PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 - 2015
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (1,5 điểm). Cho biểu thức : A=
)2
2
10
(:)
36
6
4
2
1
(
2
3
2
−+
+
−
−
+
−
+
+
x
x
x

a b c
a b c
+ +
+ +
Bài 3. (1,5 điểm).
a) Tìm a, b sao cho đa thức
( )
3 2
f x ax bx 10x 4= + + −
chia hết cho đa thức
( )
2
g x x x 2= + −

b) Tìm số tự nhiên
n
để
2
4 2013n n+ +
là một số chính phương.
Bài 4. (1,0 điểm).
a) Giải phương trình:
40
)3(
9
2
2
2
=
+

C kẻ tia vuông góc với BC, hai tia này cắt nhau tại I.
a) Chứng minh tứ giác AHCI là hình bình hành.
b) Gọi O, M, N lần lượt là trung điểm của BI, AC, BC. Chứng minh AB.OM = MN.HB
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, G, H thẳng hàng và HG = 2GO
Bài 6. (1,0 điểm). Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1)1(
2
1)1(
2
1)1(
2
222222
≤
+++
+
+++
+
+++ accbba
HẾT
Họ và tên thí sinh:
Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh: Phòng thi số:
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHềNG GIO DC & O TO
HUYN KHOI CHU
HNG DN CHM
THI CHN HC SINH GII CP HUYN
Nm hc: 2014 - 2015
Mụn: TON 8

3
2
+
+


+

+
+
x
x
x
x
xx
x
x
=
)2
2
10
(:)
2
2
)2)(2(2
1
(
2
+
+

6
(
+
+
x
xx
=
x2
1
0,25
0,25
b)
3
1
=x
nên x =
3
1
hoặc x = -
3
1
(TMĐKXĐ)
Nếu x =
3
1
thì A =
5
3
Nếu x = -
3

( )
3 3 3
3 3 3
3
3
2 2 2
2 2 2
3 0
3 ( ) 3 ( ) 3 0
3 ( ) 0
( )( 2 ) 3 ( ) 0
( )( ) 0
a b c abc
a b ab a b c ab a b abc
a b c ab a b c
a b c a ab b ac bc c ab a b c
a b c a b c ab ac bc
+ + =
+ + + + + =
+ + + + =
+ + + + + + + =
+ + + + =

a
2
+ b
2
+ c
2
ab ac bc = 0 ( vỡ a +b +c

b,c; (c a)
2


0

a, c.
0,25
Nên (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2

≥
0
∀
a, b,c ;
Do đó (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
= 0
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
⇒
a = b = c
Mà a +b +c

f x ax bx 10x 4= + + −
chia hết cho đa thức
( )
2
g x x x 2= + −
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
( ) ( ) ( )
3 2
ax bx 10x 4= x+2 . x-1 .q x→ + + −
Với
( )
x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1→ →
Với
( )
x=-2 2a-b+6=0 2→
Thay (1) vào (2) . Ta có :
a=-4
và
b=-2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) Giả sử n
2
+ 4n + 2013 = m
2
(m
∈
N)
+ Suy ra

 
⇔
 
− − = =
 
TH3:
2 49 45
2 41 2
m n m
m n n
+ + = =
 
⇔
 
− − = =
 
Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4
(1,0 đ)
a) ĐKXĐ:
3
−≠
x
Khi đó pt
⇔
40
3

(
2
2
=
+
+
+
−
x
x
x
x
x
⇔
040
3
6)
3
(
2
2
2
=−
+
+
+ x
x
x
x
Đặt t =

⇔



=
−=
6
2
x
x
+ Với t = -10, ta có:
3
2
+x
x
= -10
⇒
x
2
+ 10x + 30 = 0
⇔
(x+5)
2
+
5 = 0 (vô nghiệm)
0,25đ
0,25đ
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S =
{ }
6;2−

1
))(())(())((
=
−−
+
−−
+
−−
yzxz
xy
zyxy
xz
zxyx
yz

0,25đ
0,25đ
Bài 5
G
N
M
C
I
O
H
B
A
0,25đ
a) AH // CI (cùng vuông góc với BC)
AI // CH (cùng vuông góc với AB)

AG
GN

Chứng minh
∆
HAG đồng dạng với
∆
ONG (c.g.c)
Suy ra:
∧∧
= OGNAGH

∧
=⇒
0
180HGO
Nên H, G, O thẳng hàng và HG = 2 GO
1,0đ
Áp dụng BĐT x
2
+ y
2

≥
2xy, ta có:
1
1
222
2
22

++ ccabbcaab
=
ababcabca
ab
aababc
a
aab ++
+
++
+
++ 1
1
=
aba
ab
aab
a
aab ++
+
++
+
++ 111
1
=1
Dấu bằng xảy ra
⇔
a = b = c = 1
0,5đ
HẾT