Các bài Toán cực trị trong các kì thi HSG Toán 9
A. Bài tập.
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
22
4
)1(
1
x
x
+
+
với
0

x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Khánh Hoà năm học 1987 1988)
Bài 2. Cho P
zyxyxx ++

+
=
111
2
1
. Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt
giá trị dơng nhỏ nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, toàn quốc năm học 1988 1989)
Bài 3. Cho A
1

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
1
78
2
2
+
++
=
x
xx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
18216
23
++= xxx
, với
.1
2
1
x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 9. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:
2
1
1
1
1
1
1

zyx
zyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P = 2x + 3y 4z.
1
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1994 1995)
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
22
yx +
khi có
4
22
=+ xyyx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1995 1996)
Bài 13. Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn
nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1995 1996)
Bài 14. Cho biểu thức Q
1997321
1 111 xxxx ++++=
trong đó
1
x
,
2
x
,
3
x

a
,
5
a
có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: A
.
54433221
aaaaaaaa +++=
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 17. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
bxax
A
))(( ++
=
(với x > 0).
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
62
2
+= xxy
với
1x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
15 += xxA
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1997 1998)

xy
yx
M ++
+
=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1998 1999)
Bài 24. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P
.
)(
1
)(
1
)(
1
333
yxzxzyzyx +
+
+
+
+
=
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1999 2000)
Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
.1414 ++= xxxx

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 1999 2000)
Bài 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
.200542425

2
21
2
xx
x
+
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 31. Cho x, y thoả mãn điều kiện
1
22
=+ yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
biểu thức:
.
66
yxM +=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 10, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
.200233
22
+++ yxyxyx
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 33. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện:
1=++ zyx
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức A =
.)1(
2

2
2
+
++
x
x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2003 2004)
Bài 36. Tìm giá trị của x, y để biểu thức
463211426
2222
++++++++ yyxxyyxx
. Đạt
giá trị nhỏ nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2003 2004)
Bài 37. Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:
M
2005= xx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2004 2005)
Bài 38. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A
22
22
yxyx
yxyx
+
++
=
. Với x, y > 0.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:

Bài 41. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
c
c
b
b
a
a 411
+

+

=
. Với
.51 x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2005 2006)
Bài 42. Gọi
21
, xx
là các nghiệm của phơng trình:
0
12
4612
2
22
=++
m
mmxx

)0( >m

. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:
M
yx
11
+=
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Bình Định năm học 2005 2006)
Bài 45. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
22
2
5
22
+++= xxxx
.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
6
44
++

=
yx
yx
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y
54183
22
++++= xxxx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 47. Cho hai số dơng x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A

yx .2010
12010
+
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Hà Tỉnh năm học 2009 2010)
Bài 50. a) Cho hai bộ số (a
1
; a
2
) và (b
1
; b
2
) bất kì.
Chứng minh rằng:
))(().(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2211
bbaababa +++
b) Cho
0, yx
và

y
x
x
2
1

+

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2007 2008)
B. Hớng dẩn Giải:
Bài 1. Ta có: A =
1
1
2
1
21
2
1
21
2)21(
)1(
1
2
242
2
42
242
22
4


2
1
)1()1(
2
1
)21()21(
2
1
)22(
2
1
1 xxxxxxxxx +++=++++=+=+
Do đó A
2
1

.
Bài 2. Trớc hết ta chứng minh bài Toán phụ sau:
Với
*
, Nba
. Chứng minh rằng:
ba
11

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
1
+=
ab
.



+







=
++

+
=
111
2
1111
2
1
.
áp dụng bài Toán phụ trên ta có: P đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì
zyx ++
1
phả lớn
nhất và









yxx
11
2
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
yx +
1
đạt giá trị dơng lớn nhất và
x
1
2
1


đạt giá trị dơng nhỏ nhất nhng lớn hơn
yx +
1
.
5
Do vậy có
x
1
2
1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi







+








yxx
và
zyx ++

1
42
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
3643 ==++ zzyx
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
1806
1
43
1

+
++
=
+
++
=
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
.
Mặt khác: A
3
1
)1(
3
1
)12()1(3
1
222
1
)1(2
2
2
2
22


22)3()1(31 ==++= xxxx
.
Dấu = Xảy ra
310)3)(1( xxx
.
Bài 5. Ta có: M
22
)41()21(1815143 +=+++= xxxxxx

2)14()21(14214121 =++=+= xxxxxx
.
Dấu = Xảy ra
1754120)14)(21( xxxx
.
Bài 6. Ta có: A =
[ ]
22222
)2.(1)2()2)(34()3()2)(1( ++=+++=+++ xxxxxxxx

4
1
4
1
2
1
)2(
2
1
2

+= xxx


Giá trị nguyên lớn nhất của m là - 1.
Bài 7. Ta có: y
078)1(78
1
78
222
2
2
=+++=+
+
++
= yxxyxxyyx
x
xx
(*)
+) Nếu
.101 == yy
Khi đó phơng trình (*) trở thành:
4
3
068 == xx
+) Nếu
.101 = yy
Khi đó phơng trình (*) là một phơng trình bậc hai có:

'
=

)18216(
2
2
2
3
2
++ xxx

[ ]
21)(6)()()(21)(6)(
21
2
221
2
12121
2
2
2
1
3
2
3
1
++++=+= xxxxxxxxxxxxxx
Vì:
[ ]
6)1212236(21)(6)(2
2
2
2


)(0
21
2
2
2
1
xfyyyyy =<<
là hàm số đồng biến.
6

3494
4
1
)1(
2
1
≤≤⇔≤≤






−⇒ yfyf
.
Bµi 9. Ta cã:




1
1
1
1
1
1

z
z
y
y
x +
+
+
≥
+
⇔
111
1
(*)
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« - Si cho hai sè d¬ng
y
y
+1
vµ
z
z
+1
ta cã:


zx
xz
y ++
≥
+
(2)
Vµ
)1)(1(
2
1
1
yx
xy
z ++
≥
+
(3)
Tõ (1), (2) vµ (3)
8
1
)1)(1)(1(
8
1
1
.
1
1
.
1
1





+=−+






++=++= xxxxx
.
b) Ta cã: y =
1
4
1
4
2
2
24
2
+






+

2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
5
1
5
1
1
4
1
2
2
≤⇒≤
+






+
y
x