Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Group: fb.com/groups/alfazi

CHỦ ĐỀ:

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A ta có :
 Định lý Pitago : BC  AB  AC
 BA2  BH .BC; CA2  CH .CB
 AB. AC = BC. AH
2



2

A

2

c


b
c
b
c
 sin B  , cosB  , tan B  , cot B 
a
a
c
b
 b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

b
b

,
sin B cos C

 b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
a
b
c
* Định lý hàm số Sin:


 2R
sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích.

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2
1
d/ Diện tích hình thang : S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
d/ Diên tích hình thoi : S =

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
2
f/ Diện tích hình tròn : S   .R

1


Website: www.alfazi.com

2

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

A.QUAN HỆ SONG SONG
1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
ĐL1:Nếu đường thẳng d không
nằm trên mp(P) và song song với

(P) / /a
(Q) / /a


a
(P)

(Q)

a
d

(P)

d
a
Q
P

2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song
với nhau.
ĐL2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng
song song thì song song với mặt
phẳng kia.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và


(R)  (P)  a  a / / b
(R)  (Q)  b


P
Q

a
b

B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

2


Website: www.alfazi.com
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau
a và b cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vuông góc với
mp(P).
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho
đường thẳng a không vuông góc
với mp(P) và đường thẳng b nằm
trong (P). Khi đó, điều kiện cần
và đủ để b vuông góc với a là b
vuông góc với hình chiếu a’ của
a trên (P).

2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa
một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc với
nhau.

a  mp(P)
 mp(Q)  mp(P)

a  mp(Q)

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm
trong (P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều vuông
góc với mặt phẳng (Q).

(P)  (Q)

(P)  (Q)  d  a  (Q)
a  (P),a  d


ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau và A là
một điểm trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và vuông
góc với (Q) sẽ nằm trong (P)


a
A

Q

(P)  (Q)  a

 a  (R)
(P)  (R)
(Q)  (R)


Q

P

a

R

3. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt
phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt
phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó
H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên
mp(P))

O

a

H

P

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến
mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH

O
P
H

Q
a

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB

A

b
B

4. GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm


b

Q

P

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H)
trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên
mp(P’) thì

a

Q

P

S

S'  Scos 

trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
A

C


B

4

với a là độ dài cạnh

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

V = a3
(a là độ dài cạnh)

1
3

V= Bh
(B: Sđáy ; h: chiều cao)
S
C'
A'

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN

VSABC
SA SB SC

VSA'B 'C ' SA' SB' SC '

A

B'
C
B

A'

Sxq =2 rl

V=

7. KHỐI CẦU

4 3
r
3

S= 4 r 2

5


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 2  b2  c 2 ,



 AA'B  AA'2  A'B2  AB2  8a2
 AA'  2a 2
Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ.
?
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a

C'

D'
A'

ABCD là hình vuông

B'
4a

5a
C

D

Suy ra B = SABCD =

 AB 



AB 3
 2 3 & AI  BC
2

 A 'I  BC(dl3 )
2S
1
SA'BC  BC.A'I  A'I  A'BC  4
2
BC
AA'  (ABC)  AA'  AI .
 A'AI  AA'  A'I2  AI2  2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3
7


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Group: fb.com/groups/alfazi

Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi
gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
C'

D'


AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình
C' vuông có
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm
và chiều cao hộp h = 12 cm
Vậy thể tích hộp là
V = SABCD.h = 4800cm3
B'

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường
chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
C'

D'

và SABCD = 2SABD =
B'

A'

C

B

60

a 3
a 3
2

a2
SABC = BA.BC 
2
2
3
a 3
Vậy V = SABC.AA' =
2
Vậy

B'

A

Lời giải:
Ta có A'A  (ABC)  A'A  AB&AB là hình chiếu của A'B
trên đáy ABC .

B

8


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi


AB
 3a
t an30o

V =B.h = SABC.AA'

A

C

a
o
60
B

 AA'C'  AA'  AC'2  A'C'2  2a 2
a2 3
 ABC là nửa tam giác đều nên SABC 
2
Vậy V = a3 6

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh avà đường chéo BD' của lăng trụ hợp
với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:
DD'  (ABCD)  DD'  BD và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .

B'

C'

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
(ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp.


BAD = 60o biết AB' hợp với đáy

9


Website: www.alfazi.com

A'

D'

o
30
A

 ABD đều cạnh a  SABD 

60

C

B
o

D
a


C

o
60
B

góc[(A'BC),(ABC)]  
ABA'  60o
 ABA'  AA'  AB.tan 600  a 3
1
a2
SABC = BA.BC 
2
2
3
a 3
Vậy V = SABC.AA' =
2
Vậy

B'

A

Lời giải:
Ta có A'A  (ABC)&BC  AB  BC  A'B

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

2 AI 2 x 3
A' AI : A' I  AI : cos 30 0 

 2x
3
3
Giả sử BI = x  AI 

B'

30o

A

3
x
3
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x  2

C

B

A’A = AI.tan 300 =

xI

x 3.


D

vuông nên CC' = OC.tan60o =

60 0

O

Vậy V =

A
B

a

a3 6
2

a 6
2

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o
và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Ta có AA'
D'

A'
C'

B'

3
3
16a 2
Vậy V = AB.BC.AA' =
3
11


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là
đáy ABC một góc 60o .Tính thể tích lăng trụ.

A'

C'

góc[CC',(ABC)]  
C'CH  60o
3a
 CHC'  C'H  CC'.sin 600 
2
2
a 3

tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

A'

C'

B'

A

60 o

A'O  (ABC)  OA là hình chiếu của AA' trên (ABC)

góc[AA',(ABC)]  OAA'
 60o

Vậy
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
AO  BC tại trung điểm H của BC nên BC  A'H (đl 3  )
 BC  (AA'H)  BC  AA' mà AA'//BB' nên BC  BB'
.Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.

2
2a 3 a 3
AO  AH 

3


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Lời giải:
Kẻ A’H  (ABCD ) ,HM 

AB, HN  AD
 A' M  AB, A' N  AD (đl 3  )



A'MH  45o ,A'NH
 60o

A'

Đặt A’H = x . Khi đó

B'

A’N = x : sin 600 =

D
C

N
A

Group: fb.com/groups/alfazi


3. 7.

3
3
7

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính
thể tích hình chóp .
Lời giải:
Ta có

A

a_
B

C


(ABC)  (SBC)
 AC  (SBC)


 (ASC)  (SBC)

/
/

Lời giải:
1) SA  (ABC)  SA  AB &SA  AC

S

mà BC  AB  BC  SB ( đl 3  ).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
2) Ta có SA  (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên (ABC).
Vậy góc[SB,(ABC)] = 
SAB  60o .

C

a

A
60o

 ABC vuông cân nên BA = BC =
SABC =

1
a2
BA.BC 
2
4

a
2


A

M
B

3a
2
3
1
1
a 3
B.h  SABC .SA 
3
3
8

 SAM  SA  AMtan60o 

60 o
a

1
1
B.h  SABC .SA
3
3

Vậy V =

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên


1
1
1
1
1
4


 2 2 2
2
2
2
AH SA AD 3a a 3a
14


Website: www.alfazi.com

S

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp
Vậy AH =

H

60

A

A
H

B

a 3
2
3
1
a 3
V  SABCD .SH 
3
6

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =
a

suy ra

C

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với
(BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH
 (BCD) .

A


các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.

15


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

Lời giải:
a) Kẽ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả

S

  45o
thiết 
SIH  SJH
Ta có:

H
A

45


C

A
O

a

H

2
2a 3 a 3
AH 

3
3 2
3

 SAO  SO2  SA2  OA2 
 SO 

B

11a2
3

1
a3 11
a 11
.Vậy V  SABC .SO 
3

1
1 2 a 2 a3 2

 V  S ABCD .SO  a
3
3
2
6

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Lời giải:

16


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

a) Gọi O là tâm của

D

A

C


V 
.

3 4
3
12

a

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH

B

MH 
 VMABC

1
a 6
DO 
2
6

1
1 a 2 3 a 6 a3 2
 S ABC .MH 
.

3
3 4
6

1 1
a3
a Vậy: VSABC  . a 2 .a 
2
3 2
6

b) Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm,ta có :

M

và

ABC cân có : AC  a 2  AB  a

 S ABC 

N
A

1
VS . ABC  S ABC .SA
3

 // BC  MN// BC


VSAMN SM SN 4


b) Chứng minh CE  ( ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

17


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Lời giải:

D

Group: fb.com/groups/alfazi

a)Tính

VABCD : VABCD  1 SABC .CD  a

c) Tính

VDCEF :Ta có:

3

6
b)Tacó: AB  AC, AB  CD  AB  ( ACD)  AB  EC
Ta có: DB  EC  EC  ( ABD)

1



Tương tự:
2
2
2
DB DB
DC  CB
3
VDCEF 1
1
a3
 .Vậy VDCEF  VABCD 
Từ(*) 
VDABC 6
6
36
Mà

a
A

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích
của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Lời giải:
Kẻ MN // CD (N  SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối
chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).


SC SD 2 2 4
4
8
3
VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD .
8
5
Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD
8
VSABMN
3
Do đó :

V ABMN . ABCD 5

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

60 . Gọi M là trung

18


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

VS . ABCD

SO  AO.tan 60 

a 6
2

a3 6

6

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

VS . AEMF = VSAMF + VSAME

O
A

Group: fb.com/groups/alfazi

=2VSAMF

VS . ABCD = 2VSACD = 2 VSABC

D

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có :



2

36
18

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,
hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC  ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

SA  a 2 . Gọi B’, D’ là

Lời giải:
S

a) Ta có:

VS . ABCD

1
a3 2
 S ABCD .SA 
3
3

BC  (SAB)  BC  AB '
& SB  AB ' Suy ra: AB '  ( SBC )

b) Ta có


c) Tính

VS . AB 'C ' : Ta có:

C

19


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Group: fb.com/groups/alfazi

SB ' SA2
2a 2
2a 2 2




Ta có:
SB SB 2 SA2  AB 2 3a 2 3
VSAB 'C ' 1

Từ (*) 
VSABC

3

+ S ABCD  (2a)  4a
2

+

H

A

B

60o

SAC có : SA  AC tan C  2a 6

1 2
8a3 6
 V  4a .2a 6 
3
3
b) Kẻ

MH / / SA  MH  ( DBC)

Ta có: MH 

D
2a

 SJH
SAH  SFH  SJH nên HE =HF = HJ = r

( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC )

p( p  a)( p  b)( p  c)
abc
 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a 2
với p =
2
Ta có SABC =

20


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com
S

Mặt khác SABC = p.r

r

Group: fb.com/groups/alfazi

S 2 6a

p

b)
Tính thể tích khối OBB’C’.
c)
Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.

A

B
O

D'

* Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối
B'

C'

 AB. AD.AA'  a 3.a 2  a3 3

ABD có : DB  AB2  AD2  2a

M
C

A'

, AD = a,

Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.

3VOBB 'C '
SOBB '

ABD có : DB  AB2  AD2  2a
 SOBB ' 

1 2
a  C ' H  2a 3
2

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và
bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.

21


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

B

A

+Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’
có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có

1 3
a
3

C'
D'
a

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a)
Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b)
E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB,

E

A
I

B
F

C

2
3
1
VA ' B ' BC  S A ' B ' B .CI  1 a . a 3  a 3

1
VA ' B 'CF  SCFB' . A ' J
3

1
a2
SCFB'  SCBB ' 
2
4
1 a 2 a 3 a3 3
 VA ' B 'CF 

3 4 2
24
+ Vậy :

VCA'B'FE

a3 3

16

22


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp


phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp.
Bài 9: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ =

a 3
2

và

góc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Bài 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc
đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.
Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B và AB =
a, BC = b, AA’ = c ( c2  a2  b2 ). Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng
(P) đi qua A và vuông góc với CA.
Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có SA  (ABC), ABC vuông cân đỉnh C và SC = a . Tính
góc  giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao
cho AM = x, (0 < x < a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích khối đa
23


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi



. Tính thể tích

khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 20: Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có
AB  2, AC  3, AD  1, CD  10, DB  5, BC  13 .
Bài 21: Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a,
mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.
Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Mặt bên
qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc
600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 23: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D.
Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ
diện ASBC theo a.
Bài 24: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể tích của
hình chóp đó và khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE.
Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  600 , SA vuông
góc mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và
song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B, D. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD.
Bài 26: Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, ASB  600 ,
BSC  900 , CSA  1200 .
24


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp


sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 .
Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q. Tính
thể tích khối chóp S.PQCD theo a.
Bài 37: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 .
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối
chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 38: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC
và I là tâm của mặt bên CCDD. Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AKI) chia
hình lập phương.
Bài 39: Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc
với mặt phẳng chứa (C) lấy điểm S sao cho SA = h. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Mặt
phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SM lần lượt tại H và K.. Tính thể tích của
khối chóp S.AHK theo R và h.
25