Bài 3.4/ Chứng minh rằng
*
Nn ∈∀
, ta có:

23.
1
1
+
−n
n
c
13
3
2
2
4 333.
−−−
=+++
n
n
n
n
n
n
n
nn
ccc
Hướng dẫn: áp dụng với f (x)= (3 + x)
n
lấy đạo hàm 2 vế và chọn x =1

9

HD:
2 3 5
(1 )x x x+ + +
5 3 5
(1 ) (1 )x x= + + =
5 5
3
5 5
0 0
. ( )
k k l l
k l
C x C x
= =
∑ ∑
5 5
3
5 5
0 0
k l k l
k l
C C x
+
= =
=
∑ ∑
Giải k+3l = 9 tìm được (k,l) là (3,2) hoặc (3,0) => a
9

+x
2
(1+3x)
10
ĐS: 3320
Bài 1.5/ (ĐH KA - 2006)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
7
4
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
,
biết rằng
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = −
. ĐS: n =10 , hsố = 210.

+ + + = +

Giải: Ta có:
( ) ( )
ccccccc
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
21121
2
+++++
+++=++
=
cc
k
n
k
n
2

k k k k
n n n n
C C C C
+ + +
+ + +
=
( ) ( ) ( )
cccccc
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
32211
2
+++++
+++++
=
ccc
k
n
k
n

n
k
n
3
3
3
2
2
2
3
1
2
1
2
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

6
)12)(1( ++ nnn
(quy nạp).
Do:
,
11
1
ccc
k
n
k
n
k
n
++
+
−=
ta có:
ccc
nnn
33
1
2
−=
+
;
ccc
nnn
3
1

2

+−
=++++
VP =
=
++
=
−+
+
+
=+
++
6
)12)(1(
6
)1().1(
2
2
)1(
2
3
1
2
1
nnnnnnnn
cc
nn
VT



Đạo hàm hai vế của (1) ta được
( )
1
1
1
0
1 ( )
n
n
k n k
n
k
n x n k C x
−
−
− −
=
+ = −
∑

Suy ra
( ) ( ) ( )
1
1
0
1 2 .
n
n
k n k

 
∑
Thay
1x =
vào (3) ta được đpcm.
+/ Dạng tổng liên quan đến tích của hai khai triển
∑
=
n
k
k
n
c
0
.c
kp
m
−
.
Bài 2.4/ Chứng minh rằng với m,n,k là các số tự nhiên, m
nk ≤≤
, ta có:
a/
ccccccc
k
nm
mk
m
m
m

c
n
0
2
)
2
-(
c
n
1
2
)
2
+(c
2
2n
)
2
+ (
c
n
n
2
2
)
2
= (-1)
n
c
n

nk
≤≤
nên hệ số của x
k
trong VT này là
cccccc
mk
n
m
m
k
nm
k
nm
−−
+++
110
VP = (
nm
nm
nmnmnm
xx
ccc
+
+
+++
+++
10
). Hệ số của x
k

(1-x)
2n
= (1-x
2
)
2n
(*).
Tổng các chỉ số trên trong mỗi số hạng bằng 2n. Vậy ta chỉ cần xác định hệ số của x
2n
trong khai triển của đẳng thức (*)của 2 vế và đồng nhất hệ số đó ở 2 vếc, ta sẽ được
đẳng thức cần c /m.
+/ Tổng
1
1
n
k n k k
n
k
k C a b
− −
=
× × ×
∑
có liên quan đến công cụ đạo hàm
Bài 2.5/ Chứng minh đẳng thức:
n.4
n-1
.
ccccccc
n

n-1
= 2n.
c
n
0
(2x)
n-1
- 2(n-1).
2.)1( )2()2(2)2(
1
13
2
2
1
ccc
n
n
nn
n
n
n
xnx
−
−−−
−+−−+
Cho x = 2 , ta được đfcm.
Nếu cần chứng minh có liên quan đến tổng
∑
=
n

1
2
0
−+
+
=
+
−+−+−
+
nn
cccc
n
n
nn
nnn
Giải: Ta có: (1 - x)
2
=
n
n
n
n
nnn
xxx
cccc
)1(
2
210
−+−+−
Lấy tích phân 2 vế (từ 0 đến 2) ta có:

n
nnn
n
1
2
32
10
2
1
)1(
2.
3
1
2
2
1
+
+
−
+−+−
(1)
Mặt khác ta có: Đặt 1 - x = u => du = -dx. Đổi cận:



−=
=
<=>



−
+
=−=−
∫∫
nnnn
n
u
n
duudxx
=
))1(1(
1
1
n
n
−+
+
(2)
So sánh (1) và (2) ta có đpcm.
Bài 3.3/ Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn
sách toán,
4 cuốn sách lý và 3 cuốn sách hóa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6
học
sinh A,B,C,D,E,F mỗi em 1 cuốn.
a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2
thể loại toán và lý. Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?
b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại sách
trên đều còn lại ít nhất 1 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải : a/ Có
6

Số cách chọn ra 6 cuốn thỏa mãn yêu cầu là :
6
12
C
- (
5 1
5 7
.C C
+
4 2
4 8
.C C
+
3 3
3 9
.C C
) = 805
Đem 6 cuốn đó tặng cho 6 học sinh có 6! cách
Vậy có cả thảy 6!805 = 579600 cách tặng thỏa mãn yêu cầu .
BàI TậP THÊM:
3.6/ Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4 ?
3.7/ Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A
mà có số phần tử là số chẵn ?

3.8/ Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh
có 4 nam và 1 nữ ?
3.9/ Một đội văn nghệ gồm 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một
nhóm 5 người sao cho trong đó có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ ?

1C −
+
7
11
1C −
+
7
9
C

= 1157
ngâu nhiên cung môt luc 7 viên bi .

Tinh xac suât đê cac bi đươc lây ra co đu ca ba
mau . cach lây tuy y 7 bi tư 16 bi la cách lấy tùy ý 7 bi
Suy ra sô kêt qua thuân lơi cho biên cô: 11440 1157 = 10283
5
Vây xac suât đê cac bi đươc lây ra co đu ca 3 mau băng y xác suất để các bi được lấy ra
có đủ cả 3 màu bằng
10283
( )
11440
P A =
Bài 4.3/ Có 2 hộp, mỗi hộp đựng các quả cầu trắng và đen giống hệt nhau về kích thước
và hình dạng. Tổng số quả cầu ở hai hộp là 25. Từ mỗi hộp lấy ra 1 quả cầu. Biết xác
suất lấy được 2 quả trắng là 0,54 , hãy tính xác suất để lấy được 2 quả cầu đen .
Giải :
Gọi m
1
, m

1 1 2 2
0 ;0k m k m≤ ≤ ≤ ≤
Xác suất để lấy được 2 quả cầu trắng là
1 2
1 2
(2 ) 0,54
k k
P T
m m
= × =
=> 50k
1
k
2
= 27m
1
m
2
(2)
Từ (2)
1
2
5
5
m
m

⇒



k
2
= 54 . Do ĐK nên suy ra k
1
= 3 , k
2
= 18
 số quả cầu đen trong 2 hộp đều là 2 => XS lấy được 2 quả đen là
2 2
0,04
5 20
× =
TH1. m
1
= 10 , m
2
= 15 từ (2) => k
1
k
2
= 81. Suy ra k
1
= k
2
= 9 =>: số quả cầu đen tương
ứng trong hộp I và II là 1 và 6 => XS lấy được 2 quả đen là
1 6
0,04
10 15
× =

8
biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
2 3
1 7 1
n n
C C n
+ =
2/ Có 2 xạ thủ loại 1 và tám xạ thủ loại 2, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ
theo thứ tự là 0, 9 và 0,8.
Lấy ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất viên đạn
đó trúng đích.
6