tích phân của các hàm vô tỷ
Mục tiêu của mục này là đa ra cách giải cho một số dạng của tính tích tổng quát
I =
b

a
R(x, x
m
n
, , x
r
s
)dx
trong đó R(u, v, , w) là hàm phân thức hữu tỷ các biến số u, v, , w và m, n, , r, s là các số
nguyên dơng.
Cách giải tổng quát nhất cho tích phân này là đặt x = x
k
trong đó k là bội số chung nhỏ
nhất của tất cả các mẫu số trong các số mũ. Lúc đó chúng ta đa tích phân đã cho về dạng tích
phân các hàm hữu tỷ.
Một cách giải tơng tự cho tích phân
I =



R

x,

ax + b
cx + d


x
x(
4

x + 1)
dx
(c). I =
143

3
13

0
dx
3

(x 1)(x + 1)
2
(d). J =
4

1
3

x
6

x
x(

+ t
13
+ t
8
+ t
7
)dt
= 6

1
15
t
15
+
1
14
t
14
+
1
9
t
9
+
1
8
t
8



t
2
t
t
8
(t
2
+ 1)
8t
7
dt =
8t 8
t
2
+ 1
dt = 4
2tdt
t
2
+ 1
8
dt
t
2
+ 1
Do vậy
J = 4
4

2

0

4
1

Chú ý rằng u
0
(

2
;

2
) ở trên là giá trị mà tan u
0
=
4

2 chúng ta còn kí hiệu u
0
= arctan
4

2,
ở đây arctan là ký hiệu hàm ngợc của hàm số tan.
c. Bài giải:
+ Đặt
x + 1
x 1
= t


(x 1)(x + 1)
2
=
3

x + 1
x 1
.
dx
x + 1
=
6t
3
(t
3
1)
2
2t
3
t
3
1
dt =
3
t
3
1
dt
+ Sử dụng kỹ thuật tích phân hữu tỷ ta đợc

143

3
13

0
dx
3

(x 1)(x + 1)
2
=

3
3

0
1
t 1
dt
1
2

3
3

0
2t + 1
t
2


3
2
J
0
+ Tính J
0
theo cách tính của hàm hữu tỷ đã biết.
d. Bài giải: Giải tơng tự bài b.
7.1.2 Bài tập tự giải:
(a). I =
1

2
x
2
(

1 x +
3

1 x)dx (b). J =
4

0
dx
3

2x + 1 +


2
+ bx + c:
Nếu a > 0 thì đổi biến

ax
2
+ bx + c = t + x

a x =
t
2
c
b 2t

a
Nếu c > 0 thì đổi biến

ax
2
+ bx + c = tx +

c x =
2t

c b
a t
2
Nếu ax
2
+ bx + c = 0 a(x )(x ) = 0 nghĩa là biểu thức dới dấu căn có

a. Bài giải:
+ Đặt

x
2
+ x + 1 = t + x x
2
+ x + 1 = t
2
+ 2tx + x
2
x =
t
2
1
1 2t
do vậy

x
2
+ x + 1 = t +
t
2
1
1 2t
=
t
2
+ t 1
1 2t

t + 1)
2
(2t 1)
3
dt
+ Ta sử dụng ký thuật của tích phân hàm hữu tỷ nh sau
(t
2
t + 1)
2
(2t 1)
3
=
1
16
[4t
2
4t + 4]
2
(2t 1)
3
=
1
16
[(2t 1)
2
+ 3]
2
(2t 1)
3

2t 1
dt +
9
8
1


31
1
(2t 1)
3
dt
=

1
32
(2t 1)
2
+
3
8
ln |2t 1|
9
32
1
(2t 1)
2




2
+ 2tx + x
2
x =
1 t
2
2t + 1
do vậy

x
2
x + 1 = t +
1 t
2
2t + 1
=
t
2
+ t + 1
2t + 1
.
+ Vi phân dx =
2t
2
2t 2
(2t + 1)
2
dt.
+ Đổi cận x = 0 = t = 1; x = 1 = t = 0.
+ Từ đây ta có

16
[4t
2
+ 4t + 4]
2
(2t + 1)
3
=
1
16
[(2t + 1)
2
+ 3]
2
(2t + 1)
3
=
1
16
(2t + 1) +
3
8
1
2t + 1
+
9
16
1
(2t + 1)
3

2
+
3
8
ln |2t + 1|
9
32
1
(2t + 1)
2





1
0
=
1
2
+
3
8
ln 3.
7.2.2. Bài tập mẫu:
(a). I =
2

1
dx

x
2
+ x + 1 = 1 +
2t
2
t
1 t
2
=
t
2
t + 1
1 t
2
.
+ Vi phân dx =
2(t
2
t + 1)
(1 t
2
)
2
dt.
+ Đổi cận x = 1 = t =

3 1; x = 2 = t =

7 1
2

1
1 t

dt
+ Vì vậy
I =

71
2


31

1
1 + t
+
1
1 t

dt
= [ln |1 + t|ln |1 t|]




71
2

31
4

1 − t
2
do vËy
√
x
2
− x + 1 = 1 +
2t
2
+ t
1 − t
2
=
t
2
+ t + 1
1 − t
2
.
+ Vi ph©n dx =
2(t
2
+ t + 1)
(1 − t
2
)
2
dt.
+ §æi cËn x = 1 =⇒ t = 0; x = 2 =⇒ t =
√

1 + t
+
1
1 − t

dt
+ V× vËy
I =
√
3−1
2

0

1
1 + t
+
1
1 − t

dt
= [ln |1 + t|−ln |1 − t|]



√
3−1
2
0
= ln

√
x
2
+ x + 1dx (d). J =
1

0
(x
2
+ 1)
√
x
2
− x + 1dx
(e). I =
1

0
(x + 1)dx
√
x
2
+ x + 1
(f). J =
1

0
(x + 1)dx
√
x

x
2
dx
√
4 − x
2
5