Đặt vần đề:
Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm
lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên
tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết.
Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không
tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển
cần được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự
nhiên đặc biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS
đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được
xem nhẹ vấn đề này. Qua một bài toán có thể phát triển tư duy lô gíc, tư
duy trừu tượng, tư duy lí luận của học sinh. Điều quan trọng là giáo
viên truyền thụ kiến thức như thế nào để phát triển tư duy của học sinh
một cách tốt nhất.
Trong thực tế học sinh thường thụ động tiếp thu kiến thức, thường làm bài
tập một cách máy móc, không linh hoạt và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả
bài toán. Với bài toán đó nếu được biến đổi thành bài toán khác thì đa số
học sinh không nhận ra, lúng túng và không làm được. Đây là cách học
hết sức nguy hiểm cho học sinh lười học và không phát triển được tư duy.
Đối với môn Toán bài tập rất phức tạp và đa dạng, học sinh không thể làm
hết được bài tập mà chỉ nắm được dạng bài tập nên học sinh cần hiểu
được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh,
sau đó tạo ra bài toán mới, dạng toán mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát
triển được tư duy.
Bất đẳng thức là dạng bài tập khó trong các dạng bài tập ở THCS, bất
đẳng thức yêu cầu tư duy rất cao, sự nhạy cảm toán học cũng như kĩ năng
của môn Đại Số. Nếu học sinh biết cách giải một số bài tập bất đẳng thức
cùng dạng thì đã thực sự trưởng thành về mặt tư duy toán học. Những bài
tập bất đẳng thức rất đa dạng học sinh không thể làm hết mà chỉ có thể
nắm được một số dạng, chính vì vậy học sinh cần nắm được bản chất của
bài tập và phân loại bài toán là việc vô cùng cần thiết. Vì vậy mà giáo

trong quá trình ôn thi HSG là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình
thành và phát triển tư duy ở mức độ cao hơn.
2. Cơ sở thực tiễn:
Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn,
trường có 8 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn học sinh chăm học, ý
thức tốt nhưng tác phong tư duy và tác phong học tập chưa đúng làm cho
kết quả của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi. Chính
vì vậy vấn đề ôn thi HSG cần được đẩy mạnh. Năm học 2006-2007, tôi
được phân công dạy đội tuyển Toán 9 và Giải toán trên máy tính, số
lượng được dự thi là 4HS. Tôi lựa chọn 6 HS để ôn thi và nhằm phát triển
tư duy cho nhóm HS đó. Mục “phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài
chứng minh bất đẳng thức” nằm trong chuyên đề bất đẳng thức được thực
2
hiện trong 3 đến 4 tiết gồm hệ thống bài tập trên lớp và hệ thống bài tập
tương tự giao về nhà cho HS
Phần 4. Nội dung:
Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học
cơ sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó.
Bài toán xuất phát:
Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a
3
+b
3

≥
ab(a+b). (*)
Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với :
⇔ (a+b)(a
2
–ab+b


≥
ab
⇔ ( a - b)
2

≥
0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không
có gì mới lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập
này. GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng:
Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm. Nếu a,b là các số
dương thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng
thức khác?
Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức:
⇔
3
a
b
+ b
2

≥
a(a+b) ( do b>0)
⇔
3
a
b
+ b

3

3
a
b
+
3
b
c
+
3
c
a

≥
ab +bc+ca
Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật
của bất đẳng thức CôSi thì rất khó.
Học sinh có thể thử bằng cách như sau:
3
a
b
+ b
2

≥
2a
ab
dấu “=” xảy ra
khi a = b

3
c
a

≥
2a
ab
+2b
bc
+2c
ac
- (a
2
+b
2
+c
2
)
Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi:
Hai bất đẳng thức
3
a
b
+
3
b
c
+
3
c

)
thì bất đẳng thức nào chặt hơn?
Cách làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ
nhận thấy ab +bc+ca
≥
2a
ab
+2b
bc
+2c
ac
- (a
2
+b
2
+c
2
)
GV yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh.
Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số
dương, ta có hướng biến đổi khác:
Từ a
3
+b
3

≥
ab(a+b) (*) suy ra:
3 3
a

+
+
3 3
cb
c b
+
+
3 3
a
ac
c
+

≥
2(a+b+c)
Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều
cách nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cô si
3 3
a
ab
b
+

≥

ab
abab2
= 2
ab
4

b
+
+
3 3
cb
c b
+
+
3 3
a
ac
c
+

≥
2(a+b+c)

3 3
a
ab
b
+
+
3 3
cb
c b
+
+
3 3
a

cb
c b
+
+
3 3
a
ac
c
+

≥
2
ab
+ 2
bc
+ 2
ca
hay hơn bất
đẳng thức trong bài tập 3.
Ta có bài tập sau:
Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

3 3
a
ab
b
+
+
3 3
cb

≥
3ab(a+b)
⇔ 4(a
3
+b
3
)
≥
a
3
+ b
3
+ 3ab(a+b).
⇔ 4(a
3
+b
3
)
≥
(a+b)
3
.
Từ đó ta đề xuất được bài toán mới:
Bài 5: Với a,b,c dương chứng minh rằng:
8(a
3
+b
3
+c
3

)
≥
(a+c)
3
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải
chứng minh.
Ta áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương của vế phải bài 5 thì được
điều gì?
5
Học sinh thấy ngay (a+b)
3

≥
(2
ab
)
3
= 8ab
ab
(b+c)
3

≥
8bc
bc
(a+c)
3

≥
8ac

3
+b
3
+c
3

≥aa
1
+
bb
1
+
cc
1
Kĩ năng tách các hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để
chứng minh bất đẳng thức. GV biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra
được một số bài tập cho HS rèn luyện kĩ năng này.
Bài 8: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
2(a
3
+b
3
+c
3
)
≥
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức CôSi cho đôi một các số dương
a,b,c thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ta có a + b
≥
2
ab
; b + c
≥
2
bc
và c + a
≥
2
ac
Khi đó ta có một bài toán mới:
Bài 9: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
a
3
+b
3
+c
3

≥
ab
ab
+ bc
bc
+ ac

≥
2 ac
ac
Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều trên ta được:
a
3
+b
3
+c
3

≥
ab
ab
+ bc
bc
+ ac
ac
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Nếu học sinh biến đổi bất đẳng thức a
3
+b
3

≥
ab(a+b)(*) theo hướng
sau:
⇔ a
3
+b

1
( )cb a b c
+ +

abcca
++
33
1

≤

1
( )ac a b c+ +
Suy ra:
abcba
++
33
1
+
abccb
++
33
1
+
abcca
++
33
1
≤
1

cba
cba
Ta có bài toán sau:
Bài 10: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng :

abcba
++
33
1
+
abccb ++
33
1
+
abcca ++
33
1
≤

abc
1

Đây là một bài toán khó nếu học sinh lần đầu gặp thì không biết sẽ bắt
đầu từ đâu. Tuy nhiên bài toán này có trong hầu hết các quyển sách viết
về bất đẳng thức. Các lời giải đều gọn gàng nhưng không tự nhiên. Sự
7
hướng dẫn của Giáo viên sẽ giúp cho học sinh thấy tự nhiên hơn và thấy
bài toán “đơn giản” hơn.

Đặc biệt hoá bài toán này trong trường hợp abc = 1. Ta có bài toán mới

+
++
+
++
acac
ca
bccb
bc
abba
ab
Ta sẽ chứng minh cho
acac
ca
bccb
bc
abba
ab
++
+
++
+
++
555555

≤

3 3
1
1a b+ +
+

1
1c b
+ +

acac
ca
++
55

≤

3 3
1
1a c+ +
Thật vậy
abba
ab
++
55

≤
3 3
1
1a b+ +
⇔ a
5
+b
5
+ab
≥

)
≥
0
⇔ (a-b)(a
2
-b
2
)(a
2
+b
2
)
≥
0
⇔ (a-b)
2
(a
2
+b
2
)(a+b)
≥
0 đúng. Dấu “=” xảy ra khi a=b
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Chúng ta xét một bài bất đẳng thức khó trong tập “Chuyên đề Bất đẳng
thức, trang 7, tác giả Trần Văn Hạo, NXB GD năm 2001”
Bài 13: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:

22
3

ba
+
hoặc ab ≤ (
2
ba
+
)
2
nếu sử dụng ab ≤
2
22
ba
+
thì a
2
+ab+b
2
≤
2
3
(a
2
+b
2
)
Suy ra
22
3
baba
a

c
++

≥
)(3
2
22
3
ac
c
+

Như vậy

22
3
baba
a
++
+
22
3
bbcc
b
++
+
22
3
aacc
c

2
+ab+b
2
từ bất đẳng thức a
3
+b
3

≥
ab(a+b)(*)
Ta có (*) ⇔ 3a
3

≥
2a
3
+2a
2
b +2ab
2
–ab
2
–a
2
b – b
3
⇔ 3a
3

≥

bbcc
b
++

≥

3
2 cb −

22
3
aacc
c
++

≥

3
2 ac
−

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh.
Bài tập khó như vậy nhưng được biến đổi từ bài tập rất bình thường!
Điều đó giúp HS thấy tự tin hơn, chỉ cần bình tĩnh và chắc chắn kiến thức
cơ bản là có thể làm được.
Đến đây giáo viên nên tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ về hướng
làm trước đã thất bại. Sau khi chứng minh được thì hướng làm trước có
thực hiện được không?
Ta đã có :
22

cb
b
+
+
)(3
2
22
3
ac
c
+
9
Cần chứng minh:
)(3
2
22
3
ba
a
+
+
)(3
2
22
3
cb
b
+
+
)(3

3
cb
b
+

≥
3
2 cb −

)(3
2
22
3
ac
c
+

≥
3
2 ac
−
Đến đây thì thật đơn giản để chứng minh các bất đẳng thức này:
Thật vậy:
)(3
2
22
3
ba
a
+

+
22
3
2
ac
c
+
≥
a + b + c
Từ bất đẳng thức a
3
+b
3

≥
ab(a+b) (*) ta có hướng phát triển khác:
⇔
4
33
ba +

≥

4
22
abba +

Tương tự ta có :
4
33

+
+
4
33
ca
+
≥
4
22
abba +
+
4
22
cbbc +
+
4
22
acca
+
⇔
4
33
ba +
+
4
33
bc
+
+
4

cba +

≥
2
4
)(
.
24
cba
cb
a +
+
= a
3
10
Như vậy
cb
a
+
4

≥
a
3
-
4
)(
2
cba +
Tương tự:

a
+
4
+
ca
b
+
4
+
ab
c
+
4
≥
a
3
+ b
3
+ c
3
– (
4
)(
2
cba +
+
4
)(
2
cab +

4
33
ba +
+
4
33
bc
+
+
4
33
ca
+
)
Từ đó ta có bài toán tiếp theo:
Bài 15: Cho các số a,b,c dương. Chứng minh rằng:

cb
a
+
4
+
ca
b
+
4
+
ab
c
+

2
33
ba +

≥

3
2






+
ba
⇔
3
2






+
ba
≥

33





+ bc
a
≥

33
3
2
bc
a
+

3
2






+
ca
b
≥

33
3






+
333
ba
c
ac
b
cb
a

≥
2






+
+
+
+
+
33
3
33















+
+






+
+







ba
c
ac
b
cb
a
≥
4
1
.
2
3
=
8
3
Như vậy ta lại tạo ra được bài toán mới.
Bài 16: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:

3






+
cb
a
+
3

+b
n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab
(**)
Thật vậy, Với n = 1 đẳng thức xảy ra.
Với n
≥
2 do vai trò a,b như nhau không làm mất tính tổng quát,
giả sử a
≤
b suy ra a
n-1

≤
b
n-1
. Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép ta có:
a
n
+b
n
= a. a
n-1

n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab
trở thành a
2
+b
2

≥
(a+b)
ab
(2)
Với n = 3 thì a
n
+b
n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab

+b
n

≥
(a+b)
1
)(
−
n
ab
trở thành a
5
+b
5

≥
(a+b)a
2
b
2
(5)
…
Như vậy ta có bài tập đơn giản sau:
Bài 18: Cho a,b dương. Chứng minh rằng
a
2
+ b
2

≥

với a,b là
các số dương. Nhiều học sinh không làm được do ảnh hưởng bởi bất
đẳng thức tổng quát chứng minh bằng bất đẳng thức Trêbưsép. Lúc này
vấn đề là GV phải khơi dậy được ở học sinh tính sáng tạo.
GV gợi ý bất đẳng thức a
2
+b
2

≥
(a+b)
ab
(2) xảy ra dấu “=” khi nào?
HS sẽ nhận thấy dấu “=” xảy ra khi a = b
Từ đó HS sẽ có ý tưởng biến đổi a
2
+b
2

≥
(a+b)
ab
(2)
⇔ 2(a
2
+b
2
)
≥
2(a+b)

(a+b)
ab
(2)
Với n =5 ta có bài toán thú vị
Bài 19: Cho a,b dương. Chứng minh rằng:
a
5
+b
5

≥
a
2
b
2
(a+b) (5)
Khi tôi yêu cầu chứng minh bất đẳng thức này thì HS không làm được,
nói chung những bài toán tổng quát là khó nhưng có những bài toán đặc
biệt không đơn giản chút nào.
Để làm được bài này thì kĩ năng sử dụng bất đẳng thức CôSi phải tốt.
Sau đây là kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức CôSi vào bài tập này:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương a
5
, a
5
, a
5
, b
5
, b

5
, a
5
, b
5
, b
5
, b
5

ta có: a
5
+ a
5
+ b
5
+b
5
+ b
5

≥
5.a
2
b
3

⇔ 2a
5
+ 3b

a
2
b
2
(a+b) +b
2
c
2
(b+c) +c
2
a
2
(c+a)
Bài 21: Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh rằng:
13
a
5
+b
5
+c
5

≥
a
2
b
2
ab
+b
2

3
+b
3
+c
3
)
≥
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)
Nếu thêm vào điều kiện abc = 2 suy ra ab =
c
2
nên ab(a+b) =
c
ba )(2
+
Tương tự ta có: bc(b+c) =
a
bc )(2
+
; ac(a+c) =
b
ac )(2 +
Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 23: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn: abc = 2. Chứng minh rằng:
a
3
+ b
3
+ c
3

+c
ab +
Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski cho 6 số ta có:
(a
cb
+
+ b
ca
+
+c
ab +
)
2
= (
3
a
a
cb
+
+
3
b
b
ac +
+
3
c
c
ab +
)

+
+
a
bc
+
+
b
ac
+
Suy ra (a
3
+b
3
+c
3
)
2

≥
(a
3
+b
3
+c
3
) (
c
ba
+
+

a
1
n
+a
2
n
+ …+a
m
n

≥
a
1
a
2
…a
m
(a
1
n-m
+a
2
n-m
+ …+a
m
n-m
)
Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho n số dương ta có :
14
a

m
n

≥
n a
1
n-m+1
a
2
…a
m
Tương tự : (n-m+1) a
2
n
+a
3
n
+ …+a
m
n
+a
1
n

≥
n .a
2
n-m+1
.a
1

ca
b
+
6
+
ab
c
+
6

≥

2
3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

cb
a
+
6
+
4
cb +

≥
2
4
.
6

4
ca
+

ab
c
+
6

≥
c
3
-
4
ab
+
Suy ra
cb
a
+
6
+
ca
b
+
6
+
ab
c
+

+
6
+
ab
c
+
6

≥

2
3
(đpcm).
Phần 5. Kết quả thực nghiệm:
Trong suốt quá trình ôn thi HSG lớp 9 năm học 2006-2007 tôi nhận
thấy: Sau khi làm các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong chuyên đề
15
≥
2
3
“Phát triển tư duy của học sinh qua một bài toán bất đẳng thức” kĩ năng
trình bày một bài toán chứng minh bất đẳng thức của học sinh của học
sinh tiến bộ đáng kể đặc biệt là phương pháp tách hạng tử. Học sinh tự tin
hơn, không còn sợ những bài bất toán lạ, bước đầu biết tìm tòi mò mẫm.
Kết quả khả quan hơn cả là chuyên đề này giúp học sinh yêu toán hơn,
các em đã có ý thức tự đọc sách, tự tìm tòi và làm bài tập trong các quyển
sách “Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số và Hình 9 - của tác giả V.D
Thụy và N.N Đạm” “Toán bồi dưỡng của tác giả Vũ Hữu Bình”
Chính vì sự cố gắng đó điểm kiểm tra của một số em tốt hơn các bạn ở
trên lớp, nhiều lần đạt điểm tuyệt đối.

Nhà xuất bản GD
3, Chuyên đề Bất đẳng thức
Trần Văn Hạo (chủ biên)- Nhà xuất bản giáo dục
4, 180 bài bất đẳng thức
Võ Đại Mau - Nhà xuất bản TP HCM
5, Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
Trần Phương - Nhà xuất bản giáo dục
6, Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cấp II
Nguyễn Vũ Thanh- Nhà xuất bản giáo dục
17