PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2013 - 2014
Môn: Toán - Lớp 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1.(2 điểm)
a)
Rút gọn: A =
1 1 1 5 1
12
3 3 2 3 6
+ + −
b)
Cho
(
)
(
)
2 2
2014 2014x x y y+ + + +
= 2014. Tính P = x
2013
+ y
2013
Bài 2. (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2

2
không thể trái dấu nhau.
b) Tìm m sao cho:
1 2
x x 1− =
Bài 4.(3 điểm)
Cho hình vuông ABCD. các điểm M, N di động trên các cạnh AD, CD sao cho
·
0
45MBN =
. AC cắt BM và BN lần lượt tại E, F.
a) Chứng minh rằng: ABFM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: MN tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Xác định vị trí của M, N để diện tích
∆
BMN nhỏ nhất.
Bài 5 (1 điểm)
Cho x, y là hai số dương và
x y 1
+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2
2 3
A
xy x y
= +
+

Hết

)
(
)
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2014 2014 2014
2014
2014
2014
2014. 2014
2014
2014
2014 2014
2014 2014
x x y y
x x
y y
y y
x x
y y
x x y y
x y y x
+ + + + =
⇔ + + =


⇔
2 2
2 2
3x 4 6x 4 11 (1)
3 15 6x 15 33 (2)
y y
x y y

− + − = −


− + − = −


Lấy (1) trừ (2), ta có: 11y
2
+ 11y = 22 ⇔ y
2
+y – 2= 0 ⇔ y = 1 hoặc y = -2
* Với y = 1, thay vào (1), ta có pt: 3x
2
+6x + 3=0 ⇔ 3(x+1)
2
= 0 ⇔ x = -1
* Với y = -2, thay vào (1), ta có pt: 3x
2
+6x + 3=0 ⇔ 3(x+1)
2
= 0 ⇔ x = -1

1
1
m và m > -1
3m 1 0 và m 1 0
m
3
3
3m 1 0 và m 1 0 1
m 1
m < và m < -1
3


>


− > + >
>

⇔ ⇔ ⇔



− < + <


< −






∆ ≥



⇔ = + ≥ ⇔ ≥
 
 
= ≥
− ≥





1
m
3
⇔ ≥

Ta có:
( )
2
1 2 1 2 1 2
x x 1 x x 2 x x 1 4m 2 m 1 1− = ⇔ + − = ⇔ − − =

4m 1
4m 2 m 1 1 m 1
2






1
m
4
4m 1
1
1
m (thích hợp)
2m 2 4m 1
m
2
2
2m 2 1 4m
1
m
2

≥


≥




⇔ ⇔ ⇔ =

(3đ)
F
E
H
N
M
D
C
B
A
a) Có
·
·
0
AF 45MBF M= =
Nên tứ giác ABFM có 2 đỉnh A và b kề nhau cùng nhìn cạnh MF dưới
cùng 1 góc. Do đó ABFM là tứ giác nội tiếp.
1đ
3
b) Có ABFM là tứ giác nội tiếp ( câu a) Suy ra
· ·
0
90BAM BFM= =
CMTT câu a) có BCNE cũng là tứ giác nội tiếp
Suy ra
·
·
0
90BEN BCN= =
Do đó

2 2 2 2 3 2 2
DMN DMN
DMN DMN
a DM DN DM DN
DM DN DM DN S S
S a S a
= + + +
≥ + = +
⇒ + ≤ ⇒ ≤ −
Mà S
BMN
=
1
2
(a
2
– S
DMN
) suy ra S
BMN

≥
( )
2
1
2 2 2
2
a−
Dấu "=" xảy ra khi DM = DN. Khi đó BM, BN tạo với Đường chéo BD các
góc bằng nhau bằng 22

+
=
2 2 2 2 2 2
4 3 1 1 1 1 1 4
3 . 3.
2xy x y 2xy 2xy x y 2 xy x 2xy y
 
+ = + + ≥ + =
 ÷
+ + + +
 
2
1 1 12
. 2 12 14
2 xy (x y)
= + ≥ + =
+
.
Dấu “=” xẩy ra khi
x y 1
1
x y
x y
2
+ =

⇔ = =

=
