Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

MỘT SỐ QUAN ĐIỂM VẬN DỤNG TOÁN CAO CẤP
VÀO ĐỊNH HƯỚNG DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC
I. PHẦN MỞ ĐẦU:
1. Lý do chọn đề tài:
Ở Tiểu học, nội dung kiến thức môn Toán là những kiến thức mở đầu của
Toán học. Tuy sơ giản nhưng lại là các kiến thức cơ bản và nền tảng cho quá
trình học tập tiếp tục sau này đối với mỗi học sinh. Vì vậy, phải trình bày các
kiến thức Toán học như thế nào để vừa đảm bảo tính chính xác lại phù hợp
với đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học là vấn đề được nhiều nhà
nghiên cứu về Toán học và giáo dục bậc Tiểu học quan tâm. Một trong những
quan điểm cơ bản khi xây dựng chương trình và biên soạn SGK Toán tiểu học
là trình bày các kiến thức toán học dưới ánh sáng của tư tưởng toán học cao
cấp hiện đại. Những kiến thức cơ bản về tập hợp, quan hệ, ánh xạ, lý thuyết tổ
hợp, các quy tắc suy luận, khái niệm phép toán, tính chất và phần tử đặc biệt
của phép toán , một số CTĐS, cấu trúc thứ tự thường gặp là cơ sở toán học
cho các nội dung, các hoạt động dạy học Toán ở trường tiểu học.Vì vậy, nắm
vững các kiến thức toán học cao cấp để vận dụng các kiến thức đó vào quá
trình dạy học là một trong những yêu cầu nhằm nâng cao năng lực dạy học
Toán của người giáo viên tiểu học. Tuy nhiên hiện nay vẫn chưa có một giáo
trình chính thức nào dành cho sinh viên ngành GDTH nói rõ về vấn đề này.
Trong các chương trình bồi dưỡng giáo viên Tiểu học, người ta cũng ít đề cập
đến nội dung này. Sách giáo viên thì chưa trình bày một cách rõ ràng, tường
minh các ý tưởng đó. Trong khi đó trình độ của giáo viên về Toán học cao cấp
còn hạn chế, ít có giáo viên nắm được những tư tưởng của toán học cao cấp ẩn
tàng bên dưới cách trình bày, sắp xếp, minh họa các nội dung toán Tiểu học.
Phần lớn chỉ giảng dạy theo “kinh nghiệm”, hoặc theo sự “chỉ dẫn” chứ không
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
1
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

Nội dung Toán cao cấp ẩn tàng trong chương trình toán Tiểu học.
Đề tài tập trung tìm hiểu những quan điểm vận dụng toán cao cấp vào định
hướng dạy học Toán ở Tiểu học.
II. PHẦN NỘI DUNG:
1.Lịch sử nghiên cứu vấn đề:
Từ trước đến nay đã có nhiều nhà nghiên cứu tìm hiểu về toán học cao cấp.
Còn việc vận dụng Toán cao cấp vào định hướng dạy học Toán ở Tiểu học thì
vẫn còn ít nhà khoa học giáo dục quan tâm. Năm 2005, TS Nguyễn Thị Châu
Giang đã bảo vệ thành công luận án Tiến Sĩ với đề tài: “Tăng cường mối liên
hệ sư phạm giữa nội dung dạy học LTTH và LG, CTĐS với nội dung dạy học
SH trong môn Toán cao cấp TH cho SV khoa GDTH các trường đại học”.
Đề tài đã hướng tới việc trang bị cho sinh viên ĐHTH có những kiến thức, kĩ
năng cơ bản cần thiết để dạy tốt môn Toán ở Tiếu học trên tinh thần của
LTTH và LG, CTĐS. Tuy vậy đề tài vẫn chưa đi vào cụ thể các quan điểm
vận dụng Toán cao cấp vào định hướng dạy học Toán ở Tiểu học.
1.1.Nội dung dạy học Toán cao cấp:
- Lý thuyết tập hợp:
Những vấn đề cơ bản về: tập hợp ( khái niệm tập hợp, tập rỗng, tập đơn tử,
tập hợp con và quan hệ bao hàm, hai tập hợp bằng nhau, các phép toán trên
tập hợp), quan hệ (quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự),
ánh xạ ( định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, song ánh, toàn ánh, ), giải tích tổ hợp
(chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp không lặp, tổ hợp )
- Cấu trúc đại số:
Những vấn đề cơ bản về: phép toán hai ngôi, những tính chất thường gặp
của phép toán, những phần tử đặc biệt của phép toán,
- Hình học cao cấp:
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
3

1
; số 1 và số 0 trong phép nhân và phép
chia.
Tính giá trị của biểu thức số có đến hai dấu phép tính (cộng, trừ, nhân, chia).
- Đại lượng và đo đại lượng:
Sử dụng các đơn vị đo đã học và các đơn vị: dm, m, mm, lít, kg, tiền Việt
Nam trong tính toán và đo lường.
- Yếu tố hình học:
Giới thiệu một số hình đơn giản: đường thẳng, đường gấp khúc, hình chữ nhật,
hình tứ giác. Vẽ đoạn thẳng, tính chu vi của hình tam giác, hình tứ giác.
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
4
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

- Giải toán có lời văn:
Giải các bài toán có một phép tính cộng, trừ, nhân, chia.
• Lớp 3:
- Số học:
Đọc, viết, so sánh, thực hành tính cộng, trừ, nhân, chia các số trong phạm vi
100000. Giới thiệu về:
6
1
,
7
1
,
8
1
,
9

* Phân số, các phép tính về phân số
* Tỉ số
- Đại lượng và đo đại lượng:
+ Đơn vị đo khối lượng: tạ, tấn,dag, hg. Bảng đơn vị đo khối lượng.
+ Hệ thống hóa các đơn vị đo thời gian.
- Yếu tố hình học:
+ Góc nhọn, tù, bẹt. Giới thiệu 2 đường thẳng cắt nhau, 2 đường thẳng vuông
góc, song song, hình bình hành, hình thoi.
+ Tính diện tích hình bình hành, hình thoi.
+Thực hành vẽ hình bằng thước thẳng, e ke; cắt ghép, gấp hình.
- Giải toán có lời văn: Giải bài toán có đến 3 bước tính.
• Lớp 5:
- Số học:
+ Bổ sung về số thập phân, hỗn số. Một số dạng bài toán về “quan hệ tỉ lệ.”
+ Số thập phân, các phép tính về số thập phân.
+ Tỉ số phần trăm.
+ Một số yếu tố thống kê.
- Đại lượng và đo đại lượng:
+ Cộng trừ, nhân chia số đo thời gian.
+ Quan hệ giữa vận tốc, thời gian và quãng đường.
+ Đơn vị đo diện tích
+ Đơn vị đo thể tích
- Yếu tố hình học:
+ Giới thiệu HHCN, HLP, hình trụ, hình cầu.
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
6
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

+Tính diện tích hình tam giác và hình thang. Tính chu vi và diện tích hình
tròn.Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích HHCN, HLP.


Lớp thứ nhất gồm các tập hợp có số lượng nhau và đều bằng một. Viết số 1 để
chỉ số lượng của lớp thứ nhất. 1 là một số tự nhiên.
Lớp thứ hai gồm các tập hợp có số lượng nhau và đều bằng hai. Viết số 2 để chỉ
số lượng của lớp thứ hai. 2 là một số tự nhiên.

• Phép hợp:
SGK Toán 1 giới thiệu việc hình thành các số tự nhiên từ 6 đến 10 dựa
trên cơ sở phép hợp của một tập hợp với một tập đơn tử. Còn phép cộng
hai số tự nhiên được xem như là phép hợp của hai tập hợp không có phần
tử chung.
• Quan hệ tương đương:
SGK Toán 4 giới thiệu khái niệm phân số bằng nhau: có vô số phân số
cùng bằng một phân số cho trước. Như vậy là ngầm giới thiệu cho HS
quan hệ “bằng nhau” giữa các phân số là một quan hệ tương đương.
• Ánh xạ:
Phép đếm được dạy cho HS tiểu học là sự thiết lập tương ứng 1-1 mỗi
phần tử của tập hợp với các phần tử liên kết trong dãy số (bắt đầu từ 1).
• Suy luận diễn dịch: Là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát,
xác định rằng nếu các tiền đề là đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.
GV Tiểu học thường ngầm sử dụng phép suy diễn để hướng dẫn HS vận
dụng các quy tắc đã biết vào việc giải bài tập. Chẳng hạn: Chứng tỏ số
2465 chia hết cho 5, ta có thể suy luận như sau:
- Đã biết quy tắc: “Số có chữ số tận cùng bằng 0 hoặ 5 thì chia hết cho
5”
- Số 2465 có chữ số tận cùng bằng 5.
- Vậy số 2465 chia hết cho 5.
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
8
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

• Khái niệm nửa nhóm, vị nhóm, nhóm:
SGK Toán 4 đã trình bày các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng
(nhân) các số tự nhiên. SGK Toán 2 ngầm giới thiệu 0 là phần tử đơn vị
của phép cộng và 1 là phần tử đơn vị của phép nhân. Như vậy, SGK đã
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
9
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

ngầm giới thiệu tập số tự nhiên cùng với phép cộng ( nhân) lập thành cấu
trúc vị nhóm giao hoán.
SGK Toán 5 đã trình bày các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng
các số thập phân, 0 là phần tử đơn vị của phép cộng.Như vậy, SGK đã
ngầm giới thiệu tập số thập phân cùng với phép cộng lập thành cấu trúc vị
nhóm giao hoán.
SGK Toán 5 đã trình bày các tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân
các số thập phân, 1 là phần tử đơn vị của phép nhân. Như vậy, SGK đã
ngầm giới thiệu tập số thập phân cùng với phép nhân lập thành cấu trúc vị
nhóm giao hoán.
2. Một số quan điểm vận dụng Toán cao cấp vào định hướng dạy
học Toán ở Tiểu học:
2.1.Dạy học môn Toán ở nhà trường Tiểu học phải dựa trên quan điểm của
lý thuyết tập hợp và cấu trúc sắp thứ tự:
Chúng ta không dạy toán học cao cấp cho trẻ em, nội dung môn Toán chỉ
bao gồm các kiến thức toán học truyền thống mà thôi. Những tư tưởng Toán
học hiện đại thường chỉ ẩn tàng bên dưới cách trình bày, cách sắp xếp, cách
minh họa, chứ không xuất đầu lộ diện một cách tường minh. Là một giáo
viên tiểu học, chúng ta phải thấy được những ý tưởng đó của toán học cao cấp
để lựa chọn phương pháp dạy học, khai thác được hết các ý tưởng của SGK,
làm cho các tiết dạy đạt mục tiêu tối ưu nhất. Quan điểm này thể hiện ở một số
nội dung sau:

A là b+a, nên ta có đẳng thức trên các số tự nhiên: a + b = b + a
c. Tính chất kết hợp của phép cộng:
Tính chất kết hợp của phép cộng ở Tiểu học cũng dựa trên phép hợp của các tập
hợp:
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
11
2
3 5
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

Giả sử ba tập hợp A, B, C không có phần tử chung. Bản số của ba tập hợp A,B,C
lần lượt là a,b,c. Ta có: (A
∪
B)
∪
C = A
∪
(B
∪
C). Do bản số của (A
∪
B)
∪

C = (a+b) + c và bản số của A
∪
(B
∪
C) = a + ( b + c) nên ta có đẳng thức trên
các số tự nhiên:(a+b) + c = a + ( b + c) .

B = A.
C được gọi là phần bù của B trong A. Gọi c là bản số của C thì a sẽ là tổng bản số
của b và c.
Vấn đề quan trọng trong việc hình thành khái niệm phép trừ cho HS là làm rõ ý
nghĩa của cách viết a – b, tức là làm rõ ý nghĩa của hiệu coi như bản số của phần
bù, từ đó giúp HS hiểu phép trừ là phép toán ngược của phép cộng.
Như vậy phép trừ hai số tự nhiên được hiểu thông qua thao tác “tách” một bộ
phận từ tập hợp đã cho.
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
12
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

Trên cơ sở đó, ở Tiểu học dạy hình thành khái niệm phép trừ như sau:HS thực hiện thao tác “tách”một nhóm đồ vật đã cho, rồi đếm số đồ vật còn
lại. chẳng hạn: Trên cành cây có 4 quả cam, mọt quả cam rơi xuống đất, trên
cành còn lại 3 quả cam. Ghi lại hoạt động này bằng phép trừ: 4 – 1= 3
2.2.Quan điểm vận dụng kiến thức LTTH và CTĐS để tìm ra cách giải các
bài toán Tiểu học :
Sử dụng “chìa khóa” của Toán cao cấp làm công cụ hữu hiệu để phát hiện
cách giải quyết vấn đề, định hướng lời giải cho các bài toán Tiểu học là một
trong những yêu cầu cần thiết đối với người giáo viên tiểu học trong dạy học
Toán. Người giáo viên phải biết nhìn nhận bài toán trên một mô hình chung
thông qua việc thực hiện các thao tác tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa. Sự
cấu kết nhiều hiện tượng với nhau trong môn Toán Tiểu học trên tư tưởng
chung của Toán cao cấp là một biểu hiện của các mối liên hệ. Việc làm này có
thể được tiến hành theo 4 bước sau:
- Bước 1: Xem xét tư tưởng toán cao cấp trong bài toán.
- Bước 2: Tìm cách giải bài toán bằng kiến thức toán cao cấp.

Vì tập A(tập nguồn) có 4 phần tử; tập B(tập đích) có 3 phần tử nên phải có ít
nhất 2 phần tử của tập A có chung một ảnh trong tập B, nghĩa là có ít nhất 2 số
có cùng số dư khi chia cho 3. Nên hiệu của 2 số đó chia hết cho 3.
- Bước 3: Trình bày cách giải bài toán bằng kiến thức toán Tiểu học.
Khi chia một số tự nhiên cho 3 sẽ chỉ có 3 số dư khác nhau là: 0;1;2.
Khi chia 4 số tự nhiên bất kì cho 3 thì có ít nhất có hai số khi chia cho 3 có
cùng số dư.
Hiệu của 2 số tự nhiên đó sẽ chia hết cho 3.
- Bước 4: Khái quát hóa mối liên hệ giữa kiến thức toán học cao cấp với lời
giải bài toán ở Tiểu học.
Tư tưởng ánh xạ trên đây chính là mô hình toán cao cấp cho lớp các bài toán
ở Tiểu học thực chất được giải bằng phương pháp ứng dụng nguyên lý Đi- ric-
lê.
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
14
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

• Những dạng toán ở Tiểu học có thể áp dụng kiến thức ánh xạ:
+ Toán chuyển động đều: có thể thiết lập ánh xạ f từ t(thời gian) vào
s(quãng đường).
+ Dạng toán vận dụng nguyên lý Đi-ric-lê: thiết lập ánh xạ f: A
→
B;
∃
y
∈
B sao cho có ít nhất hai tạo ảnh trong A.
+ Toán về quan hệ tỉ lệ: tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.

• Những dạng toán ở Tiểu học có thể áp dụng kiến thức chỉnh hợp (chỉnh

8 x 7 x 6 = 336 (số)
Đáp số: 336 số
2.3.Sử dụng phương pháp lập bảng và phương pháp mô tả trong dạy học các
nội dung có liên quan đến phép toán:
Ở Tiểu học, học sinh được làm quen với các tập hợp số sau: tập hợp số tự
nhiên, tập các phân số không âm, tập các số thập phân không âm. Trên mỗi
tạp đó, HS lần lượt được học 4 phép tính cơ bản là: cộng, trừ , nhân, chia.
Trong 4 phép tính đó có những phép tính là phép toán 2 ngôi, có phép tính là
phép toán một ngôi.
Để xác định phép toán hai ngôi ta cần hai yếu tố: tập xác định và quy tắc
cho tương ứng (hai phần tử cho trước với phần tử thứ ba là kết quả của phép
tính thực hiện trên hai phần tử đó).
Ở Tiểu học, khi xác định quy tắc cho tương ứng của một phép toán (chẳng
hạn phép cộng) thường sử dụng hai phương pháp: phương pháp lập bảng và
phương pháp mô tả. Có thể phối hợp cả hai phương pháp này để xác định quy
tắc cho tương ứng của một phép toán.
- Phương pháp lập bảng thường được sử dụng với các tập hữu hạn mà số phần
tử của nó không lớn. Trong trường hợp tập có vô số hoặc quá nhiều phần tử
thì phương pháp lập bảng không thích hợp. Chẳng hạn: ở lớp 1 có các bảng
cộng, bảng trừ trong phạm vi 10; ở lớp 2, lớp 3 có bảng nhân, bảng chia.
- Phương pháp mô tả là nêu quy tắc có tính chất thuật toán để xác định phần tử
tương ứng đối với mọi cặp phần tử đã cho. Đối với học sinh ở những lớp đầu
cấp thì phương pháp này không phù hợp vì nó trừu tượng. Chẳng hạn ở lớp 5
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
16
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

không có bảng cộng, bảng trừ, bảng nhân, bảng chia với các số thập phân, mà
có quy tắc cộng, quy tắc trừ, quy tắc nhân, quy tắc chia để học sinh vận dụng
tìm ra kết quả cảu các phép tính đó.

vậy vận dụng toán cao cấp vào dạy học Toán ở Tiểu học là một yêu cầu
cần thiết đối với người giáo viên tiểu học. Tuy nhiên khi vận dụng phải thật
sự khéo léo, chú ý tính vừa sức với học sinh tiểu học. Chúng ta không dạy
toán cao cấp cho học sinh tiểu học nhưng không vì thế mà quên đi ý tưởng
của toán cao cấp ẩn tàng trong từng bài tập, bài học toán. Vận dụng hợp lí,
linh hoạt các ý tưởng của toán học cao cấp vào dạy học Toán ở Tiểu học
tức là đã trang bị được một nền tảng toán học vững chắc cho học sinh tiểu
học có thể học tiếp môn Toán ở các lớp trên một cách sâu sắc hơn, hiệu
quả hơn.
Trên đây là một số quan điểm có tác dụng định hướng cho giáo viên tiểu
học trong việc vận dụng toán cao cấp vào dạy học Toán Tiểu học nhằm
nâng cao chất lượng dạy học môn Toán. Tùy nội dung, mục tiêu từng bài
học mà vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhằm đạt hiệu quả cao nhất.
Đây là một vấn đề tương đối khó nên không khỏi tránh những sai sót nhất
định. Kính mong thầy cô giáo góp ý để cho bài viết được hoàn hảo hơn, có
ý nghĩa thực tiễn hơn. Em xin chân thành cảm ơn.
Vinh, ngày 13 tháng 5 năm 2010
Học viên: Hồ Thị Thông
Hồ Thị Thông - Lớp Cao học 17 – Chuyên ngành Giáo dục Tiểu học.
18
Tiểu luận chuyên đề: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
 PGS.TS Trần Diên Hiển & PGS.TS Nguyễn Văn Ngọc, Giáo trình
Toán cao cấp 1 (Giáo trình dùng cho hệ đại học chuyên ngành Giáo
dục học bậc Tiểu học).
 GS.TS Đào Tam, Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu
học, chuyên đề dùng cho học viên cao học chuyên ngành Giáo dục học
bậc Tiểu học).
 Nhà giáo ưu tú Phạm Đình thực, 100 câu hỏi và đáp về dạy học Toán ở