SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Mục lục
A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………… 2
I. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………… 2
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………2
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………2
IV. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………… 2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………………………………… ……3
I. Cơ sở lý luận………………………………………………………… 3
II. Thực trạng và giải pháp……………………………………………….4
1. Phương trình chứa tham số…………………………………… 4
2. Bất phương trình chứa tham số……………………………… 13
III. Hiệu quả của đề tài………………………………………………….19
C. KẾT LUẬN…………………………………………………………………19
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
1
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học
sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến
nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số. Khi giảm tải chương
trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể
vận dụng được nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách
giải khác như hàm số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa
tham số dẫn đến cách giải phức tạp do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần
này. Với việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì phần
lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số sẽ được giải
quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu. Đó là lí do để tôi chọn đề tài :

Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây: Giả sử f(x) là hàm số liên tục
trên miền D, và tồn tại
Dx
)x(fmaxM
∈
=
,
Dx
)x(fminm
∈
=
. Khi đó ta có
1. Hệ phương trình



∈
=
Dx
αf(x)
có nghiệm khi và chỉ khi
Mαm ≤≤
.
2. Hệ bất phương trình



∈
≥
Dx

α≤
.
Chứng minh
1. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại
0
x
D
∈
sao cho
α=)x(f
0
. Theo định nghĩa ta có
DxDx
)x(fmax)x(f)x(fmin
0
∈∈
≤≤
, hay

DxDx
)x(fmax)x(fmin
∈∈
≤α≤
.
Đảo lại, giả sử
DxDx
)x(fmax)x(fmin
∈∈
≤α≤
. Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó

α≥)x(f
0
.
Rõ ràng là
α≥≥
∈
)x(f)x(fmax
0
Dx
.
Đảo lại, giả sử
α≥
∈Dx
)x(fmax
(1)
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
3
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là
α<)x(f
,
Dx
∈∀
từ
đó suy ra
α<
∈Dx
)x(fmax
(2)

)x(fminm
∈
=
nên theo định
nghĩa tồn tại
Dx
0
∈
mà m =
)x(f
0
. Từ
α≥⇒α≥ m)x(f
0
. Như vậy ta có
đpcm.
(4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3).
II. Thực trạng và giải pháp.
1. Phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( )
2x2x44m)2x2)(x4(2x6 −+−+=−−++
Hướng dẫn giải
Điều kiện
4x1
02x2
0x4
≤≤⇔



⇔−=−⇔=
Từ đó ta có bảng biến thiên
x 1 3 4
f’(x) + 0 -
f(x) 3
3

6
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
4
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số

3)x(fmin
4x1
=
≤≤
và
3)x(fmax
4x1
=
≤≤
từ đó suy ra khi
4x1
≤≤
, thì
3t3 ≤≤
Từ
2x2x4t −+−=


≤≤
và
1)t(gmax
3t3
=
≤≤
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
⇔
m)t(gmin
3t3
≤
≤≤
3t3
)t(gmax
≤≤
≤

1m0 ≤≤⇔
.
Ví dụ 2. Cho phương trình
mx62x62x2x2
4
4
=−+−++
.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Đặt f(x)
x62x2 −+=

3
4
3
)x6()x2(2
)x2()x6(
)x('g
−
−−
=
, bảng biến thiên
x 0 2 6
g’(x) + 0 -
g(x)
Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x),
6x0 ≤≤
như sau
x 0 2 6
h’(x) + 0 -
h(x)
Ta có
}{
3212)6(h)6(h);0(hmin)x(hmin
4
6x0
+===
≤≤
và
236)2(h)x(hmax
6x0
+==

SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Điều kiện:
1x
≥
pt(1)
4
1x
1x
2m
1x
1x
3
+
−
=+
+
−
⇔

Đặt t =
4
1x
1x
+
−
do
0
1x
2

f’(t) + 0 -
f(t)

3
13
1
)
3
1
(f)t(fmax
1t0
==
<≤
; còn
1)t(flim
1t
−=
−
→
(chú ý rằng ở đây không tồn tại
1t0
)t(fmin
<≤
)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
3
1

→
>
1t
)t(flimm
).
2. Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét
Tìm m để hệ



<≤
=−+−=
)2(1t0
)1(0mt2t3)t(f
2
có nghiệm
Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm
TH1) Phương trình (1) vô nghiệm
⇔
0'<∆
3
1
m0m31 >⇔<−⇔
TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2)
⇔
21
t10t ≤<<
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
7
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải

m
21
21
⇔







≤+−
<
≤
01
3
2
3
m
0m
3
1
m
⇔
m
1−≤
Do đó hệ vô nghiệm khi









−≥
=−+
⇔
)2(
2
1
x
)1(mx1x4x3
2
.
Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên








−≥
=
−+
=
⇔
)4(

2
9
m ≥
.
Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét.
Tìm m để hệ





−≥
=−−+
)2(
2
1
x
)1(01x)m4(x3
2
có hai nghiệm phân biệt.
Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm
21
x,x
sao cho
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
8
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
2
1



−>+
≥+++
⇔
1xx
0
4
1
)xx(
2
1
xx
21
2121
Áp dụng định lý Viét ta có







−>
−
≥+−
−
1
3
4m

=−−++
.Tìm m để phương
trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
[ ]
3
3;1
.
Hướng dẫn giải
Đặt
1xlogt
2
3
+=
. Khi
3
3x1 ≤≤
2t1 ≤≤⇒
.
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình



≤≤
=−+=
)2(2t1
)1(m22tt)t(f
2
có
nghiệm
Ta có

x11
2
x11
=+++−
−+−+
Hướng dẫn giải
Đặt
t3
2
x11
=
−+

9t3 ≤≤⇒
. Ta có phương trình
)2t(m1t2t
2
−=+−
. (1)
Do
02t9t3 ≠−⇒≤≤
. Nên phương trình (1)
m
2t
1t2t
2
=
−
+−
⇔

f’(t) +
f(t)
7
64
)9(f)t(fmax
9t3
==
≤≤
;
4)3(f)t(fmin
9t3
==
≤≤
Vậy các giá trị m cần tìm là:
7
64
m4 ≤≤
.
Ví dụ 7. Cho phương trình
0mx2sin2x4cos)xcosx(sin2
44
=++++
. (1)
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn







;0
1t0 ≤≤⇒
.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
10
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ



≤≤
=−−=
)4(1t0
)3(m3t2t3)t(f
2
Ta có
2t6)t('f −=
và có bảng biến thiên sau:
t
0
3
1
1
f’(t) - 0 +
f(t)
0
3
10
)

0v;0u2yv ≥≥⇒+=
. Bài toán trở thành tìm m để hệ sau
có nghiệm:





≥≥
+=+
=+
0v;0u
3m3vu
mvu
22
. Nếu
0m ≤
hệ vô nghiệm.
Hệ đã cho



≤≤
=−−+−=
⇔
mu0
0)3m3m(mu2u2)u(f
22
Do đó ta cần tìm m để cho
≤≤

2
m
(f)u(fmin
2
mu0
−−
==
≤≤
Nên
≤≤
≤≤
0)u(fmin
mu0
mu0
)u(fmax
≤≤
⇔

≤≤
−−
0
2
6m6m
2
3m3m
2
−−
153m
2
213

)xcos1(mx2sin22 +=+
( ĐS:
2m0 ≤≤
)
3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
xsinxcosxsin
222
3m32 =+
(ĐS:
4m1
≤≤
)
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng
[
)
∞+;32

)3x(logm3xlog2xlog
22
2
2
−=−−
(ĐS:
3m1 ≤<
)
5. Tìm m để hệ sau có nghiệm





thì điều đó
cũng đúng khi
6x;1x;4x ==−=
, tức là
6m
51m
024m
024m
≥⇔





≥−
≥+
≥+
Điều kiện đủ

: Giả sử
6m ≥
Ta có
[ ]
6;4x,51m)1x(mx2x
22
−∈∀≥−+−=+−
.
Theo bất đẳng thức Côsi
với
[ ]

++−
với
6x4 ≤≤−
2x2)t('g +−=⇒
.
Ta có bảng biến thiên sau:
x - 4 1 6
g’(x) + 0 -
g(x) 25
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
13
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
25)1(g)x(gmax
6x4
==
≤≤−
,
{ }
0)6(g);4(gmin)x(gmin
6x4
=−=
≤≤−
⇒
5t0 ≤≤
Bài toán đã cho có dạng: Tìm m để bất phương trình
0m24tt)t(f
2
≤−−+=





≤−−
≤
⇔
0)5t)(5t(
0tt
21
21
6m
0m6
0m24
≥⇔



≤−
≤−−
⇔
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
6m ≥
.
Cách 3.(Phương pháp đồ thị).
Đặt
)x6)(4x(y −+=
, thì y
0≥
và ta có


luôn nằm trên nửa
đường tròn
)x6)(4x(y −+=
.
Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5)
⇔
6m51m =⇔=−
Vậy bất phương trình có nghiêm khi
6m ≥
.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
14
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
x
y
-4
1
6
5
Cách 4. Viết lại bất phương trình dưới dạng

mx2x24x2x)x(f
22
≤+−++−=
Ta có:
1x0
24x2x
)24x2x21)(x1(
)x('f

đúng với mọi x
[ ]
4;2−∈
.
Hướng dẫn giải
Bất phương trình đã cho
⇔
m108x2x4)8x2x(
22
−≥−−+−+−−
(1)
Đặt
8x2xt
2
++−=
. Ta có
99)1x(8x2xt
222
≤+−−=++−=
⇒
3t0 ≤≤
.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
15
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình
m10t4t)t(f
2
≤+−=

2
+<+
Hướng dẫn giải
Vì
019x2
2
>−+
,
Rx
∈∀
nên bất phương trình đã cho
⇔
m
19x2
x
2
−+
<
)x(f=

⇔
m
<
R
)x(fmin
Ta có f’(x)



=

3
−

2
1
R
)x(fmin
4
3
−=
.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
16
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x
R
∈
thì m
4
3
−<
Ví dụ 4. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm
1m3xmx +≤−−
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x
3≥
Khi đó bất phương trình
⇔
)x(f

−−
−−−
=

327x0)x('f −=⇔=
Bảng biến thiên:
x

3
327 −
+
∞
f’(x) + 0 -
f(x)

4
31+
2
1
0
Suy ra
[
)
=
∞+∈ ;3x
)x(fmax
4
31+
.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi

−≤
)2(3x
2
1
)1()1x(mx
2
Do x = 1 không phải là nghiệm của (1) với mọi m
nên hệ (1)(2)

















<≤
≥
−
=



≥
≤
<≤
≤<
1x
2
1
3x1
m)x(fmax
m)x(fmin
. Ta có



=
=
⇔=
−
−
=
2x
0x
0
)1x(
x2x
)x('f
2
2


;
4)2(f)x(fmin
3x1
==
≤≤
Vậy các giá trị cần tìm của m là




−≤
≥
2
1
m
4m
Bài tập:
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
18
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
1. Cho bất phương trình
0)x2(x)12x2x(m
2
≤−+++−
. Tìm m để bất
phương trình có nghiệm x
[ ]
31;0 +∈
.

có nghiệm.
5. Tìm m để hệ sau có nghiệm



≥−−−−
≤−
0m20m2xx2x
0x3x
23
2
III. Hiệu quả của đề tài.
Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học
sinh tiếp thu và vận dụng tốt.
Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều bài và vận dụng được.
Lớp
12A1
Dùng điều kiện cần và đủ
và sử dụng đồ thị
Dùng định lý Viét Dùng GTLN,GTNN
50 HS
17% học sinh hiểu bài
8% học sinh vận dụng được
55% học sinh hiểu
và vận dụng được
75% học sinh hiểu
và vận dụng được
C. KẾT LUẬN
Qua các ví dụ vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc ứng dụng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán chứa tham số là