PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 - 2015
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (1,5 điểm).
1. Tính giá trị của biểu thức A = (x
3
+ 12x – 31)
2015
tại x =
33
58165816 ++−
2. Cho biểu thức B =
a
aab
a
b
2
−
−
a) Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức B xác định
b) Rút gọn biểu thức B
Bài 2. (1,5 điểm). Cho phương trình x
2
– (m - 2)x – m
2
+ 3m – 4 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Tìm m để tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2

x
y
x
Bài 5. (3,5 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng (d)
thay đổi nhưng luôn đi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng
tại M và N. Giả sử (d) cắt lại đường tròn (O) tại E (E
≠
A). MC cắt BN tại F. Chứng minh
rằng:
a)
∆
ACN
∆
MBA và
∆
MBC
∆
BCN.
b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp.
c) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi (d) thay đổi nhưng luôn đi qua A.
Bài 6. (1,0 điểm). Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa mãn
3x y z+ + ≤
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2012
671
x y z xy yz zx

Nờn A = (2
3
+ 12.2 31)
2015
= 1
2015
= 1
0,5
0,25
K:





0
0
a
ab
b) Rỳt gn biu thc B
+ Vi
0ab
v a > 0 ta cú: B =
a
aab
a
b
2



=
a
aab
a
ab
2


=
1
22


=

a
ab
a
aab
0,25
0,25
0,25
Bi 2
(1,5 )
a) Phng trỡnh bc hai ny cú a = 1, c = m
2
+ 3m 4 =
0
4
7

+ 2x
1
) = 0


x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
)
2
= 0 (*)
Theo h thc Vi-ột thỡ x
1
+ x
2
= m 2, x
1
x
2
= m
2
+ 3m 4
0,25
0,25
Thay vào (*) ta được: m

2
−
+
−
−=
k
x
k
k
y
Khi đó (d) song song với đường thẳng y = x
3

⇔

1
2
−
−
k
k
=
3

⇔
k =
32
3
+
Khi đó góc

1
2
−k
=> OB =
1
2
−k
Vì (d) không đi qua gốc tọa độ O với mọi k
≠
0 và k
≠
1
Nên trong tam giác vuông AOB có:
222
111
OBOAOH
+=
(OH
⊥
AB)
Từ đó OH =
125
2
2
+− kk
Ta có
5
4
5
4

(t>0) => t
2
= 2 + 2
2
1 x−
Khi đó pt (1) trở thành t
2
+ 2t – 8 = 0
⇔
t = 2 hoặc t = -4 (loại)
Với t = 2 ta có
211 =−++ xx

⇔
2
1 x−
=1
⇔
x = 0 (tm)
0,25đ
0,25
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
0,25đ
b) Giải hệ phương trình:







x(3x
2
+ 4x – 4) = 0
⇔
(3x
2
+ 4x – 4) = 0 (do x
≠
0)
⇔
x = -2 hoặc x =
3
2
Vậy hpt có hai nghiệm (x; y) là (-2; 1); (
3
1
;
3
2
)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 5
(3,5 đ)
O
I
E
F
N

Hơn nữa
0
120==
∧∧
BCNMBC
Suy ra
∆
MBC
∆
BCN (c.g.c)
1,25đ
b) Theo câu a ta có:
∧∧
= CBNBMC
Do đó
00
60180 =−=+=+=
∧∧∧∧∧∧
MBCCMBBCMFBCBCMBFM
Mặt khác
0
60==
∧∧
BCABEM
, do đó
∧∧
= BFMBEM
Vậy BMEF là tứ giác nội tiếp
1,0đ
c) Gọi I là giao điểm của BC và EF, ta có:

điểm của BC
Baøi 6
(1,0 đ)
Cm BĐT
cbacba ++
≥++
9111
và áp dụng ta được :
2 2 2 2
1 1 1 9
1
( )x y z xy yz zx xy yz zx x y z
+ + ≥ ≥
+ + + + + + + +
(3)
Lại có : 3(xy+yz+zx)
≤
(x+y+z)
2
Suy ra :
670
)(
2010.32010
2
≥
++
≥
++
zyx
zxyzxy