SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Mã số:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
hoctoancapba.com
Người thực hiện: Nguyễn Hồng Tâm
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN
- Lĩnh vực khác:
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2011 – 2012
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Tên đề tài
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Hồng Tâm
2. Ngày tháng năm sinh: 17/05/1985
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: B7/c, tổ 9, khu phố 4, phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0613 834289 / 0985 072 513
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
1. Cơ sở lý luận
- Các kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian được tổng hợp từ
hai bộ sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 (Ban cơ bản và Ban khoa học tự
nhiên) do Bộ giáo dục ban hành.
- Các kỹ năng giải toán Hình học tọa độ ở mức độ trung bình.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Giáo viên cần chuẩn bị tốt các yêu cầu sau:
- Nghiên cứu thật kỹ Chuẩn kiến thức và kỹ năng để xác định kiến thức
chuẩn cần phải dạy cho học sinh.
- Cần nghiên cứu thêm các đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây,
trong đó hình học tọa độ trong không gian chiếm 1/5 tổng số điểm (2 điểm). Câu
hỏi trong đề thi cho theo chuẩn kiến thức (kiến thức cơ bản).
3
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
- Nội dung của chuyên đề đảm bảo các kiến thức, kỹ năng trọng tâm của
chương Phương pháp tọa độ trong không gian, cụ thể gồm các nội dung sau:
1) Hệ trục toạ độ trong không gian
- Các phép toán về tọa độ vectơ và toạ độ điểm: tổng, hiệu của hai vectơ,
tích của một số với một vectơ, tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ.
- Khoảng cách giữa hai điểm, độ dài đoạn thẳng.
- Góc giữa hai vectơ.
2) Phương trình mặt phẳng
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng.
3) Phương trình đường thẳng
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của một đường
thẳng.
r r r r r
Với định nghĩa trên, ta có:
0 (0;0;0)=
r
( )
1;0;0i
=
r
( )
0;1;0j
=
r
( )
0;0;1k
=
r
2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;a x y z b x y z
= =
r r
và số thực k
a)
( )
1 2 1 2 1 2
; ;a b x x y y z z
± = ± ± ±
0b ≠
r r
)
1 2
1 2
1 2
: :
x tx
t a tb t y ty
z tz
=
⇔ ∃ ∈ = ⇔ ∃ ∈ =
=
r r
¡ ¡
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
⇔ = =
(với điều kiện:
2 2 2
0x y z ≠
)
1 2 1 2 1 2
0a b x x y y z z⊥ ⇔ + + =
r r
f) Tích có hướng của hai vectơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ
,a b
r r
là một vectơ có tọa độ xác
định như sau:
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
, ; ;
x x x x
x x
a b a b
y y y y
y y
= ∧ =
÷
r r r r
Tính chất:
,a b a
r r r
, ,a b c
r r r
đồng phẳng
, . 0a b c
⇔ =
r r r
Ứng dụng:
Diện tích tam giác:
1
,
2
ABC
S AB AC
∆
=
uuur uuur
Thể tích khối hộp:
. ' ' ' '
, . '
ABCD A B C D
V AB AD AA
=
uuur uuur uuur
( )
0;0;M Oz M z∈ ⇒
( ) ( )
0; ;M Oyz M y z∈ ⇒
3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
Cho
( ) ( )
( )
; ; , ; ; , ; ;
A A A B B B C C C
A x y z B x y z C x y z
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
r
thỏa
3 2v a b
− =
r r r
.
Giải:
a) Từ định nghĩa tọa độ của vectơ suy ra
( )
2; 3;0b
= −
r
.
b) Gọi
( )
; ;u x y z
=
r
4u a b= −
r r r
3.( 1) 4.2 11
3.2 4.( 3) 18
3.( 5) 4.0 15
x
y
z
= − − = −
( )
2;1; 1S − −
và tam giác ABC với
( ) ( ) ( )
1;1;1 , 2;3;4 , 6;5;2A B C
.
a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy sao cho A, B, E thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng SABC là một tứ diện.
d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S của tứ diện SABC.
Giải:
a) Gọi
( )
1 2 3
; ;D d d d
Vì các điểm A, B, C không thẳng hàng nên một điều kiện cần và đủ để ABCD là
hình bình hành là:
CD BA=
uuur uuur
1
2
3
6 1 2
5 1 3
2 1 4
d
d
d
− = −
1 2
; ;0E Oxy E e e∈ ⇒
( )
( )
1 2
1;2;3
1; 1; 1
AB
AE e e
=
= − − −
uuur
uuur
A, B, E thẳng
,AE AB
⇔
uuur uuur
cùng phương
1 2
1 1 1
1 2 3
e e− − −
⇔ = =
1
2
2
3
1
4;2;5SB
=
uur
( )
8;4;3SC
=
uuur
Ta có:
( )
, 4; 7;6SA SB
= − −
uur uur
⇒
, . 32 28 18 42 0SA SB SC
= − − + = − ≠
uur uur uuur
⇒
, ,SA SB SC
uur uur uuur
không đồng phẳng, suy ra điều phải chứng minh.
c) Gọi h là chiều cao của tứ diện S.ABC kẻ từ đỉnh S. Ta có:
.
3
83
h
=
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1; 2;4 , 3;2;0 , 3; 1;0A B C− − −
a) Tìm tọa độ các véc tơ:
; ; ; ; ;AB BA AC CA BC CB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
b) Tìm tọa độ
2.u AB
=
r uuur
;
2.v AB AC
= +
r uuur uuur
; điểm E thỏa
2. 3. 4.EA EC BE AB= − +
uuur uuur uuur uuur
c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi của tam
giác ABC.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB. Tính độ dài đường trung tuyến CI của
tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vuông tại C.
.Tìm toạ độ các đỉnh còn
lại của hình hộp.
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
- Vectơ
n
r
khác
0
r
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
nếu giá của
n
r
vuông góc với
( )
α
.
- Nếu hai vec tơ
,a b
r r
khác
0
r
, không cùng phương và có giá song song hoặc nằm
trên mặt phẳng
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và nhận
( )
; ;n A B C
=
r
làm vectơ pháp
tuyến có phương trình là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát:
Xét mặt phẳng
( )
α
có phương trình tổng quát:
0Ax By Cz D+ + + =
, với
2 2 2
0A B C+ + ≠
Các hệ số
Phương trình (α) Tính chất mặt phẳng (α)
D = 0
0Ax By Cz
+ + =
(α) đi qua gốc toạ độ O
( )
( )
0 0 0 0 0 0a; ; , ;b; ,C ; ;c
( 0)abc ≠
) là:
1+ + =
x y z
a b c
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
:
( )
α
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
( )
β
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
Hai mặt phẳng
( )
α
n
uur
không cùng phương
1 1 1 2 2 2
A B C A B C
⇔ ≠
: : : :
(nếu
2 2 2
0A B C ≠
)
•
( )
α
//
( )
β
⇔
1 2
1 2
n kn
( k )
D kD
=
∈
≠
β
⇔
1 2
1 2
n kn
( k )
D kD
=
∈
=
ur uur
¡
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
= = =
(nếu
2 2 2 2
0A B C D ≠
)
5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
( )
=
+ + + +
A A B B C C
A B C A B C
cos
.
hoctoancapba.com
6.Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
đến mặt phẳng
( )
α
:
0Ax By Cz D+ + + =
( )
0 0 0
0
2 2 2
α
+ + +
=
+ +
Ax By Cz D
d M
A B C
,( )
BÀI TẬP
Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng-
r r
r r
trong đó
hai vectơ
,a b
r r
khác
0
r
, không cùng phương với nhau thì ta có thể
chọn
,n a b
=
r r r
.
12
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
0Ax By Cz D+ + + =
, với
2 2 2
0A B C+ + ≠
Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số A, B, C, D thoả điều kiện.
Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
= − −
uuuur
có phương trình là:
2 9 0x y z− − + =
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; –1; 2) và song song với mặt
phẳng (Q):
2 3 4 0x y z− + + =
.
Giải
Cách 1:
Vì (P) song song (Q) nên (P) nhận VTPT của (Q) là
(2; 1;3)n
= −
r
làm VTPT
⇒ (P):
2 3 11 0x y z− + − =
Cách 2:
Vì (P) song song (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
2x – y + 3z + c = 0
( )
4c ≠
(P) qua M(2; –1; 2) ⇒ c = - 11 (thoả điều kiện)
Vậy (P):
2 3 11 0x y z− + − =
Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc
với
(Q):
2 7 0x y z− + − =
, (1;0; 2)
Q
n AB n
= = −
uuur
r r
⇒ (P):
2 1 0x z
− + =
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1)
a) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua A và vuông góc với BC
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC.
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
trong mỗi trường hợp sau:
a)
( )
α
đi qua điểm
( )
3;3;3M
và song song với mặt phẳng
( )
: 2 3 0x y z
β
+ + − =
. hoctoancapba.com
d)
( )
α
đi qua
( )
1; 1;1M −
và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 3 2 1 0x y z
β
− + − =
và
( )
: 2 3 1 0x y z
γ
+ − + =
.
e)
( )
α
chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
:3 2 3 0x y z
( )
α
đi qua điểm
( )
1;2;3M
và cắt các tia Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với
, ,OA a OB b OC c
= = =
sao cho:
a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
b) OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất.
14
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Dạng 2. –Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng-
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Xác định các giá trị của m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau:
(P):
2 3 5 0x my z+ + − =
và (Q):
8 6 2 0nx y z− − + =
Giải
(P)//(Q) ⇔
2 3 5
8 6 2
m
n
−
= = ≠
− −
b)
( )
α
:
1 0x y z+ + + =
và
( )
β
:
2 2 2 3 0x y z+ + + =
.
c)
( )
α
:
3 2 3 5 0x y z− − + =
và
( )
β
:
9 6 9 5 0x y z− + − =
.
d)
( )
α
:
2 4 0x y z− + − =
và
( )
β
song song
( )
β
.
c) Tìm m và n để
( )
α
trùng
( )
β
.
Bài 3: Tìm góc tạo bởi các cặp mặt phẳng sau:
a)
)(
α
: x + y – 5z + 1 = 0 và
( )
β
: 5x + y – 3z = 0
b)
)(
α
: 2x – 2y + z + 3 = 0 và
( )
β
: z + 2 = 0
c)
)(
α
: x – 2z + 1 = 0 và
Giải
Ta có:
( 2;4;0)= −
uuur
AB
( 2;0;6)= −
uuur
AC
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận
( )
, 24;12;8
= =
r uuur uuur
n AB AC
làm VTPT có phương trình:
6 3 2 12 0+ + − =x y z
Đường cao DH hạ từ đỉnh D của tứ diện chính là khoảng cách từ D đến (ABC)
( )
12 12 12 1
24
;( )
7
36 9 4
+ + −
= = =
+ +
DH d D ABC
( )
β
.
Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
( )
: 5 0x y z
α
+ − + =
và
( )
: 5 0x y z
β
+ − + =
.
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
( )
: 4 4 7 3 0x y z
α
− + − =
, biết rằng khoảng cách từ điểm
( )
4;1; 2M
−
đến
mặt phẳng
( )
α
bằng 4.
: 2 2 3 0x y z
β
− + − =
qua điểm
( )
2; 4;3M − −
.
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Vectơ
u
r
khác
0
r
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
∆
nếu giá của
u
r
song song với
∆
hoặc chứa trong
∆
.
- Nếu hai vec tơ
,a b
r r
2 2 2
0 2 1 2 3
0 3
( ), ( 0)
= +
= + ∈ + + ≠
= +
x x a t
y y a t t R a a a
z z a t
- Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của
một điểm M thuộc đường thẳng.
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của
đường thẳng ∆ là:
0 0 0
1 2 3
1 2 3
( . . 0)
− − −
= = ≠
x x y y z z
a a a
a a a
Chú ý: Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β):
(1) ( : : : : )
0
+ + + =
≠
+ + + =
A x B y C z D
A B C A B C
A x B y C z D
- Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên ∆.
17
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
- Khi đó ∆ có một vectơ chỉ phương là:
[ ]
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
, ; ;
= =
÷
B C C A A B
a n n
B C C A A B
r r r
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng: ∆
cắt nhau ⇔
, . 0
, 0
=
≠
uuur
r
r
r r
r
a b AB
a b
• ∆
1
và ∆
2
song song với nhau ⇔
, 0
, 0
≠
uuur
r
r
r r
r
a A B
a b
• ∆
1
và ∆
2
chéo nhau ⇔ [
r
a
,
r
b
].
uuur
AB
≠ 0
Nếu
1 1 1
1 1 2 1
1 3 1
:
∆
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2 2 2
1 3 1 2 3 2
+ = +
+ = +
+ = +
x a t x b t
y a t y b t
z a t z b t
• Hệ vô nghiệm ⇔ ∆
1
và ∆
2
song song với nhau hoặc chéo nhau.
• Hệ có một nghiệm ⇔ ∆
1
và ∆
2
cắt nhau
• Hệ có vô số nghiệm ⇔ ∆
1
và ∆
2
trùng nhau
18
= +
x x b t
y y b t
z z b t
có vectơ chỉ
phương lần lượt là :
1 2 3
( ; ; )=
r
a a a a
và
1 2 3
( ; ; )=
r
b b b b
( )
( )
1 1 2 2 3 3
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos ; cos ;
.
.
∆ ∆
+ +
= +
= +
= +
x x at
y y bt
z z ct
có vectơ chỉ phương
( ; ; )
=
r
u a b c
và mặt
phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vtpt
( ; ; )=
r
n A B C
.
Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) được tính bằng công thức:
( ) ( )
.
sin ;( ) cos ;
2 2 2 2 2 2
.
.
u n A a Bb Cc
u n
u n
a b c A B C
∆ α
+ +
và ∆
2
chéo nhau .
19
1
∆
A
B
r
a
r
b
2
∆
A
B
r
a
r
b
1
∆
2
∆
A
B
r
a
r
b
∆
1
đi qua M
1
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
a a a a
∆
2
đi qua M
2
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
b b b b
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆
1
và ∆
2
được tính bằng công
thức sau:
( )
1 2
1 2
, .
;
0 1
0 2
0 3
( )
x x at
y y a t t R
z z a t
= +
= + ∈
= +
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
có giao tuyến là đưởng thẳng cần
tìm, viết phương trình giao tuyến đó (xem lại mục 2b phần lý thuyết)
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(2;3;–1), B(1; 2; 4).
Giải
Đường thẳng AB đi qua A(2;3;–1) và nhận
( 1; 1;5)AB
= − −
uuur
⇒ PTTS của ∆:
2 2
4 3
3 6
x t
y t
z t
= − +
= −
= +
BÀI TẬP
Bài 1:Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua M(1 ; 2; 3) và có vectơ chỉ phương
r
a
= (1 ; – 4 ; – 5).
b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0).
c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – x + 5 = 0.
d)Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:
1 2
3 3
4
= +
A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường
thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α).
Bài 5:Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với
các mp (α): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d:
1 1 2
2 1 3
+ − −
= =
x y x
và mp
(P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua
điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d.
21
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Bài 7:Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–
1; 2; 0) và C(2; –3; 2).
Bài 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường
thẳng d:
3 2
1
1 4
= − +
= −
= − +
∆
− − −
= =
−
a) Chứng minh ∆
1
và ∆
2
chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa ∆
1
và ∆
2
.
Giải
a) Đường thẳng ∆
1
đi qua điểm
( )
1
7;3;9M
và có VTCP
( )
1
1;2; 1u
= −
ur
.
Đường thẳng ∆
2
Suy ra các vectơ
1 2 1 2
, ,u u M M
ur uur uuuuuur
không đồng phẳng. Do đó, ∆
1
và ∆
2
chéo nhau.
b)
( )
1 2
1 2
, .
168
, 2 21
4 21
,
a b M M
d
a b
∆ ∆
= = =
r r uuuuuur
r r
BÀI TẬP
z t
22
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
d:
1
2 2
3
= −
= +
=
x t
y t
z t
và d′:
x =1+ t'
y = 3-2t'
z =1
d:
3
m
là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α), (β) với:
(α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0
(β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0
Định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
Bài 3:Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình:
d
1
:
1 1 3
3 2 2
+ − −
= =
−
x y z
và d
2
:
1 3
1 1 2
− +
= =
x y z
a) Chứng minh d
z t
và d
2
:
3 2 '
3 '
1 '
= +
= − −
= −
x t
y t
z t
a) Chứng minh d
1
và d
2
song song với nhau.
b)Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d
1
và d
2
.
Bài 5:Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Bài 6:Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d
1
, d
2
:
d
1
:
3
1
1 2 3
−
+
= =
−
y
x z
và d
2
:
4 3
1 1 2
− −
= =
y
x z
a) Chứng minh d
1
1
= −
= − +
=
x
y t
z t
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
Dạng 3: Khoảng cách và góc
Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương
a
r
và đi qua điểm A.
Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta có thể sử dụng một
trong hai cách sau:
Cách 1:
Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng ∆.
d( M ; ) MH
∆ =
đi qua M
1
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
a a a a
∆
2
đi qua M
2
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )=
r
b b b b
24
Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆
1
và
∆
2
, ta có thể sử dụng
một trong các cách sau:
Cách 1:
- Lập phương trình mặt phẳng (
α
uuuuuur
r
r
r
r
a b M M
d
a b
BÀI TẬP
Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm
( )
1; 1;1M −
đến đường thẳng
2 1
:
1 2 1
x y z− −
∆ = =
b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng
∆
:
1
2 2
2
x t
y t
z t
= − +
z
= − +
= +
=
.
a) Chứng minh
1 2
,d d
chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1 2
,d d
.
25
Copyright: Tài liệu đại học ©