1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1: Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers
ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1. Hàm lồi logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Các kết quả đánh giá ổn định cho phương trình Burgers ngược thời
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2: Các phương pháp lặp cho phương trình Burgers . . . . .14
2.1. Bài toán cực tiểu hóa trong L
2
(Q
T
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Bài toán cực tiểu hóa trong W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình Burgers ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong ứng
dụng khi nghiên cứu về các quá trình sóng phi tuyến, trong lý thuyết về âm
học phi tuyến hay lý thuyết nổ, (xem [6]). Bài toán ngược kể trên đặt không
chỉnh theo nghĩa Hadamard (xem [7]). Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu
nó thỏa mãn ba điều kiện: a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm
phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán. Nếu
như ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa mãn, thì ta nói rằng Bài
toán đặt không chỉnh. Đối với các bài toán đặt không chỉnh, vấn đề đánh giá
ổn định cũng như việc đề xuất các phương pháp lặp để giải bài toán được
rất nhiều nhà toán học quan tâm. Bởi tính ứng dụng cao của phương trình
Burgers trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học nên nó đã được nghiên

= (0, 1) × (0, T ).
2.2. Bài toán cực tiểu hóa trong W
Mục này nhằm trình bày các kết quả về cực tiểu hàm dựa trên phương pháp
cực tiểu theo chuẩn L
2
của gradient (L
2
- minimization of the gradient) trong
W . Trong đó W là không gian các hàm u(x, t) sao cho u
x
(x, t) ∈ L
2
(Q
T
)
và u(0, t) = u(1, t) = 0. Chuẩn trong không gian này được định nghĩa là
u
W
= u
x

L
2
(Q
T
)
.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
nhiệt tình, tận tâm của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ của
các thầy cô, gia đình, bạn bè. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

2
] là
f”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
]. (1.1)
Nếu f”(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
] thì f

là hàm đơn điệu tăng nên ta có
t

t
1
f

(s)ds ≤ f

(t)(t − t
1
); ∀t ∈ (t
1
, t
2
)
và

2
− t
t
2

t
f

(s)ds, ∀t ∈ (t
1
, t
2
)
4
5
hay
1
t − t
1
(f(t) − f(t
1
)) 
1
t
2
− t
(f(t
2
) − f(t)), ∀t ∈ (t
1

1
, t
2
]. Trong trường hợp này, điều kiện (1.1) trở
thành
d
2
dt
2
ln F (t) ≥ 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
]. (1.2)
Với chú ý F (t) > 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
], điều kiện (1.2) được viết lại thành
F F” − (F

)
2
≥ 0, ∀t ∈ [t
1
; t
2
]. (1.3)
Vậy nếu F (t) thỏa mãn (1.3) thì ta có
ln F (t) ≤

−t
t
2
−t
1

[F (t
2
)]

t−t
1
t
2
−t
1

.
Bây giờ giả sử F (t) thỏa mãn
F F” − (F

)
2
≥ −kF
2
(1.4)
hoặc
F F” − (F

)

2

≥ 0 (1.6)
6
và từ (1.5) ta có
d
2
dδ
2

ln

F (δ).δ
−k
2
k
2
1

≥ 0 (1.7)
với δ = e
−k
1
t
. Do đó điều kiện (1.4) kéo theo
ln F (t) ≤

t
2
− t

2
k(t − t
1
)(t
2
− t)

[F (t
1
)]

t
2
−t
t
2
−t
1

[F (t
2
)]

t−t
1
t
2
−t
1


−k
2
k
2
1
1

+

δ − δ
1
δ
2
− δ
1

ln

F (δ
1
).δ
−k
2
k
2
1
1

.
Bất đẳng thức này tương đương với

2
k
2
1
1

δ−δ
1
δ
2
−δ
1
, (1.9)
trong đó δ ∈ [δ
1
, δ
2
] và δ
1
= e
−k
1
t
, δ
2
= e
−k
1
t
.

trong đó ν là số thực dương, p, q, ϕ, f là các hàm đã cho với p, q, f là các hàm
trơn. Kí hiệu  ·  là chuẩn L
2
(0, 1) và D = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < T }.
Carasso đạt được đánh giá ổn định dạng H¨older cho nghiệm của phương trình
Burgers ngược thời gian như sau.
1.2.1 Định lý. ([3]) Nếu u
i
(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán (1.10) với
hàm ϕ(x) được thay bởi ϕ
1
(x) và ϕ
2
(x) tương ứng, trong đó ϕ
1
, ϕ
2
∈ L
2
(0, 1)
sao cho ϕ
1
− ϕ
2
  δ (δ > 0) và
max {|u
i
|
(x,t)∈D
, |u

(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán (1.10) với
hàm ϕ(x) được thay bởi ϕ
1
(x) và ϕ
2
(x) tương ứng, trong đó ϕ
1
, ϕ
2
∈ L
2
(0, 1)
sao cho ϕ
1
− ϕ
2
  δ (δ > 0) và
max {|u
i
|
(x,t)∈D
, |u
it
|, |u
ix
|, |u
itt
|, |u
ixt
| } ≤ N

+ c(x, t)u
x
+ d(x, t)u + f(x, t), (x, t) ∈ D,
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 < t < T,
với a(t) > 0. Tác giả này cũng đưa ra đánh giá ổn định dạng H¨older nhưng
với đòi hỏi
u(x, t)
C
2
(D)
 E, trong đó E là số thực dương. (1.14)
Dễ nhận thấy rằng các điều kiện (1.11) và (1.14) có đặc điểm chung là đòi
hỏi đạo hàm cấp hai của nghiệm bị chặn. Năm 2014, Đinh Nho Hào, Nguyễn
Văn Đức và Nguyễn Văn Thắng ([4]) đã đề xuất và chứng minh một số kết
quả đánh giá ổn định nghiệm của phương trình Burgers ngược thời gian. Các
tác giả này đã đưa ra đánh giá ổn định dạng H¨older chỉ với đòi hỏi đạo hàm
bậc nhất của nghiệm bị chặn. Cụ thể, họ đã đề xuất và chứng minh các kết
quả sau.
1.2.3 Định lý. ([4]) Giả sử u
1
(x, t) và u
2
(x, t) là các nghiệm trơn của phương
trình

u
t
= (a(x, t)u
x
)

t
T
nếu m = 0, µ(t) =
e
mt
− 1
e
mT
− 1
nếu m = 0. (1.16)
Nếu u
1
(x, t) và u
2
(x, t) thỏa mãn
max
(x,t)∈D
{|u
i
|, |u
ix
|}  E, i = 1, 2, (1.17)
và u
1
(·, T ) − u
2
(·, T )
L
2
(0,1)


E
1
(T −t) +
1
2
E
2
t(T −t)

, nếu m = 0,
2 exp

1
2
E
2

e
mT
− 1

2
e
2|m|T
m
2
+ E
1



u
t
= νu
xx
− αuu
x
+ f(x, t), (x, t) ∈ D,
u(0, t) = g
0
(t), u(1, t) = g
1
(t), 0  t  T,
(1.19)
trong đó ν > 0, α ∈ R, và g
0
, g
1
, f là các hàm trơn. Nếu u
1
, u
2
thỏa mãn
max
(x,t)∈D
{|u
i
|, |u
ix
|, |u

t + E
2
1
t(T −t)

, E
1
=
α
2
E
2
+ 2|α|E
4ν
+
|α|E
2
.
10
Theo kỹ thuật chứng minh trong tài liệu [4], trong luận văn này chúng tôi
đưa ra một cải tiến nhỏ về hệ số k
1
(t) trong đánh giá ở Định lý 1.2.4. Cụ thể,
chúng tôi đề xuất và chứng minh định lý sau.
1.2.5 Định lý. Giả sử u
i
(x, t), i = 1, 2 là nghiệm của bài toán

u
t

(·, T ) ≤ δ
thì với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá
u
1
(·, t) − u
2
(·, t) ≤ k(t)E
1−
t
T
δ
t
T
, ∀t ∈ [0, T ], (1.23)
trong đó k(t) = 2
1−
t
T
exp

|α|E
ν
+
1
4
E
2
1
(T −t)t + 2
E

, ∀(x, t) ∈ D,
B (x, t) = α
x

0
a (s, t)ds và ψ (x, t) = z (x, t) exp

−B(x,t)
2ν

. Tương tự như
trong chứng minh của Định lí 1.2.1, ta có



ψ
t
= νψ
xx
−

α
2
a
2
+ 2B
t
4ν
+
1


1
0
ψ
2
dx, ta có
G
t
= 2

1
0
ψψ
t
dx = −2

1
0
νψ
2
x
dx − 2

1
0
Qψ
2
dx.
Giả sử ψ(·, t) > 0, ∀t ∈ [0, T ]. Ta có
G

dx
. Do đó ta đạt được

1 −
t
T

ln G(t) ≤

1 −
t
T

ln G(0)
+

1 −
t
T


t
0
H(s)ds +

1 −
t
T




ln G(0) +
t
T
ln G(T ) +

1 −
t
T


t
0
H(s)ds
−
t
T

T
t
H(s)ds + 4
E
1
t(T −t)
T
=

1 −
t
T

dx

2
H
t
= −


1
0
ψ
2
dx

2
d
dt

1
0
ψ
2
x
dx

1
0
ψ
2
dx

1
0
ψ
2
dx

1
0
ψ
xx
ψ
t
dx − 2

1
0
ψψ
xx
dx

1
0
ψψ
t
dx
12
= 2

1
0


1
0
ψ
xx
(νψ
xx
+ ϕ)dx
− 2

1
0
ψψ
xx
dx


1
0
νψψ
xx
dx +

1
0
ϕψdx

= 2

1

0
ϕ
2
dx
− 2


1
0

√
νψ
xx
+
1
2
√
ν
ϕ

ψdx

2
+
1
2ν


1
0


1
0
ϕ
2
dx ≥ −

1
0
Q
2
ψ
2
dx ≥ −E
2
1

1
0
ψ
2
dx. (1.29)
Từ (1.29), ta có hàm

t
0
H(s)ds +
1
2
E

T
ln G(T ) +
1
2
E
2
1
(T −t)t + 4
E
1
t(T −t)
T
hay
ψ(·, t) ≤ ψ(·, 0)
1−
t
T
ψ(·, T )
t
T
exp

1
4
E
2
1
(T −t)t + 2
E
1

t(T −t)
T

.
(1.31)
Mà
z(T ) = u
1
(T ) −u
2
(T )  δ, (1.32)
13
và
z(0) = u
1
(0) − u
2
(0)  u
1
(0) + u
2
(0)  2E. (1.33)
Ta đạt được
u
1
(·, t) − u
2
(·, t) ≤ k(t)E
1−
t

k
1
(t) = 2 exp

|α|E
ν
+ 2E
1
t + E
2
1
t(T −t)

nên k(t) < k
1
(t), ∀t ∈ [0, T ]. Do đó vế phải của (1.23) bé hơn vế phải của
(1.21). Điều này dẫn đến kết quả trong Định lý 1.2.5 tốt hơn kết quả trong
Định lý 1.2.4.
CHƯƠNG 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH BURGERS
Bài toán đặt ra trong chương này là như sau: giả sử ta đã biết u
δ
và muốn
tìm hàm u là nghiệm của phương trình Burgers

u
t
= µu
xx
− uu

Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán cực tiểu hàm
I =

Q
T

u − u
δ

2
dxdt, (2.2)
trong đó u
δ
∈ L
2
(Q
T
) là hàm đã cho và hàm u = u(x, t) là nghiệm của bài
toán (2.1). Nghiệm u(x, t) của bài toán (2.1) được xác định duy nhất nếu biết
dữ kiện ban đầu của nó u(x, 0) = v(x). Do đó bài toán trên tương đương với
việc tìm dữ kiện ban đầu v(x) để cực tiểu (2.2).
Ta tính gradient cho I là một hàm theo dữ kiện ban đầu v. Ta có
δI (v) =

Q
T

u − u
δ


xx
= u − u
δ
, (x, t) ∈ Q
T
ψ (0, t) = ψ (1, t) = 0, 0  t  T
ψ (x, T ) = 0, x ∈ (0, 1),
(2.4)
thì
δI (v) =

Q
T
(ψ
t
+ uψ
x
+ µψ
xx
) δu dx dt.
Sử dụng công thức Green và (2.3) ta đạt được
δI (v) = −

1
0
ψ (x, 0) δv dx. (2.5)
Do đó gradient của I được đưa ra bởi (2.5).
Bây giờ ta có thể áp dụng phương pháp gradient cho hàm I. Điều này dẫn
đến phương pháp lặp sau. Với v
0

∈ L
2
(Q
T
) và u(0, t) = u(1, t) = 0
được gọi là không gian W . Chuẩn trong không gian này được định nghĩa là
u
W
= u
x

L
2
(Q
T
)
.
16
Ta sẽ sử dụng các kí hiệu
B (v
0
, ρ) =

v ∈ L
2
(0, 1) : v −v
0

L
2

2
(0, 1). Nếu u ∈ C(0, T ; L
2
(0, 1)) ∩ W là
nghiệm của bài toán (2.7) thì ta có đánh giá
u (·, t)
L
2
(0,1)
≤ e
−µπ
2
t
v
L
2
(0,1)
và u
x

L
2
(Q
T
)
≤
1
√
2µ
v


T

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3



. (2.10)
Chứng minh. (i) Nhân vào hai vế phương trình
u
t
= µu
xx
− uu
x
, (x, t) ∈ Q
T
,
với u và lấy tích phân trên khoảng (0, 1) ta đạt được
d

công thức tích phân từng phần ta đạt được
(U, U
t
) = −µ (U
x
, U
x
) +
1
2
(U
x
, U (u + ˜u)) . (2.15)
Mặt khác, ta có
1
2
(U
x
, U (u + ˜u)) ≤
ε
2
(U
x
, U
x
) +
1
8ε

U

x
0
(u + ˜u)
2
dξ

≤ u + ˜u
2
L
2
(0,1)

ε

U
x

2
L
2
(0,1)
+
1
ε

U
2
L
2
(0,1)

u + ˜u
2
L
2
(0,1)
U
2
L
2
(0,1)
. (2.18)
Ta chọn ε = µ và
ε

=
µ
2

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

2
. (2.19)
18
Khi đó

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

2



.(2.20)
Từ (2.8) ta có
u (., t)
2
L
2
(0,1)
+ ˜u (., t)
2
L
2
(0,1)
≤ 2 v
2
L
2
(0,1)
≤ 2

2.1.4 Nhận xét. Mệnh đề 2.1.3 cho phép ta đưa vào toán tử F : L
2
(0, 1) →
L
2
(Q
T
) xác định như sau: với v ∈ L
2
(0, 1) thì F(v) = u là nghiệm của bài
toán (2.7). Từ (2.9) dẫn đến F là toán tử liên tục Lipschitz địa phương.
Sử dụng toán tử F , bài toán cực tiểu hóa (2.2) được chuyển thành bài toán
inf
v∈L
2
(0,1)


F (v) − u
δ


L
2
(Q
T
)
, (2.21)
trong đó u
δ

T
) khi
ϕ ∈ L
2
(0, 1).
Chứng minh Định lý 2.1.5 có thể xem trong [8].
Mệnh đề sau cho thấy toán tử tuyến tính F

(v) : L
2
(0, 1) → C(0, T ; L
2
(0, 1))
bị chặn.
19
2.1.6 Mệnh đề. ([5]) Giả sử v
0
∈ L
2
(0, 1) và ρ là một số dương. Nếu v ∈
B(v
0
, ρ), ϕ ∈ L
2
(0, 1) thì
sup
0≤t≤T
y (·, t)
L
2

(2.24)
với m = m(δ) phụ thuộc vào u và δ.
Chứng minh. Ta chọn một cơ sở trực chuẩn {ψ
n
}
∞
n=1
⊂ L
2
(0, 1) sao cho
ψ
n
∈ C([0, 1]). Khi đó ta có thể viết u như sau
u (x, t) =
∞

n=1
d
n
(t) ψ
n
(x) , d
n
(t) =

1
0
u (x, t) ψ
n
(x) dx.

n=N+1
d
n
(t) ψ
n
(x). Thật vậy, nếu điều này không xảy
ra. Khi đó với mỗi N ∈ N
∗
, tồn tại t
N
∈ [0, T ] sao cho
∞

n=N+1
d
2
n
(t
N
) > δ. Vì
[0, T ] là tập compact nên ta có thể trích từ dãy (t
N
) một dãy con hội tụ. Để
đơn giản, ta vẫn ký hiệu dãy con đó là (t
N
). Khi đó ta có t
N
→ t
∗
. Do u là

n
(t
∗
) − d
2
n
(t
N
)






≤

∞

n=N+1
(d
n
(t
∗
) + d
n
(t
N
))
2

n=N+1
d
2
n
(t
∗
) =
∞

n=N+1
d
2
n
(t
N
) +
∞

n=N+1

d
2
n
(t
∗
) − d
2
n
(t
N

được chứng minh. Hàm
u
2
(x, t) = u (x, t) − u
1
(x, t) =
N

n=1
d
n
(t) ψ
n
(x) ,
rõ ràng bị chặn vì nó là tổng hữu hạn của các hàm liên tục.
2.1.8 Định lý. Giả sử v
0
∈ L
2
(0, 1) và ρ là một số cho trước thỏa mãn
exp



T

v
0

L

C = Γρ exp



T

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3



, (2.29)
21
trong đó Γ = Γ(T, µ, v
0
) là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T, µ và v
0
, xem
(2.42).
Chứng minh. Đặt w = F (v) −F (˜v) −F


trong đó G(x, ξ) là hàm Green
G (x, ξ) =

ξ(1−x), ξ ≤ x
(1−ξ)x, ξ > x.
(2.33)
Khi đó K có tính chất: K
xx
φ = −φ, Kφ (0) = Kφ (1) = 0, K đối xứng
và xác định dương. Ta dễ thấy rằng sup
x
|K
x
φ| ≤ φ
L
2
(0,1)
. Nhân vào hai
vế phương trình (2.30) với Kwe
−γt
, γ > 0 và lấy tích phân trên Q
T
ta đạt
được

T
0
(w
t
, Kw) e


e
−γt
dt. (2.34)
Với hạng tử thứ nhất trong (2.34) ta có đánh giá

T
0
(w
t
, Kw) e
−γt
dt
=
1
2
(w (·, T ) , Kw (·, T )) e
−γT
+
γ
2

T
0
(w, Kw) e
−γt
dt
≥
γ
2

−γt
dt. (2.36)
Để đánh giá hạng tử thứ ba trong (2.34) ta viết u = (u − u
0
) + u
0
, ở đây
u
0
= F (v
0
). Phân tích u
0
thành hai hàm u
1
và u
2
như trong Bổ đề 2.1.7 ta
nhận được
u = (u −u
0
) + u
1
+ u
2
, (2.37)
ở đây

sup
0≤t≤T

T
0
|((u − u
0
+ u
1
) w, K
x
w)|e
−γt
dt
+

T
0
|(u
2
w, K
x
w)|e
−γt
dt.
Sử dụng bất đẳng thức H¨older trong tích phân đầu ở vế phải và bất đẳng
thức Cauchy trong tích phân thứ hai ta đạt được





T

(0,1)
e
−γt
dt
+

T
0
m

1
0

1
4ε
(K
x
w)
2
+ εw
2

e
−γt
dx dt.
Vì

1
0
(K

≤

T
0
m
4ε
(w, Kw) e
−γt
dt
+

sup
0≤t≤T
u − u
0

L
2
(0,1)
+ δ + mε


T
0
w
2
L
2
(0,1)
e

2
(0,1)

w
L
2
(0,1)
dt
≤ −
1
2

T
0

(u − ˜u)
2
, K
x
w

e
−γt
dt. (2.40)
Từ giả thiết (2.27) và Mệnh đề 2.1.3 (ii) ta có sup
t
u − u
0
 ≤ µ/4. Khi đó
ta chọn δ = µ/4, và xác định m sao cho điều kiện (2.38) thỏa mãn. Ta lấy ε

w
L
2
(Q
T
)
≤
1
2
u − ˜u
L
2
(Q
T
)


T
0
|K
x
w|
2

1
0
|u − ˜u|
2
dx dt


≤
e
γT
sup
0≤t≤T
u − ˜u
L
2
(0,1)
2µ/4
u − ˜u
L
2
(Q
T
)
. (2.41)
Sử dụng kết quả của Mệnh đề 2.1.3 (ii) cho (2.41) ta được
w
L
2
(Q
T
)
≤ C u − ˜u
L
2
(Q
T
)

24
2.2 Bài toán cực tiểu hóa trong W
Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán cực tiểu hóa
min

Q
T
((u − u
δ
)
x
)
2
dx dt, (2.43)
trong đó u
δ
là hàm đã cho và hàm u = u(x, t) là nghiệm của bài toán (2.7).
Mục này ta sẽ xét toán tử F : L
2
(0, 1) → W , với W là không gian được
nói trong Định nghĩa 2.1.1. Ta biểu thị toán tử này bởi F. Bài toán (2.43)
tương đương với bài toán
min
v∈L
2
(0,1)

J (v) =



2
(0,1)
, ρ, T và µ.
Chứng minh. Giả sử U = u − ˜u và
˜
U = (u + ˜u)/2 thì U thỏa mãn
U
t
= µU
xx
− (
˜
UU)
x
, (x, t) ∈ Q
T
. (2.45)
Ta nhân (2.45) với U và lấy tích phân trên Q
T
ta đạt được

T
0
(U, U
t
) dt + µ U
2
W
=


dt.
25
Sử dụng bất đẳng thức H¨older để đánh giá vế phải ta được
µ U
2
W
≤

T
0
U
x
(·, t)
L
2
(0,1)




˜
UU

(·, t)



L
2
(0,1)


dx
≤ 2 U
2
L
2
(0,1)



˜
U



L
2
(0,1)



˜
U
x



L
2
(0,1)

L
2
(0,1)



˜
U
x



L
2
(0,1)
dt,
tiếp tục sử dụng bất đẳng thức H¨older ta được
µ U
2
W
≤
√
2 sup
0≤t≤T
U (·, t)
L
2
(0,1)
U
W

µ
3/2
exp



T

v
0

L
2
(0,1)
+ ρ

4
2µ
3



v − ˜v
L
2
(0,1)
.
Điều này tương đương với u − ˜u
W
≤ Cv − ˜v

4
2µ
3



.
Bổ đề được chứng minh.
2.2.2 Bổ đề. Giả sử u(x, t) là nghiệm của (2.7). Khi đó với mọi t ∈ [0, T )
ta có đánh giá
u (·, t)
L
2
(0,1)
≤

2µ +
1
T −t

1/2
u
x

L
2
(Q
T
)
.