sư phạm (tác giả: Hoàng Văn Minh – Nguyễn Quốc Hùng)
- Một số đề thi đại học và thi thử đại học các năm.
19