NỘI DUNG
PHẦN: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là
−∞
, b là
+∞
) và
( )
0
;x a b∈
•Nếu tồn tại số h>0 sao cho
( )
( )
0
f x f x<
với mọi
( )
0 0 0
; ,x x h x h x x∈ − + ≠

thì ta nói hàm số
( )
f x
đạt cực đại tại
0
x

y f x=
liên tục trên khoảng K=(x
0
-h; x
0
+h) và có đạo hàm trên K
hoặc trên
{ }
0
\K x
, với h>0
• Nếu
( )
0
' 0f x >
trên khoảng
( )
0 0
;x h x−
và
( )
0
' 0f x <
trên khoảng
( )
0 0
;x x h+

thì x
0

x

0
x h+

x

0
x h−

0
x

0
x h+
( )
'f x
+
−
( )
'f x

−
+

( )
f x
f
CĐ
( )


thì x
0
là điểm cực tiểu
Trang 3
• Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=


<


thì x
0
là điểm cực đại.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁCH 1: (Áp dụng Định lí 1) Các bước để xác định cực trị của hàm số là:
+ Tìm TXĐ
+ Tính

i
f x
suy ra tính chất cực trị của
i
x
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số
3 2
1
3 2
3
y x x x= + − +
Lời giải
Tập xác định :
¡
Ta có
2
' 2 3y x x= + −
;
2
1
' 0 2 3 0
3
x
y x x
x
=

= ⇔ + − = ⇔


Lời giải
TXĐ :
¡
Ta có
( )
2
1 os6x
os 3
2
c
y f x c x
+
= = =
Trang 4

( )
( ) ( )
' 3sin6
' 0 sin6 0 6
6
f x x
k
f x x x k x k
π
π
= −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈¢
( )
( )
'' 18 os6x

x m
π
+
= ∈¢
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số
a)
3
y 2x 6x 1= − +
b)
3 2
y x x x 2= − + + −
c)
4 2
y x 2x 1= − + +
d)
4 2
y 2x x 2= + −
Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số
a)
x 2
y
x 1
−
=
+
b)
2
x 3x 2
y

y 2x 1 9 x
= + −
e)
3
2
x
y
x 6
=
−
f)
( )
3 3
y sin x cos x 0 x 2= + ≤ ≤ π
Trang 5
DẠNG 2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA
HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Với hàm số:
( )
3 2
y ax bx cx d a 0= + + + ≠
và
( )
2
ax bx c
y ad 0
dx e
+ +
= ≠

Ta có
( )
2
' 2 7 1 16y x m x= − + +
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’=0
( )
2
2 7 1 16 0x m x⇔ − + + =
có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua hai
nghiệm đó
( )
2
7 1 16 0m⇔ ∆ = + − >

2
5
7
49 14 15 0
3
7
−

<

⇔ + − > ⇔


>



2
+m =0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép
0m⇔ ≥

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số
( )
3 2 2 3 2
y x 3mx 3 1 m x m m= − + + − + −
. Chứng minh rằng hàm số
luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.
Bài 2. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
y x 1 2m x 2 m x m 2= + − + − + +
có cực trị.
Bài 3. Tìm m để hàm số
( ) ( )
4 2
y m 1 x 2 m 1 x m 7= − + + + −
chỉ có cực đại mà không
có cực tiểu.
Bài 4. Tìm m để hàm số
( )
4 2 2
y mx m 9 x 10
= + − +
có 3 điểm cực trị.
Bài 5. Tìm m để hàm số

A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số
3 2
2 1y x x mx= − + +
đạt cực
tiểu tại x =1.
Lời giải
Ta có
2
' 3 4 .y x x m= − +
Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì y’(1)=0, suy ra m=1.
Với m=1 thì
3 2 2
2 1, ' 3 4 1, '' 6 4y x x x y x x y x= − + + = − + = −
Mà y’(1) =0 và
( )
'' 1 2 0y = >
nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1
Vậy m=1 là giá trị cần tìm
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2 2 2
1
y x m m 2 x 3m 1 x m 5
3
= + − + + + + −
đạt cực trị tại
x = 2.
Bài 2. Cho hàm số

Trang 8
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Với hàm số:
( )
3 2
y ax bx cx d a 0= + + + ≠
và
( )
2
ax bx c
y ad 0
dx e
+ +
= ≠
+
+ Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu) là
phương trình
y' 0=
có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x
1
, x
2
.
+ Khi đó các điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình
y' 0=
.
Chú ý: Ta thường áp dụng hệ thức Viet để tìm
1 2
1 2
S x x

1 2
2x x− ≤
.
Lời giải.
Ta có
2
' 3 6( 1) 9.y x m x= − + +
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx

⇔
phương trình
0'=y
có hai nghiệm phân biệt là
1 2
,x x

⇔

2
2( 1) 3 0x m x− + + =
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx
.
2
1 3
' ( 1) 3 0
1 3

Cho hàm số
3 2
3( 1) 3(2 1) 4y x m x m x
= − + + + −
(1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m= - 1
Trang 9
2)Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu và hai điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua điểm I ( 0; 4)
Lời giải
2.Hàm số có CĐ, CT
⇔
pt
2
' 3 6( 1) 6 3 0y x m x m= − + + + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
1, 2 1x x m= = +
với mọi m
Hai điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua điểm I (0 ,4) điều kiện cần
là
1 2
0 2 2 0 1
2
x x
m m
+
= ⇔ + = ⇔ = −

Điều kiện đủ : m=-1 hàm số khảo sát ở câu a có 2 điểm CĐ (-1 ;-2 ) CT(1;-6) đối

1 2
x ,x
, chứng minh rằng:
2 2
1 2
x x 18+ ≤
.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
y x 3mx 1= + +
. Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị hàm số
khi m thay đổi.
Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2
y x 1 2m x 2 m x m 2= + − + − + +
có cực đại,
cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Bài 5. Cho hàm số
2 2
x 2x m 2
y
x 1
+ + +
=
+
. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực
đại và cực tiểu với mọi m, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía đối
với trục hoành.
Bài 6. Cho hàm số

x x x x+ = +
DẠNG 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ
THỊ HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Với hàm số:
( )
3 2
y ax bx cx d a 0= + + + ≠
và
( )
2
ax bx c
y ad 0
dx e
+ +
= ≠
+
Trang 11
 Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu)
là phương trình
y' 0=
có hai nghiệm phân biệt.
 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
( ) ( )
1 1 2 2
A x ;y và B x ;y
, trong đó
1 2
x ;x
là

2
3 3 9
b bc
y c x d
a a
   
= − + −
 ÷  ÷
   
b) Với hàm số:
( )
2
ax bx c
y ad 0
dx e
+ +
= ≠
+
Ta có bổ đề sau:
Nếu
( )
( )
( )
u x
y x
v x
=
và có
( )
( )

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0 0
0
2
0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
' . . '
' 0 0
' . . ' 0 ' . . '
' '
' '
u x v x u x v x
y x
v x
u x v x u x v x u x v x u x v x
u x u x u x
y x

( )
1
1
1
1
2
2
2
2
'
2 .
'
'
2 .
'
u x
a x b
y x
v x d
u x
a x b
y x
v x d

+
= =



+

x ;x
là các nghiệm của phương trình
y' 0=
.
+ Chú ý: Ta luôn xác định được cụ thể các điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai
điểm cực trị nhỏ nhất.
Lời giải.
2. Giải phần a ta đã tìm được các điểm cực trị
Gọi điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2)
Xét biểu thức P=3x-y-2
Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P= - 4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0
Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để
MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng
Phương trình đường thẳng AB: y = - 2x+2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
4
3 2
5
2 2 2
5
x
y x

TXĐ D=R
Trang 13
4 2 2 3 2
2 1 ' 4 4
0
' 0
y x m x y x m x
x
y
x m
= − + ⇒ = −
=

= ⇔

= ±

Để hàm số có ba cực trị
0m⇔ ≠
Giả sử ba điểm cực trị là
( )
( ) ( )
2 2
0;1 , ;1 , ;1A B m m C m m
− − −
Ta có
( ) ( )
4 4
; , ; à ABAB m m AC m m v AC= − = − − =
uuur uuur

Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ m ≠ 0.
Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m
3
– 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m
3
– 3m – 1)
Vectơ
3
(2 ;4 )AB m m=
uuur
; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
(8; 1)u = −
r
.
Hai điểm cực đại, cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d
⇔
I d
AB d
∈


⊥

⇔
3
8(2 3 1) 74 0
. 0
m m m

2 2
2 1 0x mx m⇔ − + − =
có 2 nhiệm phân biệt

1 0, m⇔ ∆ = > ∀

Khi đó y’=0 có hai nghiệm là
1 2
1, 1x m x m= − = +
Bảng biến thiên
x
−∞
m-1 m+1
+∞
y’ + 0
−
0 +
y 2-2m
+∞
−∞
-2-2m
Gọi điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số là B(m+1;-2-2m)
Theo giả thiết ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m

phương trình
( )
2
3x 6x+3 1-m 0− =
có hai nghiệm
phân biệt
0m⇔ >
Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:
Trang 15

( )
2
1
3 6 3 1 . 2 2 2
3
x
y x x m mx m
−
 
= − + − − + +
 
Tại các điểm cực đại, cực tiểu thì y’=0 nên phương trình đường thẳng đi qua điểm
cực đại và cực tiểu là y=-2mx+2m+2
Đường thẳng đi qua điểm CĐ và điểm CT tạo với đường thẳng x+y=0 một góc 30
0

0
2
2
2 1


thoả mãn điều kiện
Kết luận:
2 3
2
2 3
2
m
m

−
=



+
=


là giá trị cần tìm
Ví dụ 6: Cho hàm số
( )
2
3 3 1
1
x m x m
y
x
− + + +
=

2
2. 2 2 0⇔ − − + =x x m
(1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
,
1≠

1
2
m⇔ >
Giả sử
( ) ( )
1 1 2 2
A x ;y ;B x ;y
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
Áp dụng bổ đề trên ta có
( ) ( )
1 1 2 2
y 2x m 3 ; y 2x m 3= − + = − +
Mà x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình (1)
Áp dụng hệ thức Viet với phương trình (1) ta có
1 2
1 2
x x 2

  
< >
− + >
 

Trang 16
Kết hợp điều kiện
1
2
>m
ta được
1
m 1
2
m 5

< <


>

Vậy
1
m 1
2
< <
hoặc m>5 thỏa mãn đề bài
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số: 1, y=
3 2

( ) ( )
3 2
1
y x m 1 x 4m 1 x 1
3
= − + + + −
. Tìm m để hàm số có 2 cực
trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 3
3 1
y x mx m
2 2
= − +
có 2 điểm cực trị đối xứng
nhau qua d: y = x.
Bài 7. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số
3 2
1
y x mx x m 1
3
= − − + +
luôn có cực
đại, cực tiểu. Xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ
thị hàm số trên nhỏ nhất.
Bài 8. Cho hàm số
3 2
y x 6x 3mx m 2= − + − +
. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tại
1 1

Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số
4 2
1
y x 2mx m
4
= − +
có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực
trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng
32 2
.
Bài 12. Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ m – 1, tìm m để hàm số có 3 cực trị và các điểm
cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng 1.
Bài 13. Cho hàm số
4 2
1
y x mx 2m 1
4
= − + −
. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Viết phương trình Parabol (P) đi qua 3 điểm cực trị đó. Chứng minh rằng (P) luôn đi
qua 2 điểm cố định.
Bài 14. Cho hàm số
2
x mx m
y

bằng nhau.
Bài 17. Cho hàm số
( )
2
3 1 4
2 1
x m x m
y
x
− + +
=
−
. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm
cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
x y 1 0+ + =
.
Bài 18. Cho hàm số
( )
3 2
3 2 1 3y mx mx m x m= − + + + −
. Tìm m để hàm số có cực
trị. Tìm điểm cố định của đường thẳng đi qua các điểm cực trị
Bài 19. Cho hàm số
( )
2 2 3
1 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=

x
− +
=
−
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai
điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
Bài 23. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1 2
3
y x mx m x m= − + − − +
. Tìm m để hàm số có hai cực
trị dương.
Bài 24. Gọi (Cm) là đồ thị hàm số
( )
1
*y mx
x
= +
Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm
cận xiên của (Cm) bằng
1
2
Bài 25. Cho hàm số
2
1x mx
y
x m

x m x m
y f x
x
− + + +
= =
−
Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại cực tiểu
của đồ thị nhỏ hơn 3.
Bài 29. Cho hàm số
3 2 3
3 1
.
2 2
y x mx m= − +
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1
b, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
c, Xác định m để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm số trên tại ba điểm phân biệt A,B,C
sao cho AB=BC.
(ĐH Huế 2001-2002. ĐS b, m=
2±
; c, m=0, m=
2±
)
Bài 30. Cho hàm số y=
( ) ( )
3 2
2 3 2 1 6 1 1x m x m m x− + + + +
Trang 19
CMR với mọi m hàm số trên luôn đạt cực trị tại x
1

Bài 34. Cho hàm số y=
2
x 2mx 2
x 1
+ +
+
Với m =? thì đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT và khoảng cách từ các điểm đó đến
đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau.
(ĐH SP HN 2001-2002. ĐS m=1/2)
Bài 35. Cho hàm số y=
( )
2
2 4 4 1
1
mx m x m
x
+ − + −
−
Xác định m sao cho hàm số có hai cực trị trong miền x>0.
(ĐH Đà Lạt 2001-2002. ĐS m<-1)
Bài 36. Cho hàm số y=
2
8
1
x mx m
x
+ − +
−
1. Khảo sát hàm số với m=-1 (C).
2. Viết phương trình parabol đi qua cực đại cực tiểu của (C) và tiếp xúc với đường

x m
+ −
=
+
có cực trị.
(ĐS : -1<m<0)
Bài 40. Cho hàm số y=
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2x m x m m x m m
− + + + + − +
mTìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua
các điểm cực đại và cực tiểu.
Bài 41. Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10= + − +y mx m x
(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị.
(ĐH Khối
−
B năm 2002)
Bài 42. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số
( )
2
1 1
1

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS:
2
2= − +y x m m
.(ĐH Khối
−
A 2002)
Bài 45. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:
1
= +y mx
x
(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
1
4
.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm)
đến tiệm cận xiên bằng
1
2
.
ĐS: m=1.(ĐH Khối
−
A 2005)
Trang 21
Bài 46. Cho hàm số
( )
2 2
2 1 4
2