PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 – 2014
Môn: Toán – Lớp 8
(Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức: A =
( )
2
1
:
1
1
1
1
2
2
233
−
−








−
+

B = x + y + z.
Bài 3. (1,0 điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được
15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút
rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng
đường AB.
Bài 4. (2,0 điểm)
a) Cho
201420132012
cba
==
. Chứng minh rằng: 4(a – b)(b – c) = (a – c)
2
b) Cho a, b, c thỏa mãn:
2014
222
=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
và
2015=
+
+

d) Tìm vị trí điểm I sao cho S
IMN
= 2S
ABC
.
Hết
Họ và tên thí sinh:……………………………………….…Số báo danh:………………
Chữ ký của giám thị số 1:………………………………………….……………………
Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 – 2014
Môn: Toán – Lớp 8
Bài Nội dung Điểm Tổng điểm
Bài 1
a) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ ±1; x ≠ ±
2
(*)
0,5 điểm
2,0 điểm
b) A = (x
2
+ 2x + 1)(x
2
– 2x + 1) .
( )
2
2
2

1
2
xx
x
−
−
=
x
x 2
2
−
0,5 điểm
c) A = x –
x
2
Với x nguyên, để A nguyên thì
x
2
nguyên
⇒ x ∈ Ư(2) ⇒ x ∈ {1; - 1; 2; - 2}
Kết hợp điều kiện (*), ta được: x = ±2
0,5 điểm
d) A > - 1 ⇔
x
x 2
2
−
> - 1 ⇔
x
x 2

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = -3 và x = 4
0,75 điểm
2,0 điểm
b) (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) + 36 =
= (x
2
– 9x + 8)(x
2
– 9x + 20) + 36
Đặt x
2
– 9x + 14 = a thì:
(x
2
– 9x + 8)(x
2
– 9x + 20) + 36 = (a + 6)(a – 6) + 36 =
= a
2
– 36 + 36 = a
2
≥ 0 ∀ a
0,75 điểm
c) Từ giả thiết suy ra: (x + 5y) + (2x + 3z) = 21 + 51
⇔ 3(x + y + z) + 2y = 72
Vì y ≥ 0 nên ⇔ 3(x + y + z) + 2y ≥ 3(x + y + z)
Hay 3(x + y + z) ≤ 72 ⇔ x + y + z ≤ 24
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = 0; x = 21; z = 3
0,5 điểm
Vậy B lớn nhất bằng 24 khi x = 21; y = 0; z = 3

10 −
++
x
=
40
30−x
Giải pt và tìm được x = 160
Vậy quãng đường AB dài 160km
1,0 điểm 1,0 điểm
Bài 4
a)
201420132012
cba
==
=
=
201420122014201320132012 −
−
=
−
−
=
−
− cacbba
⇒ b – a = c – b =
2
ac −
⇒ 2(b – a) = 2(c – b) = c – a
⇒ 4(b – a)(c – b) = (a – c)
2

+
+
222

+
ca
cb
cb
ca
ba
bc
cb
ab
ba
ac
ac
ab
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
ba

∧∧
=
(cùng phụ với
ICB
∧

NBCIAC
∧∧
=
(cùng phụ với
ABC
∧
⇒ ∆CAI ∆CBN (gg)
0,75 điểm
3,0 điểm
b) ∆ABC và ∆INC có:
)90(
0
==
∧∧
NCIBCA
NC
BC
IC
AC
=
(vì ∆CAI ∆CBN)
⇒ ∆ABC ∆INC (cgc)
0,75 điểm
c) Tương tự câu a, ta chứng minh được ∆CAM ∆CBI

NIC
∧
=
ABC
∧
+
NBC
∧
= 90
0
Vậy,
NIM
∧
= 90
0
.
d) Dễ chứng minh được ∆ABC ∆MNI
Vì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng,
nên:
2
2
2
1
22
=⇒=




