HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
Chương 1: VÉC TƠ
§ 1. Các định nghĩa:
* Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng.
* Ký hiệu
AB
là véc tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
* Giá của véc tơ
AB
là đường thẳng đi qua A và B.
* Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ lớn (độ dài) của véc tơ
AB
.
* Chiều từ gốc A đến ngọn B gọi là hướng của véc tơ
AB
.
* Véc tơ không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu:
0
.
* Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ có giá song song hoặc trùng nhau.
+

CD AB
CD // AB
CD // AB



≡
⇔
; + Tính chất:

0 b a
↑↑⇒





↑↑
≠↑↑
•





=
↑↑
⇔=
CD AB
CD AB
CDAB
; + T.chất:
;AB CD CD AB =⇔=

EF AB
CD EF
CD AB
=⇒



6. M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔
. 0 MB MA =+
7. G là trọng tâm của ∆ABC ⇔
. 0 GC GB GA =+++
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 1
ACADAB =+
)()( 3.
2.
00 .1
cbacba
abba
aaa
++=++
+=+
=+=+
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
§ 3. Hiệu của hai véc tơ:
1. Véc tơ đối của một véc tơ:
* Nếu
0 b a =+
thì ta nói
a
là véc tơ đối của
b
, hoặc
b
là véc tơ đối của
a
.
* Ký hiệu véc tơ đối của véc tơ

.OM - ON MN =
§ 4. Phép nhân một số với một véc tơ:
1. Định nghĩa:
* Tích của véc tơ
a
với số thực k là một véc tơ, ký hiệu là k
a
và được xác
định như sau:
1) Về hướng: Nếu k ≥ 0 thì k
a

a
.
Nếu k ≤ 0 thì k
a

a
.
2) Về độ lớn:  k
a
 =  k.
a
.
* Nhận xét: . 1.
a
=
a
.
. (-1).

+
b
) = k
a
+ k
b
; k(
a
-
b
) = k
a
- k
b
.
4) . k
a
=
0
khi và chỉ khi k = o hoặc
a
=
0
.
. 1.
a
=
a
.1 =
a

không cùng phương. Với mọi véc tơ
u
, tồn
tại duy nhất cặp số thực (m, n) sao cho:
u
= m
a
+ n
b
. Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ,
ta có:
( )
OBOAOI +=
2
1
.
. Điểm G là trọng tâm của ∆ABC khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ, ta có:
( )
.
3
1
OCOBOAOG ++=
§ 5. Tọa độ của véc tơ và của điểm:
1) Đối với hệ trục tọa độ
( )
jiO ,;
hay Oxy
1.
( )
jbiaubau +=⇔= ;

a) Tính
DE
và
DG
theo
AB
và
AC
.
b) CMR: ba điểm D, G, E thẳng hàng.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 3
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
4. Cho ∆ABC.
a) Xác định các điểm D, E thỏa mãn các đẳng thức:
.02;04 =+=− ECEADBDA
b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức:
MCMAMBMA 24 +=−
.
5. Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
ACAD
5
2
=
, M là trung điểm của
BD. a) Tính
AM
theo
AB
và
AC

+
+
=
Trong đó
CDbABa == ;
8. Cho tam giác ABC và trung tuyến CC
1
, đường thẳng nối A với trung điểm
M của CC
1
cắt cạnh BC tại P. Chứng minh rằng:
2:1: =PBCP
.
9. Đối với hệ trục Oxy cho ba điểm A = (a
1
;a
2
), B = (b
1
;b
2
), C = (c
1
;c
2
)
a) Tính toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AC
b) Xác định toạ độ của điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
10. Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các điểm M,N.
Gọi P, Q là giao điểm của các đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện

c) CMR:
OGOHOCOBOA .3==++
Từ đó suy ra O, G, H thẳng hàng. Tìm tỷ số mà điểm G chia đoạn thẳng OH
d) CMR:
HGHOHCHBHA .3.2 ==++
15. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H; trên BD lấy điểm K
sao cho
.
6
1
;
5
1
BDBKBCBH ==
CMR: A, K, H thẳng hàng.
16. Cho ∆ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm được xác định bởi
CACCBCBBABAA −=−=−= ';';'
. CMR:
a) ∆ABC và ∆A’B’C’ có cùng trọng tâm.
b)
''' MCMBMAMCMBMA ++=++
với M là điểm bất kỳ.
17. Cho ∆ABC và M là điểm bất kỳ:
a) CMR: véc tơ:
MCMBMA .2.5.3 +−=
ν
là không đổi, không phụ thuộc
vào vị trí của điểm M.
b) Tìm điểm I sao cho:
0.2.3 =+− ICIBIA

)
2
1
)
20. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G . Gọi A
1
, B
1
, C
1
, D
1
lần lượt là trọng
tâm của ∆BCD, ∆CDA, ∆DAB, ∆ABC. CMR:
a) G là trọng tâm của tứ giác A
1
B
1
C
1
D
1
.
b) A, G, A
1
thẳng hàng và tính:
.
1
GA
GA

MBMAMCMBMA −=+− 2.3:1
0
MCMBMCMBMA +=++ .3 2:2
0
( )
RkMCMBkMCMBMA ∈−=+− ; 2:3
0
23. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng ∆. Tìm trên ∆ điểm M sao cho:
MCMBMAa .3) ++
có giá trị nhỏ nhất.
MDMCMBMAb +++)
có giá trị nhỏ nhất.
MDMCMBMAc .3) +++
có giá trị nhỏ nhất.
24. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3).
a) CMR: A, B, C thẳng hàng.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 6
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
b) Xác định tọa độ điểm E sao cho ∆ABE nhận M(1; 2) là trọng tâm
và tính S
∆
ABE
. Xác định tọa độ điểm D sao cho 4 điểm A, B, C, D lập thành một
hàng điểm điều hòa.
25. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5).
a) CMR A, B, C không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác
ABCD là hình bình hành.
b) Xác định tọa độ điểm I sao cho:
0.2.3.2 =+− ICIBIA
c) Tìm tập hợp điểm M sao cho:

2
, MB
1
B
2
, MC
1
C
2
đều.
b)
( )
MFMEMDMCMCMBMBMAMA ++=+++++ .2
212121
c)
MOMFMEMD
2
3
=++
28. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm
của ∆ABC có các cạnh a, b, c. CMR:
a)
OHOCOBOA =++
b) H, G, O thẳng hàng và HO = 3.GO.
c)
⇔=++ 0 ICcIBbIAa
I là tâmđường tròn nội tiếp ∆ABC.
d)
⇔=++ 0 GCcGBbGAa
∆ABC đều.

.3−=
; C
1
thuộc đoạn AC sao cho
0
111
=++ CCBBAA
. Tính tỷ số:
AB
CB
1
1
và
BC
AC
1
1
.
32. Cho ∆ABC vuông tại C, H là hình chiếu của C trên AB. Lấy các điểm
M ∈ AB, N ∈ AC sao cho BM = BC, CN = CH. CMR: MN ⊥ AC.
33.Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J, K là các điểm xác định bởi:
)0(.,.,. ≠===
αβγγβα
ADAKACAJABAI
. CMR: điều kiện cần và đủ để I, J, K
thẳng hàng là:
γαβ
111
+=
.

2
1
2
n21
2
n21
++++++≤+++++++

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có duy nhất số thực t thỏa a
i
= t.b
i
∀
.,1 ni =
35. Chứng minh định ;lý Mênêlauýt:
Cho ∆ABC và cá điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc BC, CA, AB. Chứng minh
rằng điều kiện cần và đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là:
.1
'
'

'
'
.
'
'
=
BC
AC
AB

bất kỳ: (0
0
≤ α ≤180
0
)
M(x; y) là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị, α là góc giữa Ox
và OM thì:
2. Các công thức cần nhớ:
*. Hai góc phụ nhau: α và 90
0
- α
sinα = cos(90
0
- α); cosα = sin(90
0
- α); tanα = cot(90
0
- α); cotα = tan(90
0
- α)
*. Hai góc bù nhau: α và 180
0
- α
sinα = sin(180
0
- α); cosα = - cos(180
0
- α);
tanα = - tan(180
0

2
3
2
2
2
1
0
cos 1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1
tan 0
3
3
1
3

≠≠=≠≠===
αααααα
hayy
y
x
hayx
x
y
xy
)0(sin
sin
1
cot1);)0(cos
cos
1
tan1)
1cossin));0(sin
sin
cos
cot);)0(cos
cos
sin
tan)
2
2
2
2
22
≠=+≠=+
∀=+≠=≠=

hoặc
b
là véc tơ
0
thì góc giữa hai véc tơ
a
và
b
là tùy ý
(từ 0
0
đến 180
0
).
+ Nếu
( )
ba,
= 90
0
thì
a
⊥
b
.
+
( )
ba,
= 0
0
⇔

4; 3
2
2
00
aaaabakbkabak ====
( ) ( ) ( ) ( )
7;.26; 5
22
0
222
00
babababbaabacabacba −=−++±=±±=±
3. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
*. Định nghĩa: P
M/(O)
=

2222
RdRMOMBMA −=−=
*. Chú ý:
+ M ∈ (O) ⇔ P
M/(O)
.
+ M nằm trong đường tròn (O) ⇔ P
M/(O)
< 0.
+ M nằm ngoài đường tròn (O) ⇔ P
M/(O)
> 0.
+ M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm)

bayxa
§3. Hệ thức lượng trong tam giác:
1. Định lý côsin:
Trong ∆ABC với BC = a, CA = b, AB =c, ta có:
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bccosA
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 10
);cos( bababa =
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
b
2
= c
2
+ a
2
- 2cacosB
c
2
= a
2
+ b
2
- 2abcosC
Từ định lý côsin suy ra các công thức tính côsin của các góc của ∆ABC:
2. Định lý sin: Với mọi ∆ABC nội tiếp đường tròn (O; R), ta có:

2
222
2
222
2
0
cab
m
bac
m
acb
m
cba
−
+
=−
+
=−
+
=
3
0
I là trung điểm của đoạn thẳng AB =a. tập hợp những điểm M thỏa mãn
hệ thức MA
2
+ MB
2
=k
2
, trong đó k là một số không đổi cho trước ⇒

∆
ABC:
.
2
1
2
1
2
1
1
0
cbaABC
chbhahS ===
.sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
2
0
BcaAbcCabS
ABC
===
.
4
3

2
α + sin
2
α + tg
2
α) = 1
b) 1 - (sin
6
α + cos
6
α) = 3sin
2
α cos
2
α
2. a) Rút gọn biểu thức:
( )






−
+
+
=
x
x
x

C
ca
bac
B
bc
acb
A
−+
=
−+
=
−+
=
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
b) Tính giá trị của A biết
2
1
cos −=x
3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
xcxaxcxay
2222
sincoscossin +++=
(Các giá trị của a và c thỏa mãn để biểu thức có nghĩa).
4. Chứng minh các biểu thức sau:
α
ααα
ααα
α
α
αα

)
2
6
22
22
=
−
=
−
−
g
btg
g
tg
c
5. CMR các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x.
A = 3(sin
4
x + cos
4
x) – 2(sin
6
x + cos
6
x)
B = cos
6
x + 2sin
4
x.cos

ABC
?
b) Tìm điểm M ∈ Ox sao cho ∆MAB vuông.
c) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC.
d) Tìm điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình thang vuông tại E và A.
7. CMR: a) ∆ABC là đều nếu:





−−
−−
=
=
cba
cba
a
Cba
333
2
cos.2
b) ∆ABC là cân nếu:
2
cossin
sin
=
CB
A
8. Cho ∆ABC:

(O) bất kỳ. Từ B hạ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn tại M, M’.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 12
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
a) Tìm tập hợp trung điểm I của MM’khi đường tròn (O) thay đổi (vẫn
đi qua A, C).
b) Gọi K là điểm đối xứng của A qua O. CMR:
ACABAKAI =
và tìm
tập hợp các điểm M, M’.
11. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua A, B vẽ đường tròn
(O) bất kỳ. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CM’ với (O).
a) Tìm tập hợp M, M’ khi (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B.
b) Gọi H là trung điểm của MM’. CMR:
COCHCM .
2
=
và đường
thẳng MM’ đi qua một điểm cố định nằm trên đường thẳng AB.
c) Tìm tập hợp những điểm H.
12. Cho đường tròn (O; R) và dây CD có trung điểm H. Trên tia đối của tia
DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt
SO, OH tại E, F.
a) CMR:
2
. ROSOE =
.
b) CMR:
OSOEOFOH =
.
c) Khi S di động trên tia đối của tia DC, CMR: đường thẳng AB luôn

là giao điểm của AF và BC. CMR: a)

1111
CFBFEFMF =
b)

1
22
MFMEMCMB ==
19. Cho ∆ABC. CMR:
acbacbacbaa
hhhr
c
hhhr
b
rrrrh
a
1111
);
1111
);
11112
) −+=++=+=−=
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 13
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
20. CMR:
S
cba
gCgBgA
4

α, β, γ. CMR:
.
4
)(3
cotcotcot
222
S
cba ++
=++
γβα
(ĐH Ngoại thương -
2000).
24. CMR: Nếu ∆ABC thoả mãn điều kiện
Scba .272
4
=++
thì tam giác đó
là tam giác đều. (Cao đẳng Sư phạm Hà nội - 2001).
25. Cho ∆ABC, CMR:






++≥
−
+
−
+

.
b)
CDAB ⊥
và
BCAD ⊥
thì
BDAC ⊥
(ĐH Luật Hà nội - 2000)
28. CMR: ∆ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:





−+=−+
−
+
=
+
3332
22
)(
4
2
sin
cos1
acbacba
ba
ba
C

a) CMR: góc giữa hai véc tơ bất kỳ bằng góc giữa hai véc tơ còn lại.
b) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
32. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3a, AC = 4a, điểm I thuộc
cạnh AB sao cho IA = 2IB, CI cắt AH tại E. Tính CE.
33. Cho ∆ABC vuông tại A.
a) Giả sử hai trung tuyến AM = 2, BN = 3. Tính các cạnh BC, CA, AB.
b) Kéo dài BC một đoạn CD = AB, giả sử AB = 1 và góc CAD bằng 30
0
.
Tính BC.
34. Cho góc vuông xOy, A ∈ Ox, OA = a > 0. Đường tròn (γ) bán kính R
tiếp xúc với Ox tại A và cắt Oy tại B và C. CMR:
.2.;
111
;4
222
222
RaACAB
aACAB
RACAB ==+=+
35. Tính góc A của ∆ABC trong mỗi trường hợp sau:
a) b(b
2
– a
2
) = c(a
2
– c
2
). b) bc.cosA + ca.cosB + ab.cosC = a

cos.
2
cos.
2
cos.)
2222
p
C
ab
B
ca
A
bcc =++
.3
2
cos)(
2
cos)(
2
cos)()
222
p
C
ba
B
ac
A
cbd =+++++
38. Cho hai đường tròn (O
1

và α, AD theo R
2
và β.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 15
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ACD. CMR:
.
21
RRR =
39. Đường tròn nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với cạnh BC tại D. Biết BC = 9,
cosC = 2/3, AD = DC. Đặt AD = x. Tính AC, AB theo x. Từ đó suy ra AB, AC.
40. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD.
CMR: a) AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2
= AC
2
+ BD
2
+ 4IK
2
.
b) Suy ra một điều kiện cần và đủ tứ giác ABCD là hình bình hành.
41. cho ∆ABC vuông ở B có AB = 2BC = 2a, l là một độ dài cho trước.
a) Tìm {M} thỏa mãn: MA

c
m
m
c
b
thì cotB + cotC = 2cotA.
c) Nếu
b
c
m
m
c
b
=
và A = 60
0
thì ∆ABC đều.
43. Cho ∆ABC. CMR:
.
2
tan
2
tan);
2
cot
2
cot)




Rrd
CBA
Rrc
a
==
.coscoscos1) CBA
R
r
e ++=+
44. Cho ∆ABC. CMR: a, b, c là ba nghiệm của phương trình:
x
3
– 2px
2
+ (4rR + p
2
+ r
2
)x – 4rRp = 0 thì suy ra:
ab + bc + + ca = 4rR + p
2

+ r
2
; abc = 4rRp.
45. Cho ∆ABC.
a) CMR:
.
4
cot

).2(
6
13
);
)(2
2
cos.
2
acablb
cb
apbcp
A
cb
bc
l
aa
−+≤
+
−
=
+
=
48. Cho ∆ABC.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Một đường thẳng không đi qua A cắt
các đoạn AB, AC, AM lần lượt tại B’, C’, M’. CMR:
.
'
2
'' AM
AM

'
'
'
1
++
=
BC
AC
CB
AB
S
S
ABC
IBC
b) Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A
1
, B
1
, C
1
sao
cho AB = 2 AC
1
, BC = 3BA
1
, CA = 4CB
1
. BB
1
cắt CC

của H trên AB, AC.
a) CMR: tứ giác BCFE nội tiếp.
b) EF cắt BC tại I, IA cắt đường tròn đường kính AH tại G. CMR:
A, B, C, G cùng thuộc một đường tròn.
53. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, trung trự c của OA cắt OA tại
I và nửa đường tròn tại C. Một đường thẳng bất kỳ đi qua A cắt IC và đường tròn
lần lượt tại M và N.
a) CMR: AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆CMN.
b) Xác định vị trí của M để đường tròn (ACM) tiếp xúc với AB.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 17
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
54. Cho ∆ABC. Gọi và CN lần lượt là trung tuyến của ∆ABC. Gọi (O) và
(O’) là các đường tròn đường kính BM, CN.
a) CMR: A có cùng phương tích đối với (O) và (O’).
b) Gọi P, Q là giao điểm của (O) và (O’). CMR: A, P, Q thẳng hàng.
55. Cho 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó. (O) và (O’) lần lượt là
các đường tròn di động qua A, B và C, D và (O) ∩ (O’) ={M, N}.
a) CMR: đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Nếu (O) và
(O’) tiếp xúc nhau tại T thì kết quả trên thay đổi thế nào?
b) Cho trước (O), hãy dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O).
56. Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngoài (O). Qua A vẽ cát tuyến ABC
với (O) và BC = 2AB =
.3R
Gọi I là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính
AI cắt (O) tại P và Q. Tính khoảng cách từ A đến PQ.
57. Cho ∆ABC biết a = 17,4m; B = 44
0
30’; C = 64
0
. Tính A, b, c.

2
= R
2
– 2Rr.
64. (Công thức Ơle cho tứ giác). Cho tứ giác ABCD có K, L là trung điểm
của AC, BD. CMR:
( )
.
4
1
2222222
BDACDACDBCABKL −−+++=
65. ∆AC có các goác A, B, C thỏa mãn hệ thức sin
2
B + sin
2
C = 2sin
2
A.
Chứng minh rằng A ≤ 60
0
. (ĐH Sư phạm Hà nội 2001)
66. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
27
2
sin
1
1
2
sin


+












+
CBA
. Khi nào đẳng thức xảy ra?
(ĐH Sư phạm TP. HCM).
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 18
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
67. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ABC thỏa mãn hệ thức: c
4
= a
4
+ b
4
.
CMR: ∆ABC có ba góc nhọn và 2sin
2
C = tanAtanB.

có phương trình tổng quát là: a(x – x
0
) + b(y – y
0
) = 0 hay ax + by +
c = 0 với c = - (x
0
+ y
0
) và a
2
+ b
2
≠ 0.
*. Các dang đặc biệt:
+ Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox.
+ Đường thẳng ax + c + 0 song song hoặc trùng với trục Oy.
+ Đường thẳng ax + by =0 đi qua gốc tọa dộ.
+ Đường thẳng
1=+
b
y
a
x
đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) (a, b ≠ 0).
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).
+ Khi ≠ 0 phương trình tổng quát đưa về dạng: y = kx + m với k là
hệ số góc, k = tanα, α = (Ox, Mt).
3.V ị trí tương đối của hai đường thẳng:
Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát:


















≠
≠
=
.0
.0
.0
22
11
22
11
22
11
ac

∆ nếu giá của
u
song song hoặc trùng với ∆.
*. Chú ý:
+
u
là véc tơ chỉ phương của ∆ ⇒
uk
cũng là véc tơ chỉ phương của ∆.
+ Đường thẳng ∆ hoàn toàn được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà
nó đi qua và biết một véc tơ chỉ phương của ∆.
+ Đường thẳng ∆ có véc tơ pháp tuyến
);( ban =
thì ∆ có một véc tơ chỉ
phương là
);( abu −=
.
2. Phương trình tham số của một đường thẳng:
*. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và có một véc tơ chỉ phương
);( bau =
có phương trình tham số
).0(
22
0

xx
*. Nếu a = 0 (hoặc b = 0) thì đường thẳng không có phương trình chính tắc,
khi đó nó chỉ có phương trình tổng quát x – x
0
= 0 (hoặc y – y
0
= 0).
§3. Khoảng cách và góc:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
*. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
) đến đường thẳng (∆): ax + by + c = 0
được tính theo công thức:
.),(
22
00
0
ba
cbyax
Md
+
++
=∆
*. Hai điểm M
1
(x

1
+ c)( ax
2
+ by
2
+ c) < 0.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
*. Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo
nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b.
*. Ký hiệu góc giữa hai đường thẳng a và b.là (a, b).
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 21
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
*. Chú ý:
+ 0
0
≤ (a, b) ≤ 90
0
.
+ (a, b) = 0
0
⇔ a // b hoặc a ≡ b.
+ (a, b) = 90
0
⇔ a ⊥ b.
+ Nếu
u
,
v
lần lượt là véc tơ chỉ phương của a, b thì:
. (a, b) = (

trình: (x – x
0
)
2
+ (y – y
0
)
2
= R
2
.
2. Nhận dạng phương trình đường tròn:
Phương trình x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a
2
+ b
2
– c > 0 là
phương trình của đường tròn tâm I(-a; -b), bán kính
.
22
cbaR −+=
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
*. Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (I; R) ⇔ d(I, ∆) = R.
*. Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến tại M ∈ (I; R) của đường tròn ⇔ ∆ đi qua M
và nhận véc tơ
IM

( )
.,01
222
2
2
2
2
cabba
b
y
a
x
−=>>=+
*. Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) ∈ (E) là:
.;
11
a
cx
aMF
a
cx
aMF −=+=
3. Hình dạng của elíp:
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 22
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
a) Tính đối xứng của elíp:
Elíp (E):
)0(1
2
2

*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại các điểm P, Q,
R, S tạo thành hình chữ nhật cơ sở PQRS.
c) Tâm sai của elíp:
a
c
e =
⇒ 0 < e < 1 và
.1
2
22
e
a
ca
a
b
−=
−
=
d) Elíp và phép co đường tròn:
Đường tròn (T): x
2
+ y
2
= a
2
,
bằng phép thế x’ = x, y’ = ky có thể đưa về elíp
có phương trình (E):
).(1
2

2. Phương trình chính tắc của Hypebol:
*. Phương trình chính tắc của hypebol:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho F
1
(-c; 0), F
2
(c; 0) thì hypebol có phương trình:
(H):
( )
.,0,01
222
2
2
2
2
acbba
b
y
a
x
−=>>=−
*. Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) ∈ (H) là:
.;
11
a
cx
aMF
a
cx
aMF −=+=

*. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật cơ sở
gọi là hai đường tiệm cận của hypebol, phương trình của hai đường tiệm cận đó là:
.x
a
b
y ±=
§7. Đường Parabol:
1. Định nghĩa:
Cho điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F.
(H) ={M  MF = d(M, ∆)}.
Điểm F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng ∆ được gọi là đường
chuẩn của parabol (P). Khảng cách từ F đến ∆ được gọi là tham số tiêu của
parabol.
2. Phương trình chính tắc của Parabol:
*. Phương trình chính tắc của parabol:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là trung điểm của FP = p (tham số tiêu), F ∈
Ox, P là hình chiếu của F trên ∆. Khi đó






−







2
bằng phép thế
biến:







−=
∆
−=
a
b
Xx
a
Yy
2
4
*. Paraol y = ax
2
+ bx + c có tiêu điểm






−

=−∆=+∆
e
a
x
e
a
x
được gọi là các đường chuẩn của elíp ứng với các tiếu
điểm F
1
(-c; 0), F
2
(c; 0).
Tính chất: ∀M ∈ (E), ta luôn có:
).1(
);();(
2
2
1
1
<=
∆
=
∆
ee
Md
MF
Md
MF
1. Đường chuẩn của Hypebol:

2
1
1
>=
∆
=
∆
ee
Md
MF
Md
MF
3. Định nghĩa đường cônic:
Cho điểm F cố định và đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Tập hợp
những điểm M sao cho tỷ số
),( ∆Md
MF
ằng một số dương e không đổi cho trướ được
gọi là đường cônic.
Tính chất: Elíp là đường cônic có tâm sai e < 1.
Parabol là đường cônic có tâm sai e = 1.
Hypebol là đường cônic có tâm sai e > 1.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 25

Trích đoạn có giá trị không đổi.

---