MA TRẬN ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015- Trường THPT Ngô Mây
(Đề thi 100% tự luận)
Cấp độ Nhận
biết
Thông hiểu Vận dụng Cộng
Chủ đề Cấp độ thấp Cấp độ cao
Khảo sát hàm số và
các bài toán liên quan
Khảo sát và
vẽ đồ thị
hàm số
Các bài toán liên quan đến
câu khảo sát
Số câu:
Số điểm: Tỷ lệ %
1
1,0
1
1,0
2
2,0đ = 20%
Phương trình, hệ
phương trình, bất
phương trình
Giải phương trình lượng
giác, phương trình mũ,
phương trình lôgarit
Giải phương trình,
bất phương trình
chứa căn, hệ
phương trình.

Tổ hợp-xác suất Bài toán về tính xác suất,
nhị thức Niu-Tơn, Bài toán
về tổ hợp, chỉnh hợp
Số câu:
Số điểm: Tỷ lệ %
1
0,5
1
1,0 đ = 10%
Phương pháp tọa độ
trong không gian
Các bài toán liên quan đến
đường thẳng, mặt phẳng,
mặt cầu.
Số câu:
Số điểm: Tỷ lệ %
1
1,0
1
1,0 đ = 10%
Hình học không gian
tổng hợp
Tính thể tích khối chóp,
khối lăng trụ và tính
khoảng cách hoặc góc
Số câu:
Số điểm: Tỷ lệ %
1
1,0
1

1
1,0đ =10%
7
6,0đ = 70%
3
3,0đ =30%
11
10,0đ=100%
SỞ GD & ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Ngô Mây ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
2
32
−
−
=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ
0
1x =
Câu 2 (1 điểm)
1. Giải phương trình



−+−>−+− xxxxx
2
1
log)2(22)144(log
2
1
2
2

Câu 4 (1điểm)
Giải hệ phương trình





+=++
=+
+−+
113
2.322
2
3213
xxyx
xyyx
Câu 5 (1điểm)
Tính tích phân
∫



. Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
Câu 7 (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng
052:
1
=+−
yxd
. d
2
: 3x +6y
– 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường
thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d
1
, d
2
.
Câu 8 (1 điểm)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1;
2) và mặt phẳng (P) có phương trình:
02
=−++
zyx
. Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng
Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn
(C) là giao của (P) và (S).
Hết
Đáp án
Câu Nội dung Điểm
1. 1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1,00
1) Hàm số có TXĐ:
{ }
2\R
0,25
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
*
+∞=−∞=
+−
→→
ylim;ylim
2x2x
Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
*
lim lim 2
→+∞ →−∞
= = ⇒
x x
y y
đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
0,25
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
( )





2
3
;0
và cắt trục hoành tại điểm






0;
2
3
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
0,25
1. 2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ
0
1x =
1,00
Ta có:
( )
1;1M
,
0
'( ) 1y x = −

x
π
( )
xsin1x
2
cos1xsin
2
x
cosxsin
2
x
sin11
2
+=






−
π
+=−+⇔
01
2
x
cos
2
x
sin2.

sin2
2
x
sin21
2
x
sinxsin
2
=






++






−⇔
0,25
2
sin x 0
x k
x k
x
sin 1 x k , k

Z
0,25
2. 2
Tìm số phức
z
biết rằng:
(1 ) 4 7z i z i+ + = +
0,5 điểm
Giả sử:
z x yi= +
(với
;x y
∈¡
)
Ta có
(1 ) 4 7z i z i+ + = +
⇔
( ) ( )
1 4 7x yi i x yi i+ + + − = +
⇔
( )
2 2
4 7x y x y x y i i+ + + + − = +
2 2
4(1)
7(2)
x y x y
x y

+ + + =


2
3
3
2
2
5
20 0
4
y
y
y
y y
y

≤ −


≤ −
 
⇔ ⇔
 
=

 
− − =



= −

<⇔







≠
<
⇔





>−
<
⇔





>+−
>−
Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:
[ ]
1)x21(log)2x(2x2)x21(log2
22

⇔










>−
<



<−
>
⇔










>+−

x
4
1
<<
hoặc x < 0.
0,25
4.
Giải hệ phương trình……………
1 điểm





+=++
=+
+−+
)2(1xxy1x3
)1( 2.322
2
x3y2y1x3
Phương trình (2)



=−+
−≥
⇔






=−+
=
−≥
⇔
xy
x
x
yx
x
x
31
1
0
013
0
1
0,25
* Với x = 0 thay vào (1)
11
8
log
11
8
22.12282.322
2
2
=⇔=⇔=+⇔=+

−≥
x
nên
4
1
≥
t
( )
( )
[ ]





+−=
−+=
⇔




+=
−=
⇔=+−⇔=+⇔
)83(log2y
183log
3
1
x


+−=
−+=
)83(log2y
183log
3
1
x
2
2
0,25
5. Tính tích phân 1 điểm
∫∫
+
+
=
e
1
2
e
1
xdxlnx3dx
xln1x
xln
I
+) Tính
∫
+
=
e

2
1
3
2
1
2
2
1
2
1
−
=








−=−=
−
=
∫∫
0,25
+) Tính
dxxlnxI
e
1
2

3 3 3 3 3 3
e 2 e
2 1 1
1
x 1 e 1 x e e 1 2e 1
I .ln x x dx .
3 3 3 3 3 3 9 9 9
+
= − = − = − + =
∫
0,25
=+=
21
I3II
3
e2225
3
+−
0,25
6 Tính thể tích hình chóp 1 điểm
Theo định lí côsin ta có:
·
2 2 2 2 2 0 2
SB SA AB 2SA.AB.cos SAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a= + − = + − =
Suy ra
aSB
=
. Tương tự ta cũng có SC = a.
0,25
Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác









−






−=−−=−=
4
3a
MN
=⇒
.
0,25
Do đó
16
a
2
a
.
4
3a

21
=−=
nên
21
dd
⊥
và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d là
đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:
0BA2ByAx0)1y(B)2x(A:d
=+−+⇔=++−
0,25
d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
)
một góc 45
0



−=

C
M
N
Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)
* Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là:
0,25
( )
0dcba,0dcz2by2ax2zyx
222222
>−++=++++++
Vì
( )
SD,C,B,'A
∈
nên ta có hệ:









−=
−=
−=
−=
⇔





1;1;
2
5
I
, bán kính
2
29
R
=
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C)
+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P).
(d) có vectơ chỉ phương là:
( )
1;1;1n
Suy ra phương trình của d:






+++⇒







⇒
6
1
;
6
1
;
3
5
H
0,25
6
35
36
75
IH
==
, (C) có bán kính
6
186
6
31
36
75
4
29
IHRr
22
==−=−=

xC)1n2( xkC)1( xC2C)x1)(1n2(
+
+
−
+++
+−+−+−+−=−+−
(2)
Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có:
1n21n2
1n2
2kk
1n2
k3
1n2
2
1n2
1n2
xC)1n2(n2 xC)1k(k)1( xC3C2)x1)(1n2(n2
−+
+
−
+++
−
+−+−−++−=−+
0,25
Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có:
2 3 k k 2 k 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C
− − +







++++
(*)
áp dụng (*) ta có
333333
a3cc3bb3a
9
a3c
1
c3b
1
b3a
1
P
+++++
≥
+
+
+
+
+
=
0,25
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
( ) ( )

1 3
4. 6 3
3 4
 
≤ + =
 
 
Do đó
3P
≥
0,25
Dấu = xảy ra
3
a b c
1
a b c
4
4
a 3b b 3c c 3a 1

+ + =

⇔ ⇔ = = =


+ = + = + =

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi
4/1cba ===
0,25