1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
*********
KHƯƠNG THỊ THANH
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN
THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI BẬC
TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA PHÁT
TRIỂN CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY
HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số : 60.14.10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người hướng dẫn khoa học : TS. NGUYỄN CHIẾN THẮNG
2
TP. VINH – 2013
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt Viết đầy đủ
HS : Học sinh
GV : Giáo viên
HĐKT : Huy động kiến thức
THCS : Trung học cơ sở
SGK : Sách giáo khoa
GS : Giáo sư
DH : Dạy học
KG : Không gian
ĐC : Đối chứng
TN : Thực nghiệm
MỤC LỤC
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 4

2.1. CÁC ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ XUẤT BIỆN PHÁP 42
2.2. CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN
THỨC CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI
TOÁN CƠ BẢN 44
2.2.1. Bi n pháp 1: Giúp h c sinh xây d ng v n m v ng các b i toán ệ ọ ự à ắ ữ à
c b n.ơ ả 44
2.2.3. Bi n pháp 3: Rèn luy n cho h c sinh n ng l c bi n i v n ,ệ ệ ọ ă ự ế đổ ấ đề
bi n i b i toán v b i toán c b nế đổ à ề à ơ ả 56
2.2.3.2. Rèn luy n cho h c sinh k n ng bi n i b i toán v d ng ệ ọ ỹ ă ế đổ à ề ạ
thu n l i cho vi c tìm liên h v i ki n th c ã có c a h c sinh v ậ ợ ệ ệ ớ ế ứ đ ủ ọ à
i u ki n ã cho c a b i toán.đ ề ệ đ ủ à 59
2.2.4. Bi n pháp 4: Rèn luy n cho h c sinh sáng t o b i toán m i t ệ ệ ọ ạ à ớ ừ
b i toán c b n à ơ ả 65
2.2.4.1.Khai thác b i toán d i d ng ch ng minh, qu tích, d ng à ướ ạ ứ ỹ ự
hình, c c tr .ự ị 69
2.2.4.2. Khai thác m t b i toán theo nhi u cáchộ à ề 72
2.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 101
3.3.3.3.Ki m nh gi thi t hai ph ng pháp:ể đị ả ế ươ 110
4
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Trong xu thế hội nhập và phát triển thì Giáo dục & Đào tạo được Đảng
và nhà nước ta đặc biệt quan tâm, những mục tiêu về phương pháp giáo dục
học sinh được chỉ rõ trong Luật Giáo dục: “Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dướng phương pháp tự học, khả
năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
(Luật Giáo dục 2005, chương 2, điều 23)”. Để đạt được mục tiêu đó thì GV là
người được giao phó trọng trách tiếp thu những kiến thức, những phương

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xác định các biểu hiện của năng lực huy động kiến thức của học sinh. Từ
đó, đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực huy động
kiến thức để giải quyết các bài toán cho học sinh thông qua việc khai thác các
bài toán cơ bản.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Có thể bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khá giỏi nhằm
giải quyết bài toán và phát hiện, tìm tòi các bài toán mới nếu giáo viên chú
trọng hoạt động phát triển các bài toán cơ bản ở trường THCS.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
4.1. Cơ sở lí luận và thực tiễn của năng lực huy động kiến thức.
4.2. Những quan điểm lý luận về hoạt động kiến tạo nhận thức của học sinh
trong quá trình học tập và giải các bài tập Toán.
6
4.3. Xây dựng một số biện pháp bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho
học sinh khá, giỏi THCS thông qua phát triển các bài toán cơ bản.
4.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện
thực, tính hiệu quả của đề tài.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận
− Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học
môn Toán.
− Các sách báo về phương pháp giải toán phục vụ cho đề tài.
− Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh trong quá
trình khai thác các bài tập sách giáo khoa và các bài tập trong các tài liệu
tham khảo.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối

cách hiểu về năng lực. Từ điển tiếng Việt định nghĩa: “Năng lực là phẩm chất
tâm lý tạo ra cho con người hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất
lượng cao[43]”. Theo Nguyễn Trọng Bảo: “Năng lực là tổ hợp những đặc
điểm tâm lý của con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất
định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào
đó” [1]. Tác giả Trần Đình Châu thì có quan niệm: “Năng lực là những đặc
điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất
định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động
nào đó” [3]. Còn theo Phạm Minh Hạc: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm
tâm lý của con người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra
kết quả của một hoạt động nào đấy” [15].
Cho dù có cách tiếp cận khác nhau nhưng ta thấy năng lực biểu hiện
bởi các đặc trưng:
9
- Cấu trúc năng lực là tổ hợp nhiều kỹ năng thực hiện những hoạt động
thành phần có liên hệ chặt chẽ với nhau.
- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; nói đến năng lực
tức là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân.
- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới
mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tư duy có khác nhau về mức độ.
- Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được.
- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau.
Ở mỗi người có những loại năng lực khác nhau và hai người khác nhau
thì cũng có năng lực khác nhau. Vì ở mỗi người có những tố chất khác nhau
và ở hai người khác nhau thì có các tố chất khác nhau.
Theo [16], ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối
với học sinh, có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học. Để giải một bài toán, điều quan trọng là người giải phải bắc được cầu nối
từ giả thiết đến kết luận của bài toán đó. Muốn làm được điều đó, người giải
toán phải biết vận dụng các kiến thức liên quan đến bài toán. Những kiến thức

Mặt khác, một bài toán có chỉ dẫn chưa hẳn là đã dễ hơn một bài toán
khác không có chỉ dẫn. Bài toán tuy có chỉ dẫn nhưng còn rất nhiều khâu mà
người giải phải thực hiện lấy và nó luôn làm cho người giải bị trói buộc suy
nghĩ quanh chỉ dẫn đã ra, còn bài toán không chỉ dẫn có thể tiến hành theo
một thuật giải hay một cách khác hay hơn chỉ dẫn đưa ra.
Toán học là một môn khoa học có tính logic, hệ thống và kế thừa rất
cao. Mọi kiến thức toán học đều xây dựng chặt chẽ và có cơ sở rất rõ ràng. Tri
thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, tất cả
như những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ.
11
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đương nhiên
không cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập, tích
luỹ được từ trước. Cần huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét
đến những mối liên hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc
của người giải toán.
Một kiến thức toán học mới hay một bài tập toán được đưa ra thì nó luôn
nằm trong hệ thống toán học, nó không tách rời, không tự sinh ra một cách độc
lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức đã có trước đó.
Để giải quyết được vấn đề đặt ra chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến
thức cũ, cái đã biết mới có thể giải quyết được. Song để xem xét kiến thức nào
là phù hợp với vấn đề đặt ra, kiến thức cũ sẽ sử dụng như thế nào, đó chính là
việc ta phải dựa vào việc huy động kiến thức.
Năng lực huy động kiến thức mỗi người một khác. Đứng trước một bài
toán cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ mà
những cái này có hy vọng giúp cho việc giải bài toán. Có người chỉ liên tưởng
được đến một số ít định lý, mệnh đề, bài toán phụ, mà thôi. Sức liên tưởng và
huy động phụ thuộc vào khả năng tích luỹ kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy
cảm trong khâu phát hiện vấn đề.
Năng lực huy động kiến thức không phải là điều bất biến, một bài toán
cụ thể nếu đặt vào thời điểm này có thể học sinh không giải được, hoặc giải

Từ đó việc giải bài toán đơn giản hơn : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2
1 1000B x= − +
Do
( )
2
1 1000 1000x − + ≥
∀x ⇒ Bmin = 1000 khi (x-1)
2
= 0 ⇔ x = 1 ⇒
( )
2
2010 2010
1000
1 1000x
≤
− +
∀x vậy
max
2010
1000
A =
⇔ x = 1
Ví dụ 1.2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
4
1
x

+
⇒
2 2
5 5
5 1 1 5 4
1 1x x
− ≥ − ⇒ − ≥ − = −
+ +

∀x
Vậy B
min
= - 4 ⇔ x = 0.
13
Ví dụ 1.3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
1 3
x
A
x
= +
−
với x > 1
Để giải quyết bài toán này học sinh sẽ thấy rằng không thể dùng phương pháp
ở hai ví dụ trên. Ở biểu thức này mỗi số hạng là một phân thức và mỗi phân
thức tử và mẫu cùng một bậc ⇒ dẫn đến học sinh phải liên tưởng huy động
đến kiến thức nào đã học. Tùy từng hoàn cảnh cụ thể đối tượng học sinh để
người thầy giáo có thể sử dụng hình thức thuyết trình phát hiện và giải quyết
vấn đề hoặc phối hợp giữa thuyết trình với vấn đáp phát hiện và giải quyết
vấn đề dẫn dắt học sinh đến tính chất : Hai số có tổng không đổi thì tích của

1 3
x
x
−
=
−
⇔
( )
2
1 36x − =
phương
trình này có hai nghiệm là x =7 và x = 5. Nghiệm x = 7 thỏa mãn điều kiện đề
bài.
Vậy
min
13
3
A =
⇔ x = 7.
Cách 2 : Có thể áp dụng ngay bất đẳng thức côsi với hai số dương
12 1
;
1 3
x
x
−
−
Ta có
12 1 12 1
2 . 2.2 4

⇒ EG = EB mà EB = CD ⇒ EG = CD
Xét ∆GIE và ∆CID có
Góc EGI = góc ICD (cùng bù với hai góc
bằng nhau EGB và ACB);
EG = CD và góc GEI = góc ICD (slt)
∆GIE = ∆CID (g.c.g) ⇒ EI = ID.
Cách 3 :
Kẻ DK // AB. Chứng minh như cách 2 :
A
B
I
C
K
D
E
A
B
C
D
E
G
I
Hình 2
A
B
C
D
E F
I
Hình 1

D
E
I
N
Hình 4a
A
P
I
E
D
C
B
Hình 3a
Hình 4b
16
Xét hai tam giác vuông ∆BHE và ∆CKD chúng có :
BE = DC (gt), góc EBH = góc DCK (= góc BCA) ⇒ ∆BHE = ∆CKD ⇒ EH
= DK.
* Xét hai tam giác vuông ∆EHI và ∆DKI cũng có EH = DK (cm trên) và góc
EIH = góc DIK (đối đỉnh) nên ∆EHI = ∆DKI ⇒ EI = ID.
Cách 8 :
Từ E kẻ EH ⊥ BC
Từ C và I hạ CK và IM vuông góc với đường thẳng Dx // BC (hình 6).
Ta có góc ACB = góc CDK (đồng vị)
Mà góc ABC = góc ACB (gt)
Do đó góc ABC = góc CDK hay góc EBH = góc CDK
Hai tam giác vuông ∆EBH = ∆CDK vì có CD = BE (gt) và góc EBH = góc
CDK ⇒ CK = EH. Mà CK = MI (tính chất các cặp cạnh đối song song hoặc
ICKM là hình chữ nhật), nên IM = EH.
A

nhưng không thể đạt được ngay”.
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:
“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán).
- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán).
- Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải
tìm).
Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể, không
thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Các hành động
của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thể hoá
các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế
hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến
trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.
1.2.2. Bài toán cơ bản
Theo [29], thuật ngữ “cơ bản” có nghĩa là “có tác dụng làm cơ sở cho những
cái khác trong toàn bộ hệ thống”. Chúng tôi quan niệm bài toán cơ bản có thể
18
hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng
đã học ở mức độ đơn giản, đồng thời thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán
khác.
- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải
các bài toán khác.
- Nếu thay đổi giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.
1.2.3. Vai trò của bài toán cơ bản
G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra được một bài toán mới, không
giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với
một bài toán trước đó đã giải. Nếu như có một bài toán như vậy vị tất đã giải
được. Thực vậy, khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài
toán đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải

đã thấy được vai trò của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải.
2) Xây dựng chương trình giải
Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể hiện
rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản
hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trường
hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn v.v thông qua
các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:
- Huy động kiến thức có liên quan:
* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa. Em
có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?
20
* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?
* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử
dụng kết quả của nó không?
- Dự đoán kết quả phải tìm:
* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một
bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em
có thể giải một phần của bài toán?
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác
định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hướng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi
ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các
bài toán. Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì
tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào
hoạt động giải Toán của mình.
3) Thực hiện chương trình giải

tên gọi khác nhau của nó: “tuổi quá độ”, “tuổi khó bảo”…Những tên gọi đó
nói lên quá trình phát triển của HS bậc THCS.
Đây là lứa tuổi bắc cầu, chuyển tiếp từ trẻ em lên người lớn, từ thời thơ
ấu sang tuổi trưởng thành. Điều đó được thể hiện ở sự phát triển mạnh mẽ,
thiếu cân đối ở cơ thể, sự phát dục và sự hình thành những phẩm chất mới về
các mặt đạo đức, trí tuệ…
22
Sự thay đổi tính chất và hình thức hoạt động học tập cùng với sự phát
triển của nhu cầu nhận thức, hứng thú trong học tập đã ảnh hưởng mạnh mẽ
đến sự phát triển trí tuệ của HS. So với các lứa tuổi trước, hoạt động trí tuệ
của các em có những biến đổi cơ bản, đặc biệt là HS khá và giỏi.
HS khá và giỏi, tri giác có chủ định chiếm ưu thế, kỹ năng quan sát
được nâng cao. Tri giác trở nên có kế hoạch, có trình tự và hoàn thiện hơn so
với HS tiểu học và HS đại trà.
Trí nhớ HS khá và giỏi cũng được thay đổi về chất. Năng lực ghi nhớ
định nghĩa được nâng cao rõ rệt. Các em bắt đầu sử dụng một cách có ý thức
những thủ thuật ghi nhớ, biết lập giàn bài cho tài liệu cần ghi nhớ, vận dụng
các thao tác tư duy trong quá trình ghi nhớ. Các em có khuynh hướng muốn
tái hiện tài liệu bằng lời nói của mình và thường phản đối khi GV yêu cầu học
thuộc lòng những định nghĩa, quy luật.
Sự phát triển chú ý có chủ định bền vững được hình thành. Nhiều công
trình nghiên cứu cho thấy ở lứa tuổi HS bậc THCS khá và giỏi khối lượng chú
ý được tăng lên rõ rệt, khả năng di chuyển chú ý linh hoạt hơn, năng lực tập
trung chú ý cao hơn và bền vững hơn nhiều so với HS tiểu học và HS bậc
THCS diện đại trà.
Hoạt động tư duy của HS khá và giỏi cũng có những biến đổi cơ bản. Do
nội dung môn học phong phú, đa dạng, phức tạp nên đòi hỏi các em phải có
khả năng tư duy độc lập cùng với sự vận động liên tục của các thao tác tư duy
trong quá trình lĩnh hội tri thức. Tư duy trừu tượng của các em đang trên đà
phát triển. Sự thay đổi mối quan hệ giữa tư duy hình tượng cụ thể sang tư duy

của trí nhớ. Dĩ nhiên nếu chỉ ghi nhớ đơn thuần không biết suy nghĩ, vận
dụng sáng tạo thì đó là kiến thức vô dụng. Người HS phải biết vận dụng tri
thức đã biết vào tình huống mới để giải quyết bài toán.
24
- HS phải có tính “Nghi ngờ khoa học”, luôn tự đặt ra cho mình câu hỏi,
cách làm này, phương án giải quyết này đã tối ưu chưa? Có cách giải
quyết nào hay hơn nữa không?
Như vậy điều kiện để hoàn thành các phát kiến càng được chuẩn bị tốt
bao nhiêu thì tính chủ động trong sáng tạo của HS càng được nâng cao bấy
nhiêu.
1.3.2. Biểu hiện năng lực huy động kiến thức của học sinh THCS trong
học tập môn toán.
Từ những luận điểm của toán học duy vật biện chứng về quan hệ giữa
nội dung và hình thức và quan hệ giữa cú pháp và ngữ nghĩa.
Từ những luận điểm của G.Polya về con đường phát hiện tìm tòi lời
giải bài toán.
Từ cách hiểu về hoạt động điều ứng để thích nghi.
Từ thực tiễn dạy giải bài tập toán.
Có thể đưa ra một số biểu hiện của năng lực huy động kiến thức sau đây:
1.3.2.1. Năng lực chuyển hoá nội dung và hình thức bài toán để phát hiện
mối liên hệ với các kiến thức đã có
Trong tự nhiên và xã hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trong
những điều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau.
Trong lĩnh vực Toán học cũng vậy, có nhiều loại Toán có liên quan với
nhau. Mối liên hệ giữa chúng trong những điều kiện nào đó cho phép ta có thể
chuyển từ việc giải bài toán này qua việc giải bài toán khác.
Nói chung nội dung quyết định hình thức, nhưng trong hoàn cảnh nào
đó sự thay đổi hình thức đúng mức cũng tác động đến nội dung bài toán.
Chính vì vậy, trong một số bài toán, việc thay đổi hình thức (dạng bên ngài
của bài toán) có khả năng đưa bài toán về dạng đơn giản hơn và liên hệ được

2
AB
2
AB
2
yyxxAB −+−=
Khi đó hàm số y được biến đổi về dạng
( ) ( )
2
22
)20()7x2(203x2y
−+++−+−=
Gọi điểm
)0,x2(M
di chuyển trên 0x
A(3;2); B(7;2) là các điểm cố định.
Ta được
MBMAy +=
Như vậy ta đã biến đổi từ hình thức của
bài toán đại số, dưới dạng hình thức của bài toán
M
2x
2
A
B
0 3 5
7
A
’
H