PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 – 2015
Môn: Toán – Lớp 7
(Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề)
Bài 1. (1,5 điểm)
a) Cho A =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 3 4 2015 2016
      
− − − − −
 ÷ ÷ ÷  ÷ ÷
      
. So sánh A với
1
2015
−
b) Cho biểu thức A =
3 2
4 3
3 3 2015
3 3 2014
x x x
x x x
− − +
− + +
. Tính giá trị của biểu thức với x =
1

− +
− +
b) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là:
26
;
17 1+
;
3 11
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho biểu thức: C =
( )
( )
2
2
2 1 1
1 2
x
x
− +
− +
a) Chứng tỏ rằng với mọi x, biểu thức C luôn có giá trị là một số dương.
b) Tìm tất cả các số nguyên x, để C có giá trị là một số nguyên.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có
µ
0
90A =
. Vẽ phân giác BD và CE (D thuộc AC, E thuộc
AB) chúng cắt nhau tại O.

0,75đ
1,5đ
b) x =
1
3
⇒
3x = 1 ⇒ 3x – 1 = 0
A =
( ) ( )
( ) ( )
2
3
3 1 3 1 2014
3 1 3 1 2015
x x x
x x x
− − − +
− + − +
Vì 3x – 1 = 0, nên A =
2014
2015
0,75đ
Bài 2
a) 81(x – 1)
2
= 16
( )
2
2
4 4

⇒ x = -3 hoặc x =
5
7
0,5đ
Bài 3
a)
20 35 42
x y z
k= = = ⇒
x = 20k, y = 35k, z = 42k
⇒ B =
3.20 4.35 5.42 130 13
20 2.35 5.42 160 16
k k k k
k k k k
− +
= =
− +
0,75đ
1,5đ
b) 3
11 99=
là số lớn nhất trong ba số.
Xét tổng:
26 17 1 25 16 1 5 4 1 10 100 99 3 11+ + > + + = + + = = > =
Đoạn thẳng dài nhất nhỏ hơn tổng độ dài hai đoạn thẳng kia.
Vậy, tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh nói trên.
0,75đ
Bài 4
a) Ta thấy: 2(x – 1)

+ 2 = 3 ⇒ (x – 1)
2
= 1
Ta tìm được x = 2 hoặc x = 0
0,5đ
c) C nhỏ nhất khi
( )
2
3
1 2x − +
lớn nhất
Vì (x – 1)
2
+ 2 ≥ 2 nên
( )
2
3
1 2x − +

3
2
≤
0,5đ
⇒ 2 –
( )
2
3
1 2x − +
≥ 2 –
3

Suy ra: DA = DM, EA = EN
Dẫn tới: ∆ABD = ∆MBD, ∆ACE = ∆NCE (ccc)
Suy ra:
·
·
·
·
0 0
90 ; 90DMB DAB ENC EAC= = = =
Hay: EN ⊥ BC; DM ⊥ BC
Do vậy: EN // DM.
1,0đ
c) Phân giác BD và phân giác CE cắt nhau tại O cho ta AO
là phân giác góc BAC ⇒
·
0
45OAE =
∆OAE = ∆ONE (ccc) ⇒
· ·
0
45OAE OAE= =
⇒
·
0
45ONM =
(1)
Theo c/m câu b ta thấy, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AMN ⇒ OM = ON hay ∆OMN cân tại O (2)
Từ (1)(2) ⇒ ∆OMN vuông cân tại O
Dễ chứng minh

I
O
D
E
N
M
C
B
A