ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THU HÒA
MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG
HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, Năm 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THU HÒA
MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG
HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên, Năm 2015
i
Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Văn Ngọc,
thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình làm luận
văn này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại Học Khoa Học, các thầy cô
giáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọi điều kiện tốt nhất
trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, các bạn học viên trong
lớp cao học toán K7b đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
tập cùng nhau.

2.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iii
2.1.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Tính thể tích của khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Tính chiều dài của một đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Tính diện tích của một mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong Vật lý 40
3.1 Sơ đồ tổng quát ứng dụng tích phân giải bài toán Vật lý . . . . 40
3.1.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Lược đồ ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . 41
3.2 Moment và trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Moment tĩnh và moment quán tính của hệ điểm . . . . . 42
3.2.2 Moment của một cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Moment của một hình thang cong thuần nhất . . . . . . 43
3.2.4 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Ứng dụng tích phân trong các bài tập điện . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Cường độ điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Điện trở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.4 Điện xoay chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Một số vấn đề khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.1 Công . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.2 Lực-Áp suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

So với những ứng dụng của tích phân trong Hình học sơ cấp thì tài liệu
giới thiệu về ứng dụng của tích phân giải các bài toán của Cơ học và Vật lý sơ
cấp chưa có nhiều và khá sơ sài.Vì vậy chúng tôi đã chọn đề tài về ứng dụng
2
của tích phân trong Hình học, Cơ học và Vật lý làm Luận văn Thạc sĩ Khoa
học.
Theo chúng tôi được biết, đề tài trên đây cũng đã được đề cập trong Luận
văn Thạc sĩ Khoa học [5], năm 2011. Tuy nhiên trong tài liệu này chỉ thấy
trình bày lý thuyết tóm tắt của tích phân trong Hình học và Cơ học mà chưa
thấy có các bài toán áp dụng, đặc biệt là các bài toán khó và các bài toán của
vật lý sơ cấp.
Luận văn này gồm có; Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài liệu
tham khảo.
Chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann. Kiến
thức của chương này có thể tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phép tính vi
phân và tích phân.
Chương 2 trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hình học.
Nội dung của chương này dựa trên nhiều tài liệu, đặc biêt là các tài liệu [1], [4]
và các đề tuyển sinh Đại học trong nhiều năm.
Chương 3 trình bày ứng dụng phép tính tích phân trong các bài toán của
vật lý. Chương này là nội dung chính của luận văn. Mục 3.1 trình bày sơ đồ
tổng quát áp dụng tích phân xác định vào các bài toán của cơ học và vật lý.
Ngoài việc hiểu các kiến thức cần thiết của Vật lý còn phải biết Toán học hóa
bài toán của Vật lý, như đưa vào các biến cần thiết, xét hệ tọa độ thích hợp.
Vấn đề quan trọng trong ứng dụng phép tính tích phân là trước hết phải biết
vi phân các đại lượng, sau đó dùng các định luật của Vật lý thiết lập các đại
lượng vi phân nguyên tố, sau đó mới tích phân các đại lượng vi phân nguyên
tố này, v.v
3
Chương 1

, x
1
, . . . , x
n
}, là một
phân hoạch của [a, b], khi đó một cách lựa chọn gắn với ∆ là một lớp hữu hạn
ξ = (ξ
1
, . . . , ξ
n
) sao cho ξ
i−1
≤ ξ
i
≤ ξ
i+1
với i = 1, . . . , n. Ta gắn với f, ∆ và ξ
tổng Riemann S(f; ∆, ξ) xác định bởi
S(f; ∆, ξ) =
n

i=1
f(ξ
i
)(x
i
− x
i−1
).
• Ta nói rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu tồn tại một số thực I với

Chú ý 1.1. Tích phân xác định không phụ thuộc vào sự lựa chọn biến lấy tích
phân:

b
a
f(x)dx =

b
a
f(y)dy =

b
a
f(t)dt,
.
1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann
• Nếu tích phân xác định trên [a, b] của hàm f tồn tại, thì ta nói hàm f khả
tích trên [a, b]. Chúng ta có các lớp hàm sau khả tích trên đoạn [a, b]:
f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b],
f(x) liên tục trên [a, b],
f(x) liên tục từng khúc chỉ có một số hữu hạn điểm
gián đoạn trên đoạn [a, b].
Đặc biệt, nếu ta thay đổi giá trị của một hàm khả tích tại hữu hạn điểm, thì
hàm số vẫn khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi. Hàm bị chặn có
thể không khả tích. Để minh họa, xét hàm Dirichlet sau đây.
Ví dụ 1.1. Hàm Dirichlet được xác định bởi công thức
f(x) =




n
} của [a, b] là
S
−
(f; ∆) =
n

i=1
m
i
(x
i
− x
i−1
), S
+
(f; ∆) =
n

i=1
M
i
(x
i
− x
i−1
),
trong đó
m
i

(f; ∆

) ≤ S
+
(f; ∆

) ≤ S
+
(f; ∆),
nếu ∆
1
và ∆
2
là hai cách chia tùy ý, thì
S
−
(f; ∆
1
) ≤ S
+
(f; ∆
2
).
Điều này chỉ ra tập các tổng Darboux dưới của f bị chặn trên bởi mọi tổng
Darboux trên và tập các tổng Darboux trên của một hàm nhất định được bị
chặn dưới bởi bất kỳ tổng Darboux dưới. Do đó, ta khảo sát cận trên đúng của
tổng Darboux dưới và cận dưới đúng của tổng Darboux trên. Ta định nghĩa
tích phân Darboux dưới

b

i
(x
i
− x
i−1
) < δ.
6
Điều này kéo theo một hàm f : [a, b] → R khả tích khi và chỉ khi tích
phân Darboux trên và tích phân Darboux dưới bằng nhau. Trong trường hợp
này ta có

b
a
f(x)dx :=

b
a
f(x)dx =

b
a
f(x)dx.
Ví dụ 1.2. (i) Hàm f(x) = x khả tích trên [a, b]. Thật vậy, xét phép phân
hoạch cách đều
∆
n
= {x
i
= a + i(b − a)/n; i = 0, 1, 2, . . . , n}.
Khi đó

n
=
b
2
− a
2
2
+
(b −a)
2
2n
.
Do đó, S
+
(f; ∆) −S
−
(f; ∆) = (b − a)
2
/n → 0 khi n → ∞.
(ii) Xét hàm Riemann f : [0, 1] → R xác định bởi
f(x) =





0 nếu x ∈ [0, 1] ∩ (R\Q),
1
n
nếu x =

) < 2ε,
do đó f khả tích trên [0, 1] và

1
0
f(x)dx = 0.
7
1.2 Các tính chất của tích phân xác định
1.2.1 Đẳng thức
Trong phần này, ký hiệu [a, b] có thể được hiểu là các khoảng
a ≤ x ≤ b, a ≥ x ≥ b.
1. Giả sử f(x), g(x) là những hàm khả tích trên [a, b],còn α, β là các số thực
tùy ý. Khi đó αf(x) + βg(x) khả tích trên [a, b], ngoài ra có đẳng thức

b
a
[αf(x) + βg(x)]dx = α

b
a
f(x)dx + β

b
a
g(x)dx.
2. Nếu f(x) khả tích trên đoạn [b, a], thì nó khả tích trên đoạn [b, a],ngoài ra

b
a
f(x)dx = −


b
a
f(x)dx ≤

b
a
g(x)dx.
6. Nếu f(x) khả tích trên [a, b], a<b thì




b
a
f(x)dx



≤

b
a
|f(x)|dx.
8
7. Cho f là hàm khả tích trên [a, b] với m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b].
m(b −a) ≤

b
a

a
g(x)dx, (1.3)
trong đó a ≤ c ≤ b.
Định lý 1.4. (Định lý trung bình tích phân thứ hai)
1) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f(x) ;liên tục, không âm và đơn điệu giảm,
còn g(x) khả tích trên [a, b], thì

b
a
f(x)g(x)dx = f(a)

ξ
a
g(x)dx, ξ ∈ [a, b]. (1.4)
9
2) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f(x) ;liên tục, không âm và đơn điệu tăng,
còn g(x) khả tích trên [a, b], thì

b
a
f(x)g(x)dx = f(b)

b
ξ
g(x)dx, ξ ∈ [a, b]. (1.5)
3) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f(x) ;liên tục và đơn điệu , còn g(x) khả
tích trên [a, b], thì

b
a

x
f(t)dt = µh, m

≤ µ ≤ M

,
trong đó µ là giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất m

và
M

của f(x) trên đoạn [x, x + h]. Do tính liên tục của f(t) tại t = x, với mọi
ε > 0 tồn tại δ > 0, sao cho
f(x) −ε < f(t) < f(x) + ε, |h| < δ.
10
đối với mọi t ∈ [x, x + h]. Khi đó ta có
f(x) −ε ≤ m

≤ µ ≤ M

≤ f(x) + ε,
do đó
|µ −f(x)| ≤ ε.
Từ đây suy ra
F

(x) = lim
h→0
F (x + h) − F(x)
h

= ln |x| + C,
4.

a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, 0 < a = 1,
5.

sin xdx = −cos x + C,
6.

cos xdx = sin x + C,
7.

dx
cos
2
x
= tan x + C,
8.

dx
sin
2
x
= −cot x + C,

sinh
2
x
= −coth x + C,
13.

dx
cosh
2
x
= tanh x + C,
14.

1
x
2
+ a
2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C, a = 0,
15.

1
√
a

dx = ln |x +
√
x
2
− a
2
| + C,
18.

√
a
2
− x
2
dx =
1
2
x
√
a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a

hàm lẻ
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b] thì ta có công
thức Newton- Leibnitz:

b
a
f(x)dx = F (x)





b
a
= F (b) − F(a). (1.9)
Như vậy việc tính tích phân xác định trở thành đơn giản nếu biết nguyên hàm
( tích phân bất định)của hàm số dưới dấu tích phân ở dạng hiển. Tuy nhiên,
việc tìm nguyên hàm của một hàm số trong nhiều trường hợp lại rất phức tạp.
Trong một số trường hợp, mặc dù không tìm được nguyên hàm của hàm dưới
dấu tích phân, nhưng vẫn có thể tính được tính phân xác định dễ dàng nhờ
12
tính chất nào đó của hàm dưới dấu tích phân, nhất là tính chất chẵn-lẻ của
hàm số. Để minh họa, xét một số bài toán sau đây.
Mệnh đề 1.1. Cho hàm f(x)

b
−b
f(x)
a
x

dx. (1.11)
Đặt x = −t, thì dx = −dt. Khi đó

0
−b
f(x)
a
x
+ 1
dx =

0
b
f(−t)
a
−t
+ 1
(−dt) =

b
0
a
t
f(t)
a
t
+ 1
dt =

b

f(x)
a
x
+ 1
dx
=

b
0
(a
x
+ 1)f(x)
a
x
+ 1
dx =

b
0
f(x)dx.

Đặc điểm của công thức (1.10) ở chỗ là nó không phụ thuộc vào a
x
mà
chỉ phụ thuộc vào f(x). Do đó, nếu ta biết được nguyên hàm của f(x) thì có
thể tính được tích phân ở bên trái một cách dễ dàng. Xét một số bài toán áp
dụng sau đây.
Bài toán 1.1. Tính các tích phân sau đây
1. I
1

=

π/2
−π/2
sin
2
x
10
x
+ 1
dx.
Giải.
13
1. Với f(x) =
1
1 + x
2
là hàm chẵn , áp dụng công thức (1.10), ta có
I
1
=

1
0
dx
1 + x
2
= arctan x



0
=
π
3
.
3. Với f(x) = sin
2
x là hàm chẵn, áp dụng công thức (1.10), ta có
I
3
=

π/2
0
sin
2
xdx =

π/2
0
1 −cos 2x
2
dx =
π
3
.

Mệnh đề 1.2. Chứng minh rằng, nếu hàm số f(x) là lẻ và liên tục trên [−b, b]
thì


2 + x
dx.
Giải.
1. Đặt f(x) =
ln(x +
√
1 + x
2
)
√
1 + x
2
. Ta có
f(−x) =
ln(−x +

1 + (−x)
2
)

1 + (−x)
2
=
ln(−x +
√
1 + x
2
)
√
1 + x

g(−x) = (cos 2(−x) + sin(−x) sin 3(−x)) ln
2 + x
2 −x
= (cos 2x + sin x sin 3x)[−ln
2 −x
2 + x
] = −g(x).
Vậy, g(x) là hàm lẻ. Áp dụng công thức (1.12), ta có I
2
= 0.

1.4.2 Công thức tích phân từng phần
Định lý 1.6. Giả sử u(x), v(x) là những hàm khả vi trên đoạn [a, b]. Khi đó
ta có công thức tích phần từng phần sau dây

b
a
udv = uv|
b
a
−

b
a
vdu. (1.13)
Bài toán 1.3. Tìm nguyên hàm
I =

dx
(x

2
+ a
2
⇒ du = −
xdx
(x
2
+ a
2
)
√
x
2
+ a
2
,
dv = dx, v = x.
ta có
J =
x
√
x
2
+ a
2
+

x
2
dx

)
√
x
2
+ a
2
=
x
√
x
2
+ a
2
+

dx
√
x
2
+ a
2
− a
2

dx
(x
2
+ a
2
)

2
.

15
Bài toán 1.4. Tính các tích phân bất định
1. I =

e
ax
cos bxdx, ab = 0.
2. J =

e
ax
sin bxdx.
Giải. Đăt





u = e
ax
⇒ du = ae
ax
dx,
dv = cos bxdx ⇒ v =
1
b
sin bx.


e
ax
cos bxdx = −
1
b
e
ax
cos bx +
a
b
I.
Ta có hệ phương trình



bI + aJ = e
ax
sin bx,
−aI + bJ = −e
ax
cos bx.
Giải hệ này ta được
I =

e
ax
cos bx = e
ax
b sin bx + a cos bx

x
2
+ a
2
dx(a > 0).
16
Giải. Hàm dưới dấu tích phân được xác định với mọi x ∈ R. Đổi biến x =
a sinh t là hàm khả vi liên tục và đơn điệu tăng. Ta có
dx = a cosh tdt,
√
x
2
+ a
2
= a cosh t.
Suy ra
I = a
2

cosh
2
tdt =
a
2
2

(cosh 2t + 1)dt =
a
2
2

dx =
x
2
√
x
2
+ a
2
+
a
2
2
ln |x +
√
x
2
+ a
2
| + C.

Bài toán 1.6. Tính I =

√
x
2
− a
2
dx(a > 0).
Giải. Hàm dưới dấu tích phân được xác định khi x ≥ a hoặc x ≤ −a. Đổi
biến x = a cosh t, t ≥ 0, nếu x ≥ a, x = −a cosh t, t ≥ 0, nếu x ≤ −a. Đó là


+ C =
a
2
2
(sinh t cosh t − t) + C.
Vì
cosh t =
x
a
, sinh t =
√
x
2
− a
2
a
, t = arccosh
x
a
= ln |x +
√
x
2
− a
2
| −ln a
nên ta có
I =


f(x)dx, trong đó f(x) là
hàm liên tục trong khoảng [a, b]. Thực hiện đổi biến x = ϕ(t) với ϕ(t) thỏa mãn
các yêu cầu sau đây.
1) ϕ(t) xác định và liên tục trong khoảng [α, β] và nhận giá trị trong
khoảng [a, b].
2) ϕ(α) = a, ϕ(β) = β.
3)Tồn tại trong [α, β] đạo hàm liên tục ϕ

(t).
Khi đó có đẳng thức

b
a
f(x)dx =

β
α
f[ϕ(t)]ϕ

(t)dt. (1.16)
Bài toán 1.7. Tính tích phân J =

1
0
ln(1 + x)
1 + x
2
dx.
Giải. Đổi biến x = tan t, 0 ≤ t ≤
π

2 sin

π
4
+ t

cos t

dt =
π
8
ln 2+

π/4
0
ln sin

π
4
+t

dt−

π/4
0
ln cos tdt.
Trong tích phân thứ hai ở bên phải thực hiện đổi biến t =
π
4
−τ. Khi dó ta có

Bài toán 1.8. Chứng minh công thức

2π
0
f(a cos θ + b sin θ)dθ = 2

π
0
f(
√
a
2
+ b
2
cos λ)dλ,
trong đó f(u) là hàm tùy ý liên tục đối với |u| ≤
√
a
2
+ b
2
.
18
Giải. Chúng ta xác định góc α bởi các hệ thức
cos α =
a
√
a
2
+ b

2
cos(θ − α))dθ.
Đặt θ − α = λ và sử dụng tính chẵn của cos λ ta ó

π
−π
f(
√
a
2
+ b
2
cos λ)dλ = 2

π
0
f(
√
a
2
+ b
2
cos λ)dλ.
Suy ra điều phải chứng minh. 
1.5 Tích phân suy rộng
1.5.1 Tích phân suy rộng loại một
• Khái niệm. Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng [a, +∞), khả tích
trên đoạn [a, B], ∀B > a. Nếu tồn tại thì giới hạn này được gọi là tích phân suy
rộng ( loại một) của f(x) trên khoảng [a, +∞) và được ký hiệu là


f(x)dx = lim
A→−∞,B→∞

B
A
f(x)dx (1.19)
19
Nếu các tích phân (1.17)-(1.19) là những số hữu hạn, thì ta nói các tích phân
suy rộng loại một này hội tụ. Ngược lại, nếu các giới hạn tương ứng của các
tích phân không tồn tại hoặc bằng vô cùng, ta nói các tích phân suy rộng này
phân kỳ.
Mệnh đề 1.3. 1. Giả sử với mọi x ∈ [a, ∞), 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Khi đó từ
hội tụ của

∞
a
g(x)dx suy ra hội tụ của

∞
a
f(x)dx, từ sự phân kỳ của

∞
a
f(x)dx suy ra sự phân kỳ của

∞
a
g(x)dx.
2. Nếu hàm f(x) khả tích trên một đoạn hữu hạn và có tiệm cận

là vô hạn. Do đó ta chia tích phân thành

∞
0
x
t−1
e
−x
dx =

1
0
x
t−1
e
−x
dx +

∞
1
x
t−1
e
−x
dx.
Sử dụng ước lượng
x
t−1
e
−x

t−1
e
−x/2
e
−x/2
≤ Me
−x/2
,
20
miễn là x đủ lớn. Do vậy,

∞
0
x
t−1
e
−x
dx hội tụ với mọi t > 0. Tính toán trực
tiếp chỉ ra
Γ(t + 1) = tΓ(t) với bất kỳ t > 0.

Bài toán 1.10. Chứng minh

∞
1
sin x
x
dx
hội tụ nhưng


dx.
Bởi vì |cos x/x
2
| ≤ 1/x
2
và

∞
1
1/x
2
dx hội tụ, ta suy ra

∞
1
sin x/xdx hội tụ.
Để chứng minh

∞
1
|sin x/x|dx phân kỳ, ta chú ý rằng

(n+1)π
π
|sin x|
x
dx =
n

k=1

Giải. Ta lập luận bằng phản chứng. Giả sử tồn tại ε > 0 và x
n
→ ∞ sao
cho x
n
f(x
n
) ≥ ε. Bởi vì f là hàm giảm, suy ra tồn tại A > 0 sao cho f(x) ≥
ε/x, ∀x ≥ A. Điều này kéo theo lim
t→∞

t
0
f(x)dx = +∞, mâu thuẫn. 
Bài toán 1.12. (Bổ đề Barbălat). Cho f : [0, ∞) là hàm liên tục đều và khả
tích Riemann. Chứng minh f(x) → 0 khi x → ∞.