Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Chương 7
PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ
Ở chương 3, ta đã phân tích mạch ở trạng thái xác lập một chiều hoặc điều
hòa, khi đó đáp ứng trên mạch cũng là một chiều hoặc điều hòa cùng tần số. Trong
thực tế, nguồn tác động (nguồn tín hiệu) không phải đều là điều hòa, mà nó có thể
có hình dạng bất kỳ, bao gồm nhiều thành phần tần số. Việc phân tích mạch với
nguồn tác động bất kỳ được gọi là phân tích mạch trong miền tần số.
Để phân tích phổ (tần số) của một tín hiệu tuần hoàn, người ta dùng phương
pháp chuỗi Fourier như sau.
7.1 Biểu diễn các quá trình tuần hoàn
Một tín hiệu được gọi là tuần khi: x(t) = X(t + nT)
Trong đó: n là số nguyên ; T là chu kỳ lặp lại giá trò của tín hiệu
Tần số tương ứng với chu kỳ T được gọi là tần số cơ bản của tín hiệu tuần
hoàn và được xác đònh theo biểu thức: ω
o
= 2π/T (rad/s)
7.1.1 Chuỗi Fourier lượng giác
Chuỗi Fourier lượng giác biểu diễn tín hiệu tuần hoàn x(t) có dạng:
X(t) = a
o
+
∑
∞
=
ω+ω
1n
onon
)tnsinbtncosa(

Các hệ số a

t
on
Tt
t
o
o
o
o
o
o
o
tdtnsin)t(x
T
2
b
tdtncos)t(x
T
2
a
dt)t(x
T
1
a
(1*)
Trong đó: n là số nguyên ; t
o
là một điểm bất kỳ trên thang thời gian ; T và ω
o
là các đại lượng đã nói ở trên.
Từ (1*) ta nhận thấy rằng: a

cos(nω
o
t + ψ
n
)
1
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Trong đó:









=ψ
−=ϕ
+=
n
n
n
n
n
n
2
n
2
nn

o
là thành phần một
chiều của tín hiệu x(t) ; x
n
(t) là các thành phần hài của tín hiệu x(t) = C
n
cos(nω
o
t +
ψ
n
) = C
n
sin(nω
o
t + ϕ
n
)
Các thành phần hài là các dao động điều hòa có biên độ C
n
, tần số nω
o
và góc
pha đầu ϕ
n
hay ψ
n
. Khi n = 1:
x
1


với n = 0, ±1, ±2,… (5*)
Trong đó:
n
X

là hệ số khai triển chuỗi được xác đònh theo công thức:
∫
+
ω−
=
Tt
t
tjn
n
o
o
o
dte)t(x
T
1
X

(6*)
Nếu tín hiệu x(t) là hàm thực thì:
nn
XX
−
=


X

=
2
jba
nn
−
; Arg
n
X

= ψ
n
= ϕ
n
+ 90
o
Từ (5*) ta nhận thấy rằng: chuỗi phức Fourier bao gồm thành phần một chiều
ứng với n = 0 và 2 chuỗi vô hạn các hàm đều hòa liên hợp phức ứng với các cặp ±n.
Các cặp hàm điều hòa phức có biên độ bằng nhau còn argument thì trái dấu nhau.
Việc biểu điễn biên độ và argument của các hàm điều hòa phức trên thanh tần số`
sẽ cho ta phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn. Và bởi vì n là các số
nguyên nên phổ biên độ và phổ pha của tin hiệu tuần hoàn là phổ vạch (rời rạc).
2
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Ví dụ 1. Cho tín hiệu tuần hoàn là dãy xung vuông trên hình 1. Hãy xác đònh
chuỗi lượng giác và chuỗi phức Fourier.
Giải: Tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu thức giải tích trong 1 chu kỳ:



Còn hệ số b
n
được xác đònh như sau:
∫ ∫ ∫
π−
π
=ω=ω+ω−=
−
0
2/T
2/T
0
2/T
0
ooon
)ncos1(
n
2
tdtnsin
T
4
tdtnsin
T
2
tdtnsin)1(
T
2
b



t3sin
t(sin
4
)t(xhay
oo
o
+
ω
+
ω
+ω
π
=
Nhận xét:
- Tín hiệu trên hình 1 là hàm lẻ nên trong chuỗi Fourier của nó cũng chỉ chứa
các hài lẻ.
3
x(t)
t
-1
1
-T -T/2 T/2
T
0
Hình 1
y(t)
t
-1
1
0

=
trong đó: α = ω
o
t
o
là độ dòch pha của tín hiệu.
Ta thấy rằng khi tín hiệu dòch chuyển trên thang thời gian thì các hệ số khai
triển Fourier của nó không thay đổi, mà chỉ thay đổi pha một lượng α = ω
o
t
o
.
Chẳng hạn cho t
o
= - π/4 thì α =
2
)
4
T
(
T
2 π
−=−
π
Chuỗi Fourier của tín hiệu y(t) trên hình 2 được suy ra dễ dàng từ chuỗi
Fourier của tín hiệu x(t) trên hình 1:
∑ ∑
α
=
α

ω
+
ω
+ω
π
=
Rõ ràng rằng tín hiệu y(t) chỉ gồm các thành phần chẵn vì nó là hàm chẵn theo thời
gian.
Để tìm chuổi Fourier phức, ta tính hệ số khai triển
n
X

theo (6*):
)ncos1(
jn
1
]dtedte)1([
T
1
X
0
2/T
2/T
0
tjntjn
n
oo
π−
π
=+−=

o
=+=
π
−=
∑
∞
−∞=
ω
với
Chuỗi phức Fourier của tín hiệu x(t) hình 1 chỉ chứa các hàm lẻ, trong đó các
cặp hàm điều hòa phức có biên độ bằng nhau:
π
=
n
2
X
n

và có argumen trái dấu nhau: ψ
n
= Arg
n
X

= - π/2
Vậy, phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu x(t) được vẽ như sau:

4
0 1
2

m
tjn
n
oo
eY)t(y;eX)t(x


Trò trung bình tích của 2 tín hiệu được xác đònh như sau:
∑ ∑
∫
=
∑
∫ ∫
∑
=
∞
−∞=
∞
−∞=
ω+
∞
−∞=
∞
−∞=
ω
n m
T
0
)mn(j
mn

o
mnhay,0mnkhiT
0mnkhi0
t)mn(j(e

Do đó:
∫
∑
=
∞
−∞=
−
T
0
n
nn
YX)t(y)t(x
T
1

Biết:
*
nn
YY

=
−
→
∫
∑

n
2
X(t)dtx
T
1
∫
∑
=
∞
−∞=

(8*)
Biểu thức (8*) là đẳng thức Parseval, được ứng dụng để xác đònh trò hiệu dụng
và công suất của tín hiệu tuần hoàn trong miền tần số, thông qua các hệ số khai
triễn Fourier.
Bây giờ ta áp dụng đẳng thức Parseval để tính trò hiệu dụng của tín hiệu
tuần hoàn trong miền tần số.
Theo đònh nghóa, trò hiệu dụng của tín hiệu tuần hoàn là căn bậc 2 của trò
trung bình bình phương:
5
0
1
2
3 4
5
-1
-2
-3-4
-5
ω/ω

2
n
2
o
n
2
nhd
XXXXX


∑








+=
∑
+=
∞
=
∞
=
1n
2
n
2

2
C
XX
, lại biết:
hdn
n
X
2
C
=
, là trò
hiệu dụng của thành phần hài thứ n, do đó :
∑
+=
∞
=1n
2
hdn
2
ohd
XXX
Tóm lại, trò hiệu dụng của một tín hiệu tuần hoàn bằng căn bậc 2 của tổng
bình phương thành phần một chiều và bình phương các trò hiệu dụng của hài thành
phần.
7.2 Phân tích mạch xác lập với nguồn tác động tuần hoàn không sin
Để tìm đáp ứng của mạch (dòng, áp), ta áp dụng phương pháp chuỗi Fourier,
biểu diễn quá trình tuần hoàn bằng chuỗi lượng giác có dạng (3*) hoặc (4*), và sau
đó, áp dụng các phương pháp phân tích mạch đã nêu trong chương 3.
7.2.1 Biểu diễn quá trình tuần hoàn bằng biên độ phức
Nguồn tác động có thể là nguồn áp hoặc nguồn dòng, là các quá trình

eEE
ψ
=

7.2.2 Áp dụng nguyên lý xếp chồng để tính đáp ứng của mạch với
thành phần một chiều và các thành phần điều hòa
Vì các thành phần điều hòa có tần số bằng bội n của tần số cơ bản (ω
n
= nω
o
)
nên trở kháng của các phần tử trong mạch sẽ phụ thuộc vào các tần số đó, và vì
vậy, chúng được phức hóa như sau: Z
nL
= jnω
o
L ; Z
nC
= - j
Cn
1
o
ω
Sau đây ta xét một vài ví dụ:
- Mạch R, L nối tiếp, trở kháng phức của mạch (ứng với hài thứ n):
6
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Z
n
= R + Z


Trong đó: ψ
n
= Arg
n
E

; ϕ
n
= ArgZ
n
Thành phần một chiều: I
o
=
R
E
o
Dòng tức thời trong mạch: i(t) = I
o
+
∑
ψ+ω
∞
=1n
inom
)tncos(I
Trong đó: I
m
=
2

Dòng điện trong mạch ứng với hài thứ n:
n
I

=
nn
2
o
2
n
n
n
)Cn(
1
R
E
Z
E
ϕ−ψ∠
ω
+
=


Thành phần một chiều: I
o
= 0
Dòng tức thời trong mạch: i(t) =
∑
ψ+ω

L -
Cn
1
o
ω
) =
n
j
n
eZ
ϕ
Trong đó:
2
o
o
2
n
)
Cn
1
Ln(RZ
ω
−ω+=
;
R
Cn
1
Ln
ArctgArgZ
o


7
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
Thành phần một chiều: I
o
= 0
Dòng tức thời trong mạch: i(t) =
∑
ψ+ω
∞
=1n
inom
)tncos(I
Trong đó: I
m
=
nnin
2
o
o
2
n
;
)
Cn
1
Ln(R
E
ϕ−ψ=ψ
ω

)V(25)
8
T
(
T
200
dt.100
T
2
8/T
0
=
∫
=
E
n
= C
n
= a
n
=
)V(
4
n
sin
n
200
)
8
T

π
π
+=
∞
=
Vì sin(
4
nπ
) = 0 khi n là bội của 4, do đó các hài thứ n là bội của 4 đều bằng 0.
Sau đây, ta áp dụng nguyên lý xếp chồng để tính các thành phần dòng điện
trong mạch.
Đối với thành phần một chiều của nguồn (n = 0), Z
o
=
∞
, do tụ điện hở mạch,
dòng một chiều I
o
= 0
8
R
L
C
e(t)
i(t)
Hình 3
T/8
T=0,628ms
100
e(t)(V)

n
4
n
sin200
E
o
on
1n
n
ω
−ω+=
∑
π
π
=
∞
=

R
Cn
1
Ln
Arctg;)
Cn
1
Ln(RZ
o
o
n
2

Arctg
2
94
24
n
−
=
−
=ϕ
−
−
Quá trình thời gian của dòng điện i(t):
∑
ϕ−ω
−+
π
π
=ϕ−ω
−+
∑
π
π
=
∞
=
∞
=
1n
no
222

1011
n
E

ω
0 1 2
3
4 5 6
7 8
910
11
n
I

ω
Phổ biên độ của nguồn e(t)
Phổ biên độ của dòng i(t)
Mạch điện Ngơ Ngọc Thọ
∑
=
∑
=
∞
−∞=
ω
ψ
∞
−∞=
ω
n

tjn
n
o
nn
o
ee
2
I
eI)t(i

Trong đó:
nn
I,U

là hệ số khai triển chuỗi Fourier phức của u(t), i(t) ; U
nm
, I
nm
là biên độ của các hài điện áp và hài dòng điện (tương ứng với các hệ số C
n
trong
chuỗi Fourier lượng giác) ; ψ
n
và (ψ
n
- ϕ
n
) là các góc pha đầu tương ứng của điện áp
và dòng điện.
Theo đẳng thức Parseval (7*), công suất tác dụng được đònh nghóa bằng trò

Nếu tách riêng thành phần một chiều tương ứng với n = 0 và tách chuỗi cac
thành phần hài thành 2 chuỗi tương ứng với n < 0 và n >0, ta được:
∑ ∑
++=
−
−∞=
∞
=
ϕϕ
1
n 1n
j
nmnm
j
nmnm
oo
nn
e
4
IU
e
4
IU
IUP
∑ ∑
+=
+
+=
∞
=

biểu kiến. Cơng suất tác dụng được xác định theo (8*) và là cơng suất tác dụng của 2
cực có chứa điện trở. Với 2 cực có chứa điện trở thì P > 0, còn với 2 cực thuần
điện kháng thì P = 0.
Cơng suất phản kháng của mạch có tác động tuần hồn được xác định bằng tổng
cơng suất phản kháng thành phần và được ký hiệu Q:
∑
ϕ=
∞
=1n
nnmnm
)VAR(sinIU
2
1
Q
Cơng suất biểu kiến cũng được xác định như đối với các q trình điều hòa và
được ký hiệu
S
:
S
= U
hd
I
hd
(VA)
Với một q trình điều hòa, P, Q và
S
làm nên một tam giác cơng suất:
P
2
+ Q

t (V)
Dòng trong mạch:
i(t) = 0,142cos(ω
o
t + 71
o
34
’
) + 0,318cos2ω
o
t + 0,077cos(3ω
o
t – 59
o
02’)
– 0,021cos(5ω
o
t – 76
o
36’)
Do thành phần một chiều I
o
= 0 nên P
o
= 0. Công suất tác dụng được xác định
theo công thức:
oo
5
1n
nnmnm

Trị hiệu dụng của nguồn áp và của dòng điện tuần hoàn:
)V(98,479153245(
2
1
25E
22222
hd
=++++=
)A(253,0)021,0077,0318,0142,0(
2
1
I
2222
hd
=+++=
Công suất biểu kiến:
S
= E
hd
I
hd
= 47,98(0,253) = 12,14 (VA)
Hệ số công suất: cosϕ =
53,0
14,12
42,6
S
P
==
Công suất méo dạng:

1
11
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Bài 7.3: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn
f(t) có dạng như hình 3.
ĐS: f(t) =
∑
π
π
−
∑
−
π−
π
−
∞
=
∞
= 1n1n
2
n
tnsin3
)1n2(
t)1n2cos(6
4
9
Bài 7.4: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn
f(t) có dạng như hình 4.
ĐS: f(t) =
]t)1n2sin(

(t) = 120 + 218sin(ωt – 4,5
o
) –
283sin(3ωt – 90
o
) (V) ; I
hd
= 4,38 (A) ; U
Chd
= 279,6 (V)
12
f(t)
-π
π
π
2π
-π
Hình 4
2π
f(t)
t(s)
0
2π
4π
6π
-2π
-4π-6π
Hình 1
f(t)
Hình 2

i
L
(t)
i
C
(t)
R
L
R
C
L
C
Hình 7
C
L
R
i
R
(t)i(t)
e(t)
Hình 8
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Bài 7.7: Xem mạch điện hình 6. Hãy xác định số chỉ của vôn kế đo trị hiệu
dụng và vôn kế đo trị trung bình điện áp u(t) trên điện trở R
1
. Cho biết: R
1
= 1 (KΩ) ; R
2
= 4 (KΩ) ; L = 8 (mH) ; E

o
C = 500 (Ω)
ĐS: i
L
(t) = 4 + 200cos(ω
o
t – 90
o
) + 0,133cos(2ω
o
t – 180
o
) (mA) ;
i
C
(t) = 200cos(ω
o
t + 90
o
) + 0,53cos2ω
o
t (mA) ; P
L
= 0,8 (W) ; Q
L
= 10 (VAr) ;
P
C
= 0,02 W ; Q
C

T = 8,44 (VA)
Bài 7.10: Xem mạch điện hình 8. Hãy xác định dòng điện i(t), công suất tác dụng
trên điện trở và trị hiệu dụng của dòng điện i
R
(t). Cho biết: R = 100 (Ω) ; L = 0,1 (H) ;
C = 5 (µF)
ĐS: i(t) = 12,65cos(10
3
t + 101,57
o
) + 10cos(2.10
3
t + 96,87
o
) (mA) ;
P
R
= 7,9 (mW) ; I
Rhd
= 8,9 (mA)
Bài 7.11: Xem mạch điện hình 9. Nguồn e(t) tác động lên mạch có dạng như
hình 10. Biết: R = 10 (Ω) ; L = 31,8 (mH) ; C = 318 (µF). Hãy xác định biểu thức của
tín hiệu u(t) và trị hiệu dụng của nó nếu ta chỉ xét đế hài bậc 7 của tín hiệu ngõ ra u(t).
ĐS: u(t) = 50 + 63,6sin(100πt – 90
o
) + 2,48sin(300πt – 159,4
o
) + 0,519sin(500πt
– 168,2
o

Và: b
n
= 2(
)tdtnsin)t(g
T
2
2/T
0
o
∫
ω
, với: T = 2π ; ω
o
= 1 ;
g(t) = t - π (trong ½ chu kỳ)
Vậy: b
n
=
tdtnsin)t(
2
4
0
o
∫
ωπ−
π
π
=
∫
ω

∑
−
∞
=
→ f(t) = π -
∑
∞
=1n
ntsin
n
2
Bài 7.2: Với tín hiệu g(t) như hình 12, f(t) =
2
1
+ g(t)
g(t) là hàm đối xứng lẻ → các hệ số a
o
= 0 ; a
n
= 0
Ta có: g(t) =





<<
<<−−
2t0
2

0
∫
π

=
∫
π
2
0
tdt
2
nsin
2
1
= -
2
0
]
2
n
t
2
ncos
[
2
1
π
π
=
π− )1n2(

14
π
f(t)
t(s)
0
2π
4π 6π
-2π
-4π
Hình 11
-π
f(t)
Hình 12
0
2
4
-2
1/2
t(s)
-1/2
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
Bài 7.3: Ta có:
f(t) =



<<
<<
2t13
1t0t3

+
2
1
]t[3.
2
1
=
2
3
4
3
+
=
4
9
a
n
=
tdtncost3
T
2
1
0
o
∫
ω
+
∫
ω
2

tnsin
[3.
2
2
π
π
=
1
0
2
]
)n(
tncos
[3
π
π
=
)1n(cos
)n(
3
2
−π
π
= -
22
)1n2(
6
π−
b
n

∫
π
π−
1
0
dt)
n
tncos
(
}+
2
1
]
n
tncos
[3.
2
2
π
π−
=
)ncos{(
n
3
π−
π
+[-
}]
)n(
tnsin

−
∑
−
π−
π
∞
=
∞
= 1n1n
22
n
tnsin3
)1n2(
t)1n2cos(6
Bài 7.4: Ta có:
f(t) =
{
π<<ππ+−
π<<
2tt
t0t
; T = 2π ; ω
o
= 1
Các hệ số: a
o
=
∫
π
0

]t
2
t
[
2
1
= 0
a
n
=
tdtncost
T
2
0
o
∫
ω
π
+
∫
ωπ+−
π
π
2
o
tdtncos)t(
T
2
=
π

ntsin
2
∫
−
π
π
15
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
=
π
π
0
2
]
n
ntcos
[
1
-
π
π
π
2
2
]
n
ntcos
[
1
=

0
o
tdtnsint
T
2
+
∫
ωπ+−
π
π
2
o
tdtnsin)t(
T
2
=
π
−
π
0
)]
n
ntcos
(t{[
2
2
-
∫
−
π

=
)
n
ncos
{(
1 ππ−
π
+
π
0
2
]
n
ntsin
[
} +
n
{
1 π
π
- [
}]
n
ntsin
2
2
π
π
=
1n2

L = jn(500)(0,02) = j10n
Ta có: i(t) = i
o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(i
hay ở dạng phức:
I

= I
o
+
∑
∞
=1n
n
I

, với I
o
là thành phần D.C.;
n
I

là các thành phần hài bậc n, ở đây, theo biểu thức e(t) đã cho, ta chỉ xét 2 bậc n = 1 và n
=3. Do đó : i(t) = I
o

1
I

=
10jR
E
1
+

=
10j5
50
+
= 4,47∠- 63,43
o
(A) hay i
1
(t) = 4,47sin(500t – 63,43
o
) (A)
→
3
I

=
3.10jR
E
3
+



16
j10n
5Ω
n
I

n
E

Hình 13
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
= 100(20) +
)cos(IE
2
1
)cos(IE
2
1
3i3em3m31i1em1m1
ψ−ψ+ψ−ψ
= 2000 +
2
1
{50.4,47cos[0
o
- (- 63,43
o
)] + 25.0,822cos[0
o

22
+
= 410,33 → P = 5(410,33) = 2052 (W)
Bài 7.6: ω = 2πf = 2π(50) = 100π (rad/s)
i
C
(t) = i(t) = i
o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(i
hay
∑
+=
∞
=1n
no
III

Ta có: I
o
= 0 vì với thành phần D.C. (n=0), Z
C
= ∞ (tụ điện hở mạch)

n
n

o
(Ω)
→
1
I

=
1
1
Z
U

=
o
45,8516,126
195
−∠
= 1,54∠85,5
o
hay i
1
(t) = 1,54sin(ωt + 84,5
o
) (A)
→ Z
3
= 10 + j[3.100π(0,05) -
)5,22(100.3
10
6

C
(t) = u
Co
(t) +
∑
∞
=1n
Cn
)t(u
hay
∑
+=
∞
=1n
CnCoC
UUU

Thành phần D.C. của điện áp trên tụ điện: U
Co
= U
o
= 120 (V)
Các thành phần hài của điện áp trên tụ:
CnnCn
Z.IU

=
, vói Z
Cn
= - j

(V)
hay u
C1
(t) = 218sin(ωt – 4,5
o
) (V)
17
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
→ Z
C3
= - j
)10.5,22(3
1
6−
ω
= - j
)5,22(100.3
10
6
π
= - j47,16 = 47,16∠- 90
o
(Ω)
→
3C33C
ZIU

=
= (6∠180
o

I
2
1
I
=
)654,1(
2
1
22
+
= 4,38 (A)
U
Chd
=
∑
+
∞
=1n
2
Cn
2
Co
U
2
1
U
=
)283218(
2
1

2
RR
R
+
= 0
Và:
n
'I

=
n
n
Z
E

, với Z
n
=jnω
o
L+
21
21
RR
R.R
+
= jn10
5
(8.10
-3
) +

= 8,839∠45
o
(mA)
→
11R
'I

=
1
I

21
2
RR
R
+
= (8,839∠45
o
)(
33
3
10.410
10.4
+
) = 7,071∠45
o
(mA)
→ Z
2
= 800 + j2.800 = 1788,85∠63,43

21
2
RR
R
+
= (2,236∠- 63,43
o
)(
33
3
10.410
10.4
+
) = 1,789∠- 63,43
o
(mA)
18
R
1
''I

Hình 15
E
o
R
2
''U

1R
''I

o
= I’’
R10
=
1
o
R
E
=
3
10
5
= 5 (mA)
• Xếp chồng: I
R1o
= I’
R1o
+ I’’
R1o
= 0 + (- 5) = - 5 (mA)
11R
I

=
11R
'I

+
11R
''I

+
''U

=
1R1
'I.R

+
1R1
''I.R


=
)'I'I'I(R
12R11Ro1R1

++
+
)''I''I''I(R
12R11Ro1R1

++
= 10
3
(0 + 7,071.10
-3
∠45
o
+ 1,789.10
-3

2
n1R
2
o1R
U
2
1
U
=
)789,1071,7(
2
1
5
222
++
= 7,18 (V)
Bài 7.8: Dòng qua cuộn dây i
L
(t) = i
Lo
(t) +
∑
∞
=1n
Ln
)t(i
hay
L
I


CoL
o
C
ω
−+ω+
ω
−

→
1L
I

=
1
J

(
500j1500j4
500j1
−++
−
) = 2(0,2 – j100) = 200∠- 90
o
(A)
hay i
L1
(t) = 200cos(ω
o
t – 90
o

t – 180
o
) (mA)
Tóm lại: i
L
(t) = 4 + 200cos(ω
o
t – 90
o
) + 0,133cos(2ω
o
t – 180
o
) (mA)
Dòng qua tụ điện i
C
(t) = i
Co
(t) +
∑
∞
=1n
Cn
)t(i
hay
C
I

= I
Co

1
J

-
1L
I

= 2 + j200 = 200∠90
o
(mA) hay i
C1
(t) = 200cos((ω
o
t + 90
o
) (mA)
→
2C
I

=
2
J

-
2L
I

= 0,4 + 0,133 + j0,0014 = 0,53∠0
o

2
1
2
2L
2
1L
+
=10
-6
(4
2
+
2
1
(200
2
+0,133
2
)=0,02 → P
L
=4(0,02)=0,08 (W)
Công suất phản kháng trên nhánh điện cảm:
Q
L
=
2
1
∑
ψ−ψ
∞

) = 100 (V)
→
2L
U

=
2L
I

(j2.500) = (0,133.10
-3
∠- 180
o
)(1000∠90
o
) = 0,133∠- 90
o
(V)
Vậy: Q
L
=
2
1
{U
L1m
I
L1m
sin[0
o
– (- 90

Chd
2
=I
Co
2
+
)II(
2
1
2
2C
2
1C
+
=10
-6

2
1
(200
2
+ 0,53
2
)= 0,02 → P
L
= 1(0,02)= 0,02 (W)
Công suất phản kháng trên nhánh điện dung:
Q
C
=

I

(- j500) = (200.10
-3
∠90
o
)(500∠- 90
o
) = 100 (V)
→
2C
U

=
2C
I

(- j
2
500
) = (0,53.10
-3
∠0
o
)(250∠- 90
o
) = 0,133∠- 90
o
(V)
Vậy: Q

sin(- 90
o
) = - 10 (VAr)
Bài 7.9: U
hd
=
∑
+
∞
=1n
2
n
2
o
U
2
1
U
=
222
)22()23[(
2
1
3 ++
= 4,7 (V)
I
hd
=
∑
+

2
1

= 3.1 +
2
1
{3
2
.2
2
cos[30
o
– (- 30
o
)] + 2
2
.
2
cos(0
o
– 60
o
)} = 7 (W)
Q =
2
1
∑
ψ−ψ
∞
=1n

QPS −−
=
222
47,375,11 −−
= 8,44 (VA)
Bài 7.10: i(t) = i
o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(i
hay
I

= I
o
+
∑
∞
=1n
n
I

Ta có: I
o
= 0 → i
o
(t) = 0, và

3
3
+
= - j
n
200
+
jn1
n100j
+
→ Z
1
= - j200 +
j1
100j
+
= 50 – j150 = 158,114∠- 71,57
o
(Ω)
→
1
I

=
1
1
Z
E

=

I

=
2
2
Z
E

=
o
o
87,36100
601
−∠
∠
= 10∠96,87
o
(mA)
hay i
2
(t) = 10cos(2.10
3
t + 96,87
o
) (mA)
Tóm lai: i(t) = 12,65cos(10
3
t + 101,57
o
) + 10cos(2.10

Ro
= I
o
= 0 → i
Ro
(t) = 0, và
Rn
I

=
n
I

LjnR
Ljn
o
o
ω+
ω

→
1R
I

=
1
I

)1,0(10j100
)1,0(10j

3
+
= (10∠96,87
o
)(
200j100
200j
+
) = 8,9∠123,14
o
(mA)
hay i
R2
(t) = 8,9cos(2.10
3
t + 123,14
o
) (mA)
Tóm lại: i
R
(t) = 8,9cos(10
3
t + 146,57
o
) + 8,9cos(2.10
3
t + 123,14
o
) (mA)
→ I

= 7,9 (mW)
Bài 7.11:

Với tín hiệu g(t) như hình 16, e(t) = 50 + g(t)
g(t) là hàm đối xứng lẻ → các hệ số a
o
= 0 ; a
n
= 0
Ta có: g(t) =



<<−
<<
)ms(20t10)V(50
)ms(10t0)V(50
; T=2.10
-2
(s) ; ω
o
=
2
10.2
2
−
π
=100π (rad/s)
Do đó: b
n

= -
2
10
0
4
]
100n
t100ncos
[10
−
π
π
=
π− )1n2(
200

→ g(t) =
∑
π−
−π
∞
=1n
t100)1n2sin(
1n2
1200

→ e(t) = 50 +
∑
π−
−π

o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(i
hay
I

= I
o
+
∑
∞
=1n
n
I

Ta có: I
o
=
R
E
o
=
10
50
= 5 (A) → i
o

-3
) +
6
6
10.318.100n
1
j10
10)
10.318.100n
1
j(
−
−
π
−
π
−
= j10n +
n
10
j10
n
100
j
−
−
→ Z
1
= j10 +
10j10

) (A)
→ Z
3
= j3.10 +
3
10
j10
3
100
j
−
−
= 1 + j27 = 27,02∠87,88
o
(Ω)
→
3
I

=
3
3
Z
E

=
o
88,8702,27
3
200

Z
E

=
o
54,89079,48
5
200
∠
π
=0,265∠-89,54
o
(A)hay i
5
(t)=0,265sin(100πt–89,54
o
) (A)
→ Z
7
= j7.10 +
7
10
j10
7
100
j
−
−
= 0,2 + j68,6 = 68,6∠89,83
o

o
) + 0,265sin(100πt–
89,54
o
) + 0,132sin(100πt–89,83
o
) (A)
Dòng qua R: i
R
(t) = i
Ro
(t) +
∑
∞
=1n
Rn
)t(i
hay
R
I

= I
Ro
+
∑
∞
=1n
Rn
I


=
1
I

6
6
10.318.100
1
j10
10.318.100
1
j
−
−
π
−
π
−
= (9∠- 45
o
)(
10j10
10j
−
−
) = 6,36∠- 90
o
(A)
hay i
R1

= 0,248∠- 159,4
o
(A) hay i
R3
(t) = 0,248sin(300πt – 159,4
o
) (A)
→
5R
I

=
5
I

6
6
10.318.100.5
1
j10
10.318.100.5
1
j
−
−
π
−
π
−
= (0,265∠- 89,54

−
π
−
= (0,132∠– 89,83
o
))(0,141∠- 81,87
o
)
= 0,0186∠- 171,7
o
(A) hay i
R7
(t) = 0,0186sin(700πt – 171,7
o
) (A)
Điện áp trên R: u(t) = u
o
(t) +
∑
∞
=1n
n
)t(u
hay
U

= U
o
+
∑

o
(V) hay u
1
(t) = 63,6sin(100πt – 90
o
) (V)
24
Mạch điện Ngô Ngọc Thọ
→
3
U

= R.
3R
I

= 10(0,248∠- 159,4
o
) = 2,48∠- 159,4
o
(V)
hay u
3
(t) = 2,48sin(300πt – 159,4
o
) (V)
→
5
U


o
) (V)
Tóm lại: u(t) = 50 + 63,6sin(100πt – 90
o
) + 2,48sin(300πt – 159,4
o
) +
0,519sin(500πt – 168,2
o
) + 0,186sin(700πt – 171,7
o
) (V)
Trị hiệu dụng điện áp trên R: U
hd
=
∑
+
∞
=1n
2
n
2
o
U
2
1
U

=
)186,0519,048,26,63(