BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
§1. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến, hàm đơn điệu
trên một khoảng. Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ đề cập đến việc xét sự biến
thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm.
1. Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm
Định lý: Giả sử hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng

( )
;a b
. Khi đó
•
( )
' 0f x >

( )
;x a b∀ ∈

⇒

f
đồng biến trên
( )
;a b
;
•
( )

• Quy tắc xét dấu của một biểu thức.
2. Quy tắc xét dấu một biểu thức
Giả sử hàm
( )
y g x=
không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm
1
x
,
2
x
, …,
n
x
đôi một khác
nhau và
1 2 n
x x x< < <L
. Ký hiệu
I
là một trong các khoảng
( )
1
; x−∞
,
( )
1 2
;x x
, …,
( )

,
( )
2
2
2
'
1
x x
y
x
−
=
−
. Ta thấy với mọi
x∈
TXĐ, dấu của
'y
chính là dấu của
tam thức bậc hai
2
2x x−
. Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
( )
2
1
1
1

− +
= = −∞
−
,
( )
1
2
lim
x
f x
−
 
→
 ÷
 
= +∞
,
( )
1
2
lim
x
f x
+
 
→
 ÷
 
= −∞
.

=
−
với mọi
( )
1;1x∈ −
. Do đó với mọi
( )
1;1x∈ −
,
'y
trái dấu
với
x
. Ta có bảng biến thiên của hàm số như hình
bên.
Kết luận. hàm số đồng biến trên
( )
1;0−
, nghịch biến trên
( )
0;1
.
Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số
1 1y x x= − + +
.
Giải. Ta có TXĐ
[ ]
1;1= −
và
( )

,
'y
trái dấu với
x
. Ta
có bảng biến thiên của hàm số như hình bên.
Kết luận. hàm số đồng biến trên
( )
1;0−
,
nghịch biến trên
( )
0;1
.
Nhận xét. Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ
bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm
bằng cách giải một bất phương trình.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2
2 1y x x= + −
.
Giải. Ta thấy
TXÑx∈

⇔

2


⇔

2
2 1 0x x− − ≤⇔

2
2 1 x x− ≤

⇔

( )
2 2
0
4 1
x
x x
≥



− ≤

⇔

.
Ví dụ 5. [ĐHA08] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
4 4
2 2 2 6 2 6y x x x x= + + − + −
.
Giải. Ta có TXĐ
[ ]
0;6=
và
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1
'
2
2 6
2 6
y
x x
x x
 
 
 
= − + −
 ÷
 
−
 
−
 

⇒
( ) ( )
3 3
4 4
1 1
2 6
1 1
2 6
x x
x x

>

−



>

−


⇒
( )
' 0y x >
;
• Tương tự, ta có
( )
' 0y x <


3 3 5y x x x= − + +
;
4)
4 3
1
5
2
y x x x= + − +
;
5)
4 3 2
3 22 51 36 1y x x x x= − + − + +
;
6)
5 3
4
8
5
y x x= − + +
;
7)
2
1
x
y
x
−
=
+
;

2
3
1
x
y
x
=
+
;
12)
1
3
x
y
x
+
=
;
13)
2 3y x x= + + −
;
14)
2
2 3x x+ +
;
15)
2y x= −
;
16)
2

,
( )
0;2
.
3)
3
2 1
x
y
x
−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
4)
2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
5)
2
8y x x= − + +
nghịch biến trên
¡

 ÷
 
, đồng biến trên các khoảng
1
1;
2
 
−
 ÷
 
và
( )
2;+∞
; 5 Hàm số đồng
biến trên các khoảng
1
;
2
 
−∞
 ÷
 
và
( )
2;3
, nghịch biến trên các khoảng
1
;2
2
 

 ÷
 ÷
 
; 7 Hàm
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;− +∞
); 8
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng
3
;
2
 
−∞ −
 ÷
 
và
3
;
2
 
− +∞
 ÷
 

−
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;0−∞

và
( )
0;1
, đồng biến trên các khoảng
( )
1;2
và
( )
2;+∞
.
11 Hướng dẫn.
TXÑ = ¡
,
( )
( )
2
2
2
3 1
1
x
y
x
−

( )
0;1
, đồng
biến trên
( )
1;+∞
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
13 Hàm số nghịch biến trên
1
2;
2
 
−
 ÷
 
, đồng biến trên
1
;3
2
 
 ÷
 
; 14 Hàm số nghịch biến trên
( )
; 1−∞ −
, đồng biến trên
( )

, đồng biến trên các khoảng
( )
0;1
và
( )
2;+∞
;
17 Hướng dẫn.
[ ]
2;5TXÑ =
,
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1
4
2 5
y
x x
 
 
′
= −
 
− −
 
(
( )
2;5x∈
).

4
3
4
1 2
3
2
1 2
3
5
x
x

 

>
 ÷

 
−



 
<

 ÷
 
−



 
 ÷
 
.
18 Hàm số đồng biến trên
( )
3; 1− −
, nghịch biến trên
( )
1;1−
; 19 Hàm số nghịch biến trên
( )
0;1
,
đồng biến trên
( )
1;2
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
§2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong tiết học này, ta quan tâm đến các vấn đề sau:
1. Sự biến thiên của hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm “
baäc nhaát
baäc nhaát
”

• Nghịch biến trên khoảng
( )
1 2
;x x
.
+
0
≤
• Đồng biến trên
¡
.

−
+
• Nghịch biến trên các khoảng
( )
1
; x−∞
và
( )
2
;x +∞
;
• Đồng biến trên khoảng
( )
1 2
;x x
.
−
0

 
.
a
b
Sự biến thiên của
y
+
0≥
•
y
nghịch biến trên
( )
;0−∞
, đồng biến trên
( )
;0−∞
;
+
−
• Nghịch biến trên các khoảng
( )
2
;
b
a
−∞ − −
và
( )
2
0;

2
0;
b
a
−
.
• Nghịch biến trên các khoảng
( )
2
;0
b
a
− −
và
( )
2
;
b
a
− +∞
.
−
0≤
• Đồng biến trên
( )
;0−∞
, nghịch biến trên
( )
;0−∞
.

+
không đổi dấu trên tập xác định. Do đó:
•
0ad bc
− >

⇔

y
đồng biến trên từng khoảng xác định;
•
0ad bc
− <

⇔

y
nghịch biến trên từng khoảng xác định .
2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng
f
đồng biến (nghịch biến) trên
( )
;a b

⇔

f
có ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến) và
( )
;a b

<

⇒

'y
có hai nghiệm phân biệt
1
12
m
x = − −
,
2
12
m
x = −
.
Bảng biến thiên
lim
x
y
→−∞
= −∞
,
lim
x
y
→+∞
= +∞
.
Trong trường hợp này, hàm số đồng biến trên

để hàm số
( )
3 2
1
2 2 1 3 2
3
y x x m x m= − + + + − +
nghịch biến trên
¡
.
Giải. Ta có
2
' 4 2 1y x x m= − + + +
.
'y

là tam thức bậc hai có hệ số của
2
x
là
1 0
− <
,
' 2 5m
∆ = +
. Do đó hàm số nghịch biến trên
¡
khi và chỉ khi
' 0
∆ ≤

a >


∆ ≤

;
+)
( )
0t x ≤

x∀ ∈¡

⇔

0
0
a <


∆ ≤

.
Ví dụ 3. Tìm
m
để hàm số
( ) ( )
3 2
2 3 2 1 6 1 7y x m x m m x= − + + + +
đồng biến trên
( )

→+∞
= +∞
.
Ta thấy hàm số đồng biến trên
( )
;m−∞
và
( )
1;m + +∞
. Do đó hàm số đồng biến trên
( )
1;2
khi và chỉ khi

( ) ( )
( ) ( )
1;2 ;
1;2 1;
m
m
⊂ −∞

⊂ + +∞



⇔

2
0

⇔

1m ≤ −
. Khi đó
' 0y ≤

x∀ ∈¡

⇒
hàm số nghịch biến trên
¡
nên cũng
nghịch biến trên
( )
0;+∞
.
• TH2:
' 0∆ >

⇔

1m
> −
. Khi đó,
'y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
1 1 1 1x m x m= − + < = + +
.
Do đó hàm số có hai khoảng nghịch biến là

.
Tóm lại hàm số đã cho nghịch biến trên
( )
0;+∞
khi và chỉ khi
1m ≤ −
.
Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số
4 2
4y x mx= + +
.
Giải. Ta có
( )
3 2
' 4 2 2 2y x mx x x m= + = +
.
• TH1:
0m
≥

⇒

'y
có nghiệm duy nhất
0x
=
và đổi dấu đúng một lần khi
x
đi qua
0

và đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua
các nghiệm.
Bảng biến thiên:
Ở đây,
lim
x
y
→±∞
= +∞
.
KL: hàm số đồng nghịch biến trên các khoảng
( )
2
;
m−
−∞ −
và
( )
2
4;
m−
và đồng biến trên
( )
2
;0
m−
−
và

2
4
4
m
y
x m
−
′
=
+
.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
' 0y >

x
∀ ∈
TXĐ
⇔

2
4 0m − >

⇔

2
2
m
m
>


( )
2;+∞
;
4)
( ) ( )
3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x= − + − + + −
đồng biến trên
( )
0;3
;
5)
( )
4 2
1 4y mx m x= + − +
đồng biến trên
( )
1;3
;
6)
2 3x
y
x m
+
=
−
đồng biến trên từng khoảng xác định;

m ≥
; 5
1
17
m ≤ −
hoặc
0 1m
≤ ≤
; 6
3
2
m < −
; 7
3 3m− < <
.
§3. Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để xét phương trình
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong nhiều trường hợp, việc xét phương trình
( )
f x m=
(1)
được đưa về xét sự tương giao giữa đường thẳng
y m=

với đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x=
. Sau đây là một số
kết luận hay gặp
• (1) có nghiệm khi và chỉ khi

. Ta có
( )
( )
1 2 1 1 3 4
1
2 1 2 1
2 1 2 1 1
x x
f x
x x
x x
− − −
′
= − = =
− −
− − +
(
1x
<
).
Bảng biến thiên Kết luận
1) (1) có nghiệm
⇔
đường thẳng
y m=
có điểm
chung với đồ thị hàm số
( )
y f x=


1;2x∈
2
0x mx m− + =
. (1)
Giải. Dễ thấy
1x =
không phải nghiệm của (1) nên:
(1)
⇔

( )
2
1x m x= −

⇔

2
1
x
m
x
=
−
.
Xét hàm
( )
2
1
x
f x

đường thẳng
y m=
có điểm
chung với đồ thị hàm số
( )
y f x=
,
(
]
1;2x∈

⇔

4m ≥
.
Ví dụ 3. [ĐHA08] Tìm
m
để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
. (1)
Giải. Đặt
( )
f x
là vế phải của phương trình (1). Sau đây ta khảo sát sự biến thiên của
( )
f x
.
Ta có TXĐ
[ ]

0 2 4
6 4
x
x
< <


− >


⇒

0 2 6x x
< < −

⇒

( ) ( )
3 3
4 4
1 1
2 2 2 6
1 1
2 6
x x
x x

>

−

6
nghiệm phân biệt.

2 2
2x x m− =
. (1)
Giải. Đặt
( )
f x
là vế trái của phương trình (1). Sau đây ta khảo sát sự biến thiên của
( )
f x
.
Ta có
TXÑ=¡
,
( )
( )
2
2 2
2f x x x= −

⇒

( )
'f x
=
( )
2
2 2

− −
−
(
2x ≠ ±
).
Ta thấy với
2x ≠ ±
,
( )
'f x
cùng dấu với
( ) ( )
2 2
4 2 1x x x− −
.
Bảng biến thiên:
Ở đây,
( )
lim
x
f x
→±∞
= +∞
.
Kết luận:
( )
1
có
6
nghiệm phân biệt

2 – 2 4 – 0x x x m
 
− + =
 

⇔

3 2
2
6 32 (2)
x
x x m
=


+ − =

.
Xét
( )
3 2
6 32f x x x= + −
,
2x
>
. Ta có
( )
2
' 3 12 0f x x x= + >
,

1x x= +
⇒

5
0
0x ≥

⇒

0
0x ≥
⇒

( )
2
0
1 1x + ≥

⇒

5
0
1x ≥

⇒

0
1x ≥
.
Do đó, để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm duy nhất

) có
đúng một điểm chung với trục hoành
⇒
(1) có
nghiệm duy nhất thuộc
[
)
1;+∞

⇒
(1) có
nghiệm duy nhất (ĐPCM).
Ví dụ 7. Tìm
m
để phương trình sau có
2
nghiệm phân biệt
( )
( )
3
2
2
2 1 0x x x m+ + + + =
. (1)
Giải. Ta có
(1)
⇔

( ) ( )
3

f t t t= +
,
1t
≥ −
. Ta có
( )
2
' 3 1 0f t t= + >

1t
∀ ≥ −
.
Ta thấy
1t
= −
(
' 0∆ =
) cho đúng một nghiệm
x
,
1t
> −
(
' 0
∆ >
) cho đúng hai nghiệm
x
.
Do đó (1) có
2

t x x x
π
 
= − = −
 ÷
 
. (2)
(2) có nghiệm
x

⇔

2; 2t
 
∈ −
 
. Từ
( )
2
, bình phương hai vế ta được
2
1 2sin cost x x= −

⇔

2
1
sin cos
2
t

 
. Ta có
( )
( )
2 2
' 3 3 3 1f t t t= − = −
.
Do đó
( )
1
có nghiệm
⇔

( )
3
có nghiệm
2; 2t
 
∈ −
 

⇔

2 2 2m
− ≤ − ≤

⇔

1 1m
− ≤ ≤

( )
2 2
1 1
1 1
f x x
x x
 
′
= +
 ÷
+ −
 
(với
( )
1;1x ∈ −
)
⇒

( )
'f x
cùng dấu với
x

( )
1;1x∀ ∈ −
.
Bảng biến thiên của
( )
f x
:

 
∈
 
). (3)
Xét hàm
( )
2
2
2
t t
g t
t
− + +
=
+
,
0; 2t
 
∈
 
. Ta có
( )
( )
2
2
4
0
2
t t
g t


⇔

2 1 1m− ≤ ≤
.
Ví dụ 10. [ĐHA07] Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
.
( )
1
Giải. Điều kiện:
1x
≥
. Chia hai vế cho
1 0x + >
ta được phương trình tương đương:
4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
+ =
+ +

( )
2
3 2f t t t= − +
(
0 1t≤ <
), ta có
( )
' 6 2f t t= − +
.
Bảng biến thiên của
( )
f t
là:
(1) có nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
[
)
0;1t ∈

⇔

1
1
3
m− < ≤
.
C. BÀI TẬP
Bài 1. Tìm
m

−
.
Bài 2. [ĐHA02] Tìm
k
để phương trình
3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − =
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 3. Chứng minh với mọi
[ ]
2;2m∈ −
, phương trình
3 2 2
3 0x x m− + =
luôn có ít nhất hai
nghiệm phân biệt.
Bài 4. Tìm
m
để phương trình
4 2
2 4 0x x m− + =
có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng
( )
2;2−
.
Bài 5. Tìm
m
để phương trình
( )
( )

.
Bài 8. Giải phương trình
2 3 3 2
x x
x+ = +
.
D. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1 1
2;2 2m
 
∈
 
; 2
1; 2m
 
∈ −
 
; 3
2m
≥
; 4
( )
12 5 4 ;12m
 
∈ −
 
; 5 HD đặt
6t x x= + −
. ĐS:
3 2 3 6m− + ≤ ≤

3x
±
=
; 2 HD đặt
2
3
log 1t x= +
. ĐS:
0 2m≤ ≤
. Bài 7.
27
2
k <
:
phương trình có
1
nghiệm;
27
2
k =
: phương trình có
2
nghiệm;
27
2
k >
: phương trình có
3

nghiệm. Bài 8.G


( )
'f x
đồng biến trên
¡
, lại có
( )
lim ' 3
x
f x
→−∞
= −
và
( )
lim '
x
f x
→+∞
= +∞

⇒
phương trình
( )
' 0f x =
có nghiệm duy nhất
(giả sử nghiệm đó là
α
). Vì
( )
'f x

+∞

⇒

( )
2
có tối đa hai
nghiệm, mặt khác ta thấy
0
và
1
là các nghiệm của
( )
2

⇒

{ }
0;1
là tập nghiệm của
( )
2
hay
{ }
0;1
là tập nghiệm của
( )
1
.