TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH

BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI
TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học

Người hướng dẫn khoa học
TH.S DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI, 2013


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LI CM N

Sau mt thi gian nghiờn cu cựng vi s hng dn ch bo tn tỡnh
ca cụ giỏo, thc s Dng Th H, khúa lun ca tụi n nay ó hon thnh.
Qua õy tụi xin gi li cm n sõu sc ca mỡnh ti cụ Dng Th H,
ngi ó trc tip hng dn ch bo cho tụi nhiu kinh nghim quý bỏu trong
thi gian tụi thc hin khúa lun ny. Tụi cng xin chõn thnh cm n ban
giỏm hiu, cỏc thy cụ trong khoa toỏn trng i Hc S Phm H Ni 2 ó
to iu kin tt nht giỳp tụi hon thnh khúa lun ỳng thi hn.
Do ln u tiờn lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc, hn na
do thi gian v nng lc ca bn thõn cũn hn ch nờn mc dự ó cú nhiu c


TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
MỤC LỤC

Trang
Mở đầu ........................................................................................................... 1
Chương 1: Cơ sở lý luận................................................................................. 3
1.1. Nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở trường phổ thông ........... 3
1.1.1. Khái niệm cực trị của hàm số ............................................................... 3
1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ...................................................... 3
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ........................................................ 4
1.1.4. Quy tắc tìm cực trị ................................................................................ 5
1.2. Các dạng toán cực trị trong chương trình toán phổ thông ........................ 7
1.2.1. Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ ..................................................... 7
1.2.2. Cực trị của hàm số vô tỉ ...................................................................... 11
1.2.3. Cực trị của hàm siêu việt và lượng giác .............................................. 13
1.2.4. Các bài toán cực trị trong hình học ..................................................... 16
1.3. Các sai lầm học sinh thường gặp khi giải toán về cực trị của hàm số ..... 20
1.3.1. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt ............................................ 20
1.3.2. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan .......................................... 20
1.3.3. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí ................................................. 22
Kết luận chương 1 ........................................................................................ 26
Chương 2: Một số dạng toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh

2.3.2. Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng....... 51
2.3.3. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu ................................................... 53
2.3.4. Luyện tập............................................................................................ 55
Kết luận chương 2…………………………………………………………...59
Kết luận chung……………………………………………………………….60
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………...61

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực
tiễn. Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiễn phổ dụng có
thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học công nghệ, sản
xuất và đời sống xã hội hiện đại.
Mục đích của việc giảng dạy môn Toán ở phổ thông là dạy học sinh về
kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán, giúp học sinh
khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn Toán từ đó hình
thành và phát triển tư duy logic cho học sinh.
Trong chương trình toán thì khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan
đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 12 nói
riêng và chương trình toán trung học phổ thông nói chung. Vì thế đây là phần
kiến thức chiếm nhiều nhất về thời lượng trong phân phối chương trình cũng

đó phát triển kĩ năng giải toán cực trị của học sinh, góp phần nâng cao chất
lượng dạy học toán phổ thông.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh đại học,
cao đẳng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Sách giáo khoa lớp 12, Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và một số
tài liệu tham khảo khác.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu cơ sở lí luận của đề tài.
2. Phân loại các dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số, nghiên cứu
một số sai lầm của học sinh khi giải dạng toán này.
3. Nghiên cứu các bài tập trong sách giáo khoa 12 và các đề thi đại học,
cao đẳng trong những năm gần đây.
4. Đề xuất một số bài toán cực trị.
6. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

2

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
NỘI DUNG

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

.

3

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Xét hàm số y  f (x)  x là hàm số xác định trên

có f (0)  0 và

f (x)  0 với mọi x  0. Nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Nhưng hàm số
không có đạo hàm tại x = 0.
Nhận xét:
Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm thuộc tập xác định mà tại
đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. Những
điểm thuộc tập xác định của hàm số y  f (x) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc tại
đó hàm số liên tục mà không có đạo hàm gọi là điểm tới hạn của hàm số.
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo
hàm trên các khoảng (a ; x0) và (x0 ; b). Khi đó
a) Nếu f (x) < 0 với mọi x  (a ; x0) và f (x) > 0 với mọi x  (x0 ; b)
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
b) Nếu f (x) > 0 với mọi x  (a ; x0) và f (x) < 0 với mọi x (x0 ; b)



Khãa luËn tèt nghiÖp
x

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

a

x0

f (x)



b


f(x0)
(cực đại)

f(x)

Định lí 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a ; b) chứa điểm
x0, f (x) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b) Nếu f (x) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
1.1.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1: Áp dụng định lí 2
1. Tìm f (x).


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

f (x)  0  x  1 .
Hàm số liên tục tại x  0 nhưng không có đạo hàm tại x  0 .
Sau đây là bảng biến thiên :
x

0

1


+

f (x)

0

+
+



1

f(x)


 8 khi k  2n  1

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x 
hàm số đạt cực tiểu tại x 



 (2n  1) ,
4
2




 n , f   n   1 và
4
4




f   (2n  1)   5 .
2
4

Chú ý: Nếu f (x 0 )  0 và f (x 0 )  0 thì ta không tìm được cực trị của hàm số

y  f (x) theo quy tắc 2. Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1
chứ không được kết luận hàm số không có cực trị.
Quy tắc 2 thường tìm cực trị của hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1

3
y = 0  x = 0 hoặc x = 1 hoặc x  .
5

Ta có bảng biến thiên:
x
y

3
5

0



+ 0

y

+

0

1


0

108
3125


Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

3
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  , giá trị cực đại của hàm số là
5
yCĐ 

108
. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là
3125

yCT  0 .

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = x4 + 8mx3 + 3(1 + 2m) x2  4 (m là tham số). Tìm
m để đồ thị hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại.
Giải: Hàm số đã cho xác định trên

.

Ta có f (x)  4x 3  24mx 2  6(1  2m)x  2x  2x 2  12mx  3(1  2m) 
Xét hàm t(x) = 2x2 + 12mx + 3(1 +2m) có:
 = 36m2  6(1 + 2m) = 6(6m2  2m  1).
+ Trường hợp 1:   0  6m2  2m  1  0 

1 7
1 7
m
6
6

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Khi đó f (x) = 4x2 (x  3), f (x)  0  x  0; x  3 .
Bảng biến thiên:
x
f (x)
f(x)

0




0

3


0

+

+
+
+

31
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

P(x 0 )
( Q(x 0 )  0). Và y 
là phương trình
Q(x)
Q(x 0 )

quỹ tích của các điểm cực trị.
x3
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: y  2 .
x 1

Giải: Tập xác định của hàm số là: D 

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

9

\ 1 .

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
Ta có: y 

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

x  0
3x 2 (x 2  1)  2x 4 x 2 (x 2  3)



y


0

1


0

3

1


+



0

+
+

+





4x 2  2(2  a)x  2(2  a)
.
(x 2  2x  2) 2

Xét phương trình: y  0  4x 2  2(2  a)x  2(2  a)  0 (*)
Ta có:   a 2  4a  20  0, a  Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân
biệt.
Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. Gọi x1, x2 là nghiệm của (*),
khi đó A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là các điểm cực trị của hàm số.
TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

10

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Ta lại có giá trị cực trị là: y 

(x 2  2x  a) x  1

.
(x 2  2x  2) x  1

 Tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình y 

x 1

2
; y  0  4  2x  0  x  2; x   2 .

 . Ta thấy: x 

2 3

2; x   2 thuộc tập xác định của hàm số.

4  x 

Vì y( 2 ) = 4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x  2 , yCĐ  2 .
Vì y(  2 ) = 4 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x   2 , yCT = 2.
2
Ví dụ 2. Xác định a để hàm số y  2x  2  a x  4x  5 có cực đại.

Giải: Tập xác định của hàm số là: D 
Đạo hàm của hàm số là: y  2 

.
a(x  2)
2

x  4x  5

; y 

a
2




x

2
2
0
 y(x 0 )  0 

a  0
a  0

a
 0 . Từ (1)  x0 < 2.
2

Với a < 0 thì

x 0 2  4x 0 5
Xét hàm số: f (x 0 ) 
, x0  2 .
x0  2

lim f (x 0 )  lim

x 

x 

x 0 2  4x 0  5

f(x0)

1


a
 1  a  2 .
2
Vậy với a < 2 hàm số đã cho có cực đại.

Phương trình (1) có nghiệm x0 < 2 

Ví dụ 3. Cho hàm số y  mx 2  4x  1 xác định m để:
a) Hàm số không có cực trị.
b) Hàm số có cực đại.
Giải: Điều kiện xác định của hàm số là: mx 2  4x  1  0 (1)
Ta có: y 

mx  2
2

; y  0  mx  2  0 (*)

mx  4x  1

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

12

Líp K35E To¸n

 0 0  m  4

m
m
m

   
Vậy với 0  m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Hàm số có cực đại  (*) có nghiệm thỏa mãn điều kiện (1) và y đổi
dấu từ dương sang âm.
m  0
m  0


   2 2 8
   m  0  m  0.
m     1  0   m  4

 m m

Vậy m < 0 thì hàm số có cực đại.
1.2.3. Cực trị của các hàm siêu việt và lượng giác
1.2.3.1. Cực trị của hàm số siêu việt
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: y  e 2x  2e x .
Giải: Tập xác định của hàm số là: D 

.

Đạo hàm của hàm số này là: y  2e 2x  2e x  2e x (e x  1) ; y  0  x  0 .
y  0  e x  1  0  e x  1  x  0 .


Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

ln x
.
x
Giải: Tập xác định của hàm số là: D  (0; ) .

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số: y 

1  ln x
, y  0  1  ln x  0  x  e
x2
y  0  1  ln x  0  1  ln x  x  e

Ta có: y 

Bảng biến thiên:
x

e

0

y



0



y   cos x  2cos 2x  2  cos x  4cos 2 x .
y(x1 )  2  cos k  0  x1 là điểm cực đại và giá trị cực đại của hàm số là:

5
 2 khi k  2n
y(x1 )  
 1 khi k  2n  1
 2

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

14

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

y(x2) =

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

3
> 0  x2 là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu của hàm số là:
2
1
y(x 2 )  .
4



1
. Khi đó (*)  x = .
3

1
6
thì cos  
và
3
3

y()  cos  sin  

6 43
2  4 3 4 12
.



3
3
3
3

Bảng xét dấu y:
x

0



Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Ví dụ 3. Với giá trị nào của m thì hàm số:
y  2(m 2  3)sin x  2msin 2x  3m  1 đạt cực tiểu tại điểm x 

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên


.
3

.

Ta có: y  2(m 2  3)cos x  4mcos 2x , y  2(m 2  3)sin x  8msin 2x .
Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x 


là :
3


f     0  m 2  2m  3  0  m  1; m  3 .
3

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x 



là y    0 .

bài toán chỉ yêu cầu tìm một trong hai đại lượng này.
Phương pháp giải toán: Tính đại lượng f đang xét theo chỉ một đại
lượng thay đổi x, tìm miền xác định của x và khảo sát cực trị của hàm f nhận

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

16

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

được trong miền đó. Ta cần lưu ý việc lựa chọn đại lượng thay đổi x để thuận
lợi trong việc tính toán biểu thức cần khảo sát theo biến x (và được một hàm
số có thể khảo sát được sự biến thiên của nó).
Ví dụ 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đoạn
SA  a 3 vuông góc với đáy. Một điểm B chuyển động trong đoạn SB. Mặt

phẳng (ADB) cắt SC tại C. Đặt y là tổng bình phương của các cạnh của tứ
diện (ADCB). Hãy tính y theo x = SB. Từ đó hãy xác định các giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của y.
Giải:
Mặt phẳng (ADB) chứa AD // BC nên giao

S

tuyến của nó với mặt phẳng (SBC) sẽ song song với

C

Dùng định lí cosin cho SBA ta có:
AB2  SA 2  SB2  2SA.SB cos ASB
 SA 2  SB2  2SA.SB.

SA
 3a 2  x 2  3ax
SB

Do CD  AD và CD  SA nên CD  (SAD)  CD  SD  CDS
vuông tại D nên trong SDC có:
DC2 = SD2 + SC2  2SD.SC. cos DSC = SD2 + SC2  2SD.SC.

SD
SC

Ta cần tính SD, SC, SC:
SD  SA 2  AD 2  3a 2  a 2  2a; SC  SD 2  CD 2  4a 2  a 2  a 5;
SC  SC

SB x 5


SB
2

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

17

7
a
5

0

y
y


8a

0

2a

4a2

2

3,1a2
Từ bảng biến thiên ta có: ymin = 3,1a2, đạt được khi x = SB =

7
a
5

ymax = 8a2, đạt được khi x = 0 (B  C  S).
Ví dụ 2. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn
hình vuông bằng nhau rồi gập tấm nhôm lại được cái hộp không nắp. Tính

 2

Bảng biến thiên:
x

0

V(x)

a
2

a
6

+



0
2a 3
27

V(x)
0

0

 a
Từ bảng biến thiên trên ta thấy trong khoảng  0;  hàm số có một

khoảng  0;  .
Ta có: S(x)  2x 

2000 2(x 3  1000)

; S(x)  0  x  10.
x2
x2

Bảng biến thiên của S trên khoảng  0;  :

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

19

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
x

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
10

0

S(x)





phía của đường thẳng y = 2x.
Học sinh thường làm như sau:
Đặt: g(x) = x2 + 2mx  5.
Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y = 2x
tương đương với hệ:

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

20

Líp K35E To¸n