Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier . . . . 8
1.2 Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Khái niệm về biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Công thức tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Biến đổi tích phân Fourier và các tính chất cơ bản 14
2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Biến đổi Fourier - cosine và Fourier - sine . . . . . . . . . . . 44
2.5 Tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Ứng dụng của biến đổi Fourier trong thống kê toán học 57
3.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 62
3.3 Một số định lý quan trọng và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . 72
1
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2
LỜI NÓI ĐẦU
Toán giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọng
hàng đầu của toán học hiện đại. Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi người
quan tâm, nghiên cứu. Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất
nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê,
hải dương học, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác. Ngày nay các
nhà khoa học vẫn đang cố gắng khám phá ra những kết quả có tầm quan
trọng nhằm nâng cao được ứng dụng của nó.

thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô
và các bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Nguyễn Thị Phương
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức
về chuỗi Fourier và biến đổi tích phân.
1.1 Chuỗi Fourier
1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier
Trước hết luận văn sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và một số tính chất quan
trọng của nó.
Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đa được làm
quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội
tụ của nó.
Định nghĩa 1.1.1. Chuỗi hàm dạng
a
0
2
+
∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx) , (1.1)
trong đó a

π
−π
f(x) cos(nx)dx, (1.3)
b
n
=
1
π

π
−π
f(x) sin(nx)dx. (1.4)
Khi đó chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số được xác định theo công thức
(1.2),(1.3),(1.4) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) và ký hiệu
f(x) ∼
a
0
2
+
∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx) . (1.5)
Chú ý rằng vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nên trong các công
thức (1.2), (1.3), (1.4) có thể thay tích phân từ −π đến π bằng cách tích phân
trên đoạn có độ dài 2π bất kỳ.

cos nx.
Nếu f(x) là hàm lẻ thì a
0
= 0, a
n
= 0(n = 1, 2, . . . ) còn
b
n
=
2
π

π
0
f(x) sin(nx)dx, (n = 1, 2, . . . ).
Khi đó
f(x) ∼
∞

n=1
b
n
sin nx.
Tiếp theo ta sẽ đề cập chuỗi Fourier theo Định nghĩa 1.1.2 dưới đây
6
Định nghĩa 1.1.2. [7] Cho f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả
tích trên đoạn [−π, π]. Khi đó các hệ số được xác định bởi
ˆ
f(n) =
1

. (1.8)
Nếu chuỗi Fourier của hàm f hội tụ về đúng hàm f(x) thì
f(x) =
+∞

n=−∞
c
n
e
inx
.
Trường hợp tổng quát, nếu f : [a, b] → C và tuần hoàn với chu kỳ L = b −a
thì hệ số Fourier và chuỗi Fourier được xác định như sau:
ˆ
f(n) =
1
L

b
a
f(x)e
−2πinx/L
dx,
f(x) ∼
+∞

n=−∞
ˆ
f(n)e
2πinx/L

f(x)e
−inx
dx,
ˆg(n) =
1
2π

π
−π
g(x)e
−inx
dx, n ∈ Z.
Nếu ta có hàm f = g thì
ˆ
f(n) = ˆg(n) với mọi n ∈ Z. Nhưng ngược lại, nếu
các hệ số Fourier
ˆ
f(n) = ˆg(n) thì chưa chắc f = g. Ví dụ
f(x) = x
3
+ 2 = g(x) = x + 2 trên [−π, π],
nhưng ta lại có

π
−π
f(x)dx =

π
−π
g(x)dx = 4π.

1
2π

π
−π
g(x)e
−inx
dx, n ∈ Z.
8
Khi đó, ta có
f = g
khi và chỉ khi
ˆ
f(n) = ˆg(n).
Tiếp theo ta nhắc lại một số kết quả về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.
Định lý 1.1.3. [7] Giả sử f là hàm liên tục trên [−π, π], tuần hoàn với chu
kỳ 2π và f(x) ∼

∞
n=−∞
ˆ
f(n)e
inx
có các hệ số thỏa mãn

∞
−∞
|
ˆ
f(n)| < ∞

−π
|f(x)||e
inx
|dx = |
ˆ
f(n)|.
Theo giả thiết

∞
n=−∞
|
ˆ
f(n)| < ∞nên theo dấu hiệu Weierstrass thì S
N
(f)(x)
hội tụ đều đến hàm liên tục g(x) và suy ra
g(x) =
∞

n=−∞
ˆ
f(n)e
inx
= lim
N→∞
∞

n=−∞
ˆ
f(n)e

k
. Và khi k ≥ 2
thì ta có chuỗi Fourier hội tụ đều trên [−π, π].
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ đi tìm hiểu về tích phân Fourier và mối
liên hệ của nó với chuỗi Fourier.
1.2 Tích phân Fourier
1.2.1 Khái niệm về biến đổi tích phân
Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm f(x) xác định trên [a, b]. Khi đó
F{f(x)} = F (k) xác định bởi
F{f(x)} = F (k) =

b
a
K(x, k)f(x)dx. (1.10)
được gọi là biến đổi tích phân của hàm f, trong đó K(x, k) được gọi là nhân
của biến đổi, là hàm số với hai biến x và k .
Toán tử F thường được gọi là toán tử biến đổi tích phân hoặc đơn giản là
phép biến đổi tích phân. Biến k của hàm biến đổi F (k) gọi là biến biến đổi.
Tương tự, biến đổi tích phân của một hàm nhiều biến xác định bởi
F{f(x)} = F (k) =

S
K(x, k)f(x)dx, (1.11)
trong đó x = (x
1
, x
2
, , x
n
), k = (k


b
a
[αf(x) + βg(x)]K(x, k)dx
= αF{f(x)} + βF{g(x)}.
1.2.2 Công thức tích phân Fourier
Một hàm f(x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng
−a < x < a, nếu
(i) f(x) chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn hữu hạn trong khoảng −a < x < a
và không có điểm gián đoạn vô hạn.
(ii) f(x) chỉ có một số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong khoảng
−a < x < a.
Từ lý thuyết của chuỗi Fourier ta biết rằng nếu f(x) thỏa mãn điều kiện
Dirichlet trong khoảng −a < x < a thì nó có thể biểu diễn như là chuỗi
Fourier phức tạp
f(x) =
∞

n=−∞
a
n
exp(inπx/a), (1.13)
trong đó các hệ số a
n
được xác định bởi
a
n
=
1
2a

n=−∞
(δk)


a
−a
f(ξ) exp(−iξk
n
)dξ

exp(ixk
n
). (1.15)
Khi cho a → ∞, k
n
trở thành biến số k liên tục và δk thành dk. Như vậy,
tổng trên có thể thay thế bởi tích phân trong giới hạn này và (1.15) được quy
về kết quả sau
f(x) =
1
2π

∞
−∞


∞
−∞
f(ξ)e
−ikξ

∞
−∞
e
ikx


∞
−∞
f(ξ)e
−ikξ
dξ

dk. (1.18)
12
Nếu hàm f(x) liên tục tại x thì f(x + 0) = f(x −0) = f (x). Khi đó công
thức (1.18) trở thành công thức (1.16).
Ta biểu diễn nhân tố mũ exp [ik(x − ξ)] trong (1.16) về hàm lượng giác
và sử dụng tính chẵn lẻ của hàm cosine và hàm sine tương ứng như hàm của
biến k, vì thế (1.16) có thể viết như là
f(x) =
1
π

∞
0
dk

∞
−∞
f(ξ) cos k(x − ξ)dξ. (1.19)

Từ chuỗi Fourier và tích phân Fourier đã nghiên cứu ở trên, sau đây ta sẽ đi
tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier và các tính chất của nó trong chương
tiếp theo.
13
Chương 2
Biến đổi tích phân Fourier
và các tính chất cơ bản
2.1 Định nghĩa và ví dụ
Chúng ta sử dụng công thức tích phân Fourier (1.16) để đưa ra định nghĩa
cơ bản nhất của biến đổi Fourier.
Định nghĩa 2.1.1. [6] Biến đổi Fourier của f(x) được ký hiệu bởi
F{f(x)} = F (k), k ∈ R, được xác định bởi tích phân
F{f(x)} = F (k) =
1
√
2π

∞
−∞
e
−ikx
f(x)dx, (2.1)
trong đó F được gọi là toán tử biến đổi Fourier hay biến đổi Fourier và
1
√
2π
thu được bằng cách tách
1
2π
trong công thức (1.16). Nó thường được gọi là

được gọi là toán tử biến đổi Fourier ngược.
Ta thấy cả F và F
−1
là toán tử tích phân tuyến tính. Trong toán ứng
dụng, x thường được biểu diễn là một biến không gian và k = (
2π
λ
) là một
biến bước sóng, trong đó λ là bước sóng. Tuy nhiên, trong kỹ thuật điện, x
được thay thế bằng biến thời gian t và k được thay thế bởi tần số w = 2πν,
trong đó ν là tần số trong chu kỳ mỗi giây. Hàm F (w) = F{f(t)} được gọi là
phổ của hàm tín hiệu theo thời gian f(t). Trong lý luận kỹ thuật điện, biến
đổi Fourier được định nghĩa theo cách sau
F{f(t)} = F (ν) =

∞
−∞
f(t)e
−2πνit
dt, (2.3)
và biến đổi ngược của nó
F
−1
{F (ν)} = f(t) =

∞
−∞
F (ν)e
2πiνt
dν =

2π

∞
−∞
e
−ikx−ax
2
dx
=
1
√
2π

∞
−∞
exp

−a(x +
ik
2a
)
2
−
k
2
4a

dx
=
1

−∞
e
−a(x
2
+y
2
)
dxdy
Đặt: x = r cos θ, y = r sin θ. Khi đó
I
2
=

2π
0


∞
0
e
−a(r
2
cos
2
θ+r
2
sin
2
θ)
rdr

∞
0

dθ
=

2π
0
1
2a
dθ
=
1
2a
θ



2π
0
=
π
a
.
Suy ra I =

π
a
. Khi đó
F (k) =

2
/2
. (2.6)
Điều này chỉ ra rằng F{f(x)} = f(k). Đồ thị của hàm f(x) = exp(−ax
2
) và
biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1 được minh họa bằng Hình 2.1.
16
Hình 2.1: Đồ thị hàm f(x) = exp(−ax
2
) và F(k) với a = 1.
Ví dụ 2.1.2. Tìm biến đổi Fourier của exp(−a|x|).
Ta sẽ đi chứng minh
F{exp(−a|x|)} =

2
π
·
a
(a
2
+ k
2
)
, a > 0. (2.7)
Theo định nghĩa
F{e
−a|x|
} =
1


1
a + ik
+
1
a − ik

=

2
π
a
(a
2
+ k
2
)
.
Ta chú ý rằng f(x) = exp(−a|x|) giảm nhanh về 0 và không khả vi tại x = 0.
Đồ thị của f(x) = exp(−a|x|) và biểu diễn Fourier của nó ứng với a = 1 được
minh họa bằng Hình 2.2.
Ví dụ 2.1.3. Tìm biến đổi Fourier của
f(x) =

1 −
|x|
a

H


1
√
2π

a
−a
e
−ikx

1 −
|x|
a

dx
=
2
√
2π

a
0

1 −
x
a

cos(kx)dx
=
2a
√

18
=
a
√
2π

1
0
d
dx

sin
2
(
akx
2
)
(
ak
2
)
2

dx
=
a
√
2π
sin
2

1
√
2π

∞
−∞
e
−ikx
χ
[−a,a]
(x)dx
=
1
√
2π

a
−a
e
−ikx
dx =

2
π

sin(ak)
k

.
Đồ thị của hàm f(x) = χ

sự hội tụ. Tính chất giảm nhanh về 0 và khả vi vô hạn của hàm tốt dẫn đến
biến đổi Fourier của một hàm tốt cũng là một hàm tốt.
Một hàm tốt cũng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hàm suy rộng.
Một hàm tốt có giá bị chặn là một dạng đặc biệt của hàm tốt mà có vai trò
to lớn với lý thyết hàm suy rộng. Một hàm tốt cũng có các tính chất quan
trọng sau
• Tổng của hai hàm tốt là một hàm tốt.
• Tích và tích chập của hai hàm tốt cũng là một hàm tốt.
• Đạo hàm của một hàm tốt là một hàm tốt.
20
Một hàm tốt thì thuộc lớp các hàm khả tích Lebesgue L
p
với mọi 1 ≤ p ≤ ∞.
Tích phân của một hàm tốt không nhất thiết phải là tốt. Tuy nhiên, nếu φ(x)
là một hàm tốt, khi đó với mọi x hàm g xác định bởi
g(x) =

x
−∞
φ(t)dt
là hàm tốt khi và chỉ khi

∞
−∞
φ(t)dt tồn tại.
Những hàm tốt không chỉ liên tục mà còn liên tục đều và liên tục tuyệt
đối trong R. Tuy nhiên, một hàm tốt không nhất thiết phải có khai triển
Taylor trong mọi khoảng. Ví dụ, xét một hàm tốt có giá bị chặn
g(x) =


−1
không là
hàm tốt vì nó giảm quá chậm khi |x| → ∞.
Một dãy các hàm tốt {f
n
(x)} được gọi là đều nếu với bất kỳ hàm tốt g(x)
nào có
lim
n→∞

∞
−∞
f
n
(x)g(x)dx (2.12)
tồn tại. Ví dụ, f
n
(x) =
1
n
φ(x) là dãy hàm đều cho bất kỳ hàm tốt φ(x) nào,
nếu
lim
n→∞

∞
−∞
f
n
(x)g(x)dx = lim

hàm suy rộng f(x) lên hàm tốt g(x) hay f, g đại diện cho số các hàm f liên
hợp với g. Nếu f là một hàm thông thường thì (1 + x
2
)
−N
f(x) là một hàm
khả tích trên (−∞, ∞) với mỗi N, khi đó hàm suy rộng f tương đương với
hàm thông thường xác định nhờ một dãy các hàm tốt f
n
(x) sao cho mọi hàm
tốt g(x) thì
lim
n→∞
∞

−∞
f
n
(x)g(x)dx =
∞

−∞
f(x)g(x)dx. (2.15)
Ví dụ hàm suy rộng tương đương với 0 có thể biểu diễn được bởi một trong
hai dãy
φ
n
(x)
n
và

g(x)dx. (2.17)
Hàm suy rộng H(x) tương đương với chuẩn thông thường
H(x) =





0 nếu x < 0,
1 nếu x > 0,
(2.18)
22
vì hàm suy rộng được xác định thông qua tác động trên tích phân của những
hàm tốt, giá trị của hàm H(x) tại x = 0 không có nghĩa.
Hàm dấu sgn(x) cho bởi
∞

−∞
sgn(x)g(x)dx =
∞

0
g(x)dx −
0

−∞
g(x)dx (2.19)
với mọi hàm tốt g(x). Do đó, sgn(x) có thể đồng nhất với hàm thông thường
∞


∞

−∞
I(x)g(x)dx
=
∞

0
g(x)dx −
∞

−∞
g(x)dx
=
∞

0
g(x)dx −
0

−∞
g(x)dx.
Năm 1926, Dirac giới thiệu hàm delta δ(x) có tính chất sau
δ(x) = 0, x = 0,
∞

−∞
δ(x)dx = 1. (2.22)
23
Hàm delta Dirac δ(x) xác định với mọi hàm tốt φ(x)


−∞
δ
n
(x)dx = 1
và
lim
n→∞
∞

−∞
δ
n
(x)dx =
∞

−∞
δ(x)dx = 1
như mong đợi. Vì vậy hàm delta Dirac có thể xem như giới hạn của một dãy
hàm các hàm thông thường, ta viết
δ(x) = lim
n→∞

n
π
exp(−nx
2
). (2.24)
Đôi khi, hàm δ(x) có thể xác định qua tính chất cơ bản sau
∞