Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bài toán “Tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương
trình có nghiêm” là một bài toán quan trọng và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào
các trường Đạị học và Cao đẳng. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng
túng khi gặp bài toán này hoặc gặp khó trong lúc giải quyết bài toán vì thường gặp khó
bởi điều kiện phát sinh khi giải toán. Trong chuyên đề này tôi trao đổi cách vận dụng đạo
hàm để giải những bài toán thuộc dạng trên
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lí thuyết:
Trước tiên ta xét các mệnh đề sau được suy luận từ định nghĩa hàm số đơn điệu và các
kinh nghiệm trong giải toán:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D
1) Phương trình: f(x) = m có nghiệm x
∈
D
min ( ) ax ( )
x D
x D
f x m m f x
∈
∈
⇔ ≤ ≤
2) Bất phương trình:
( )f x m≤
có nghiệm x
∈
D
min ( )
x D

m f x
∈
⇔ ≤
6) hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D thì
( ) ( ) ( , )f u f v u v u v D= ⇔ = ∀ ∈
2. Phương pháp giải toán:
Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m để phương trình(PT), bất phương trình(BPT)
có nghiệm ta có thể thực hiện theo các bước sau:
 Biến đổi PT(BPT) về dạng: f(x) = g(m) (hoặc
( ) ( ), ( ) ( )f x g m f x g m≤ ≥
)
 Tìm tập xác định D của hàm số f(x)
 Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
 Xác định:
min ( ) , ax ( )
x D
x D
f x m f x
∈
∈
 Vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận cho bài toán.
Lưu ý:
Trong trường hợp PT(BPT) chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau
 Đặt ẩn số phụ t =
( )x
ϕ
Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x ta tìm điều kiện cho ẩn t
 Đưa PT(BPT) ẩn số x về PT(BPT) theo ẩn số t Ta được f(t) = g(m) hoặc
( ) ( ), ( ) ( )f t g m f t g m≤ ≥
 Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)


đặt f(x) = x
3
+ 6x
2
– 32
ta có f’(x) = 3x
2
+ 12x > 0 với mọi x > 2
bảng biến thiên
x 2
+∞
f’(x) +
f(x)

+∞
0
Từ bảng biến thiên và mục 1) ta có m > 0 (*) luôn có một nghiệm x > 2
Vậy bài toán được chứng minh
Thí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
có nghiệm(trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007)
Giải
Điều kiện :
1x ≥
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −

1
1
x
t
x
−
=
+
với
1x ≥
ta có
0t ≥
thay vào phương trình ta được
2
2 3 ( )m t t f t= − =

ta có :
'( ) 2 6f t t= −
ta có :
1
'( ) 0
3
f t t= ⇔ =
t 0
1
3

+∞
f’(t) + 0
f(t)

Xét
2
3 4 1
( )
x x
f x
x
+ −
=
ta có
2
3 1
'( ) 0 0
x
f x x
x
+
= > ∀ ≠
Bảng biến thiên
x
1
2
−
0
+∞
f’(x) + +
f(x)

+∞


2 2 0 (*)t t m+ − − =
khi
3
1;3 [1;2]x t
 
∈ ⇒ ∈
 
a. khi m = 2 ta được :
2
6 0t t+ − =
2 3 ( )t t L⇔ = ∨ = −
2
3
log 1 2x⇔ + =
2
3
log 1 4x⇔ + =
3 3x⇔ =
b. khi
3
[1;3 ] [1;2]x t∈ ⇒ ∈
ta có :
2
2
(*) ( )
2
t t
f t m
+ −
⇔ = =

 
∈ − ⇒ ∈
 
 
 
 
thay vào bất phương trình ta được
2
( )f t t t m= + >
3
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin
t 0
7 2
4
f’(t) +
f(t)

49 14 2
8
+
0
Từ bảng biến thiên ta có :
0m <
Thí dụ 6 : Giải hệ phương trình :
3
2
3 ( 4) 1 (1)
1 (2)
x x y y
y x

1
1
x y
y x

= +


= +



2 2
2
1
x y y x
y x

− = −

⇔

= +



2
( )( 1) 0
1
x y x y

y
= − −

=

 
⇔ ∨
=

 
±
=

 
= −




Vậy hệ phương trình có nghiệm là
1 5 1 5
; ; (0; 1)
2 2
 
+ +
−
 ÷
 
Thí dụ 7 : Tìm m để bất phương trình
( )


Từ bảng biến thiên ta có
6 2 12m ≤ −
thỏa đề bài
Thí dụ 8 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
127
3
−=+− xmxx
Giải:
4
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin
Với ĐK
2/1≥x
, phương trình đã cho
1447
23
+−=+−⇔ xxmxx
⇔
x
3
– 4x
2
– 3x – 1 = – m <=> f(x) = - m. (1)
Xét hàm số f(x) trên







27 27
19 m m 19
8 8
⇔ − ≤ − ≤ − ⇔ ≤ ≤
Thí dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
11
2215)53(
2
−≤−++−++ mxxxxm
Hướng dẫn:
* ĐK:
53 ≤≤− x
* Đặt
xxt −++= 53
,
422 ≤≤ t
Suy ra:
2
8
215
2
2
−
=−+
t
xx
Nên (1) trở thành:
mtgm
t

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
3
4
x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m+ - + - - - =
.
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
x 2x m 2x 1+ - = -
có 2 nghiệm thực
phân biệt.
Bài 4. Tìm m để phương trình :
1 8 (1 )(8 )x x x x m
+ + − + + − =
có nghiệm
Bài 5. Tìm m để phương trình
x 1 3 x (x 1)(3 x) m- + - - - - =
có nghiệm thực.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình
x 1 x 2
m 2 0
x 2 x 1
- +
- + =
+ -
có nghiệm thực.
Bài 7. Tìm a để phương trình :
2
3 1
2 1 ax
2 1

-19
+
_
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin
Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình
x 4 x 4 x x 4 m+ - + + - =
có nghiệm
thực.
Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình
x m
x 6 x 9 x 6 x 9
6
+
+ - + - - =
có
nghiệm thực.
Bài 12 Tìm điều kiện của m để phương trình
2
2
m
16 x 4 0
16 x
- - - =
-
có nghiệm
thực
Bài 13. Tìm m để phương trình
4
4 4
x 4x m x 4x m 6+ + + + + =

2
m x 2 x m+ = +
có 2 nghiệm thực phân biệt.
Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất của a để bất phương trình :
4
3 2 3
2
( 1) sin
2
( 1)
a x
a x a
x
π
− + ≤
−

có ít nhất một nghiệm
Bài 20 : Tìm m để mọi
[0;2]x
∈
đều thỏa mãn bất phương trình :
2 2
2 4
log 2 4 log ( 2 ) 5x x m x x m
− + + − + ≤
Bài 21 : Tìm m để bất phương trình :
2 2
5 5
log ( 4 ) log ( 1) 1x x m x+ + − + <