BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG KÌ THI OLYMPIC
C ÁC NƯỚC VÀ KHU VỰC
NGUYỄN VĂN QUÝ
SV khoa Toán, trường ĐHKHTN Hà Nội
Hà Nội - 2014
1
I. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN.
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a, b, c, d
∑
cyc

(a
2
+ 1) (b
2
+ 1) (c
2
+ 1) ≥ 2(ab + bc + cd + da + ac + bd) − k.
Iran Team Selection Test 2011
Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng
√
3(
√
a +
√
b +
√
c) ≤
a
√

a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
+
1
(a + b + c)
2
≥
7
25

1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
a + b + c


2
+ t
2
.
Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2011
Bài 7. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a
1 + (b + c)
2
+
b
1 + (c + a)
2
+
c
1 + ( a + b)
2
≤
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
a
2
+ b
2
+ c

2
+ ···+ a
n
n

2
+ C
n
(a
1
− a
n
)
2
.
Middle European Mathematical Olympiad 2010
Bài 9. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
a
1 + a
+
b
1 + b
+
c
1 + c
= 2. Chứng minh
rằng
√
a +
√

≥ 3 + 4(a + b + c).
Middle European Mathematical Olympiad 2012
Bài 11. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
1
a
5
(b + 2c )
2
+
1
b
5
(c + 2a)
2
+
1
c
5
(a + 2b)
2
≥
1
3
.
USA Team Selection Test 2010
Bài 12. Cho tam giác ABC có h
a
, h
b
, h

√
c. Chứng minh
rằng
a
a
b
b
c
c
≥ 1.
USA ELMO 2013
Bài 14. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
(a − b)(a − c)
2a
2
+ ( b + c)
2
+
(b −c )(b − a)
2b
2
+ ( c + a)
2
+
(c − a)(c − b)
2c
2
+ (a + b)
2
≥ 0.

b
2
c
2
+ 2ab
≥ a + b + c.
USA ELMO Shortlist 2010
Bài 16. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm hằng số c = c(n) lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau
đúng với mọi số thực không âm a
1
, a
2
, , a
n
thỏa mãn a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
= n :
1
n + ca
2
1
+
1
n + ca
2
2

2
, y
3
khác 0 thỏa mãn
x
1
+ x
2
+ x
3
= y
1
+ y
2
+ y
3
= 0.
Chứng minh rằng
x
1
x
2
+ y
1
y
2

(x
2
1

2
3
)
+
x
3
x
1
+ y
3
y
1

(x
2
3
+ y
2
3
)(x
2
1
+ y
2
1
)
≥ −
3
2
.

2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
)
.
USA ELMO Shortlist 2012
Bài 20. Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng
(a
2
+ 2b c)
2012
+ (b
2
+ 2ca)
2012
+ (c
2
+ 2ab)
2012
≤ ( a
2
+ b

(a − b)




≥
k + 1
3(k − 1)
(a + b + c),




a
k+2
(b −c ) + b
k+2
(c − a) + c
k+2
(a − b)
a
k
(b −c ) + b
k
(c − a) + c
k
(a − b)




≥
3
3
√
abc +
1
3
√
abc
+ 1
.
USA ELMO Shortlist 2013
Bài 23. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
=
ab + bc + ca + 1
2
.
Chứng minh rằng

a
2
+ b
2

2
+ (1 −b)
2
+ (1 −c)
2
+
2
√
2abc
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
USA TSTST 2011
Bài 26. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
xyz + xy + yz + zx = x + y + z + 1.
Chứng minh rằng
1
3



1 + x
2
1 + x
+

2
− ab + b
2
)
2
≤
2
3
(a
2
+ b
2
+ c
2
)

1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a

.
Turkey Team Selection Test 2010
Bài 28. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a
2
+ b

+ 1
+
1
c
2
+ 1

.
Turkey Team Selection Test 2012
Bài 30. Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn −2 ≤ x, y, z ≤ 2 và
x
2
+ y
2
+ z
2
+ xyz = 4,
tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng
z(xz + yz + y)
xy + y
2
+ z
2
+ 1
≤ k.
Turkey Team Selection Test 2013
Bài 31. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a
2
+ b
2

4
i
+ 3
≤
1
2
n
∑
i=1
1
a
i
.
Turkey National Olympiad Second Round 2011
Bài 33. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng
1
x + y
20
+ z
11
+
1
y + z
20
+ x
11
+
1
z + x
20

2
−3abc).
Turkey National Olympiad Second Round 2013
Bài 36. Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh rằng
a
2
b
2
(a
2
+ b
2
−2) ≥ (a + b)(ab −1).
Turkey Junior National Olympiad 2010
Bài 37. Cho hai số thực dương x, y. Chứng minh rằng
1 ≤
(x + y)(x
3
+ y
3
)
(x
2
+ y
2
)
2
≤
9
8

3
+
c
c
2
+ a
3
+ b
3
≥ 1.
Turkey Junior National Olympiad 2012
Bài 39. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn
x + y + z = 0, x
2
+ y
2
+ z
2
= 6.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = |(x −y)(y − z)(z − x)|.
Turkey Junior National Olympiad 2013
Bài 40. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
1 + yz + zx
(1 + x + y)
2
+
1 + zx + xy
(1 + y + z)
2

2(
√
a + b +
√
b + c +
√
c + a).
India International Mathematical Olympiad Training Camp 2010
Bài 42. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn
a + b + c + d = 6, a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
= 12.
Chứng minh rằng
36 ≤ 4(a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
) −(a
4
+ b

2
1
+ a
2
2
+ ···+ a
2
n
= n.
Chứng minh rằng
∑
1≤i<j ≤n
1
n − a
i
a
j
≤
n
2
.
Asian Pacific Mathematical Olympiad 2012
Bài 45. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng
x(x + 2)
2x
2
+ 1
+
y(y + 2)
2y

k
i
+ 1
≥
n
(n −1)
k
+ 1
.
8
www.VNMATH.com
Romania Team Selection Test 2011
Bài 47. Cho số nguyên dương k và các số thực dương a, b, c thỏa mãn
a + b + c = 3k.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = a
3k−1
b + b
3k−1
c + c
3k−1
a + k
2
a
k
b
k
c
k
.

4b + c
b + 4c
+
4c + a
c + 4a
<
33
4
.
Germany Team Selection Test 2010
Bài 50. Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a bcd = 1. Chứng minh rằng
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
+
9
a + b + c + d
≥
25
4
.
China Girls Mathematical Olympiad 2011

+ n
n
√
x
2
+ ···+ n
n
√
x
n+1
.
Iran Team Selection Test 2014
Bài 52. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2

Bài 53. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 2(xy + yz + zx). Chứng
minh rằng
x + y + z
3
≥
3

2xyz.
Iran National Mat h Olympiad (Second Round) 2014
Bài 54. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

a
2
+ ab + b
2
+

b
2
+ bc + c
2
+

c

5
c
5
+
c
5
a
5
≥
(a + 1)
5
(b + 1)
5
+
(b + 1)
5
(c + 1)
5
+
(c + 1)
5
(a + 1)
5
.
Israel National Mat h Olympiad 2011
Bài 57. Cho {a
1
, a
2
, , a

1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn x
1
+ x
2
+ + x
n
= n. Chứng minh
rằng
x
1
x
2
+
x
2
x
3
+ +
x
n
x
1
≤
4
x

|},
đúng với mọi số thực x
1
, x
2
, , x
n
.
Israel National Mat h Olympiad 2013
10
www.VNMATH.com
Bài 60. Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
= 4. Chứng minh rằng
a
b
+
b
c
+
c
d
+
d

2
c + 1 +
3

7c
2
a + 1.
Middle European Mathematical Olympiad 2013
Bài 62. Cho các số thực x, y, z, w khác 0 thỏa mãn x + y = 0, z + w = 0, và xy + zw ≥ 0.
Chứng minh rằng

x + y
z + w
+
z + w
x + y

−1
+
1
2
≥

x
z
+
z
x

−1

= 3. Chứng minh rằng
a
(b + c − a)
2
+
b
(c + a − b)
2
+
c
(a + b − c)
2
≥
3
(abc)
2
.
IMO Shortlist 2011
Bài 65. Cho a
2
, a
3
, , a
n
là n − 1 số thực dương thỏa mãn a
2
a
3
···a
n

. Giả sử đa thức F(x) = x
4
+ a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + k
4
với
các hệ số thực có 4 nghiệm âm. Chứng minh rằng
F(p) ≥ (p + k)
4
.
Moldova Team Selection Test 2010
Bài 68. Cho các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn x
1
+ x
2

2
+ ···+ x
n−1
)
2
.
Moldova Team Selection Test 2010
Bài 69. Cho các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn x
1
x
2
···x
n
= 1. Chứng minh rằng
1
x
1
(x
1
+ 1)
+
1
x
2

+ ···+
n

1 +
n
2
(n + 1)!
.
Moldova Team Selection Test 2011
Bài 71. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta luôn có
x
y
+
y
z
+
z
x
≥
z(x + y)
y(y + z)
+
x(z + y)
z(x + z)
+
y(x + z)
x(x + y)
.
Moldova Team Selection Test 2013
Bài 72. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a

+ c
3
3
+ 1)
(a
1
+ b
1
+ c
1
)(a
2
+ b
2
+ c
2
)(a
3
+ b
3
+ c
3
)
≥
3
4
.
Moldova Team Selection Test 2013
Bài 73. Cho tam giác tù ABC với BC = a, Ca = b, AB = c. Chứng minh rằng
a

>
5
2
.
Moldova Team Selection Test 2013
Bài 75. Cho a, b ∈ R
+
thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E(a, b) = 3

1 + 2a
2
+ 2

40 + 9b
2
.
Moldova Team Selection Test 2014
Bài 76. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực x
1
, x
2
, , x
n
thỏa mãn 0 < x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n

a
3
(b + c )
+
b
3
+ 5
b
3
(c + a)
+
c
3
+ 5
c
3
(a + b)
.
Moldova Team Selection Test 2014
Bài 78. Tìm giá trị lớn nhất của số thực k sao cho bất đẳng thức
a
1 + 9bc + k(b − c)
2
+
b
1 + 9ca + k(c − a)
2
+
c
1 + 9ab + k(a − b)

+
a
1
· a
3
····· a
n
a
2
+ n −2
+ ···+
a
1
· a
2
····· a
n−1
a
n
+ n −2
≤
1
(
n −1
)
2
.
Mediterranean Mathematics Olympiad 2010.
Bài 80. Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f . Chứng minh rằng
3

ca
1 + c + a
.
Chứng minh rằng
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
+ a + b + c + 2 ≥ 2

√
ab +
√
bc +
√
ca

.
European Mathematical Cup 2013
Bài 82. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
a
2
a + b
2
+
b
2

+ c
k
+ d
k
= 4.
Croatia Team Selection Test 2013
14
www.VNMATH.com