Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
============================================================ 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG


TIỂU LUẬN
Đề tài: Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên thực hiện : Lê Xuân Đại

Lớp: Toán-Tin 2-k51.

Hà Nội, tháng 11 năm 2009

Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 2
Phần A : Mở Đầu
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 3
Phần B : Nội Dung

I- Cơ sở lý thuyết
1.Khái niệm về trị riêng và vecto riêng
Cho ma trận vuông cấp n;
Hãy tìm vecto X ≠ Ø
thỏa mãn điều kiện:
AX = λ X (1)
Số λ thỏa mãn (1) để tồn tại vecto X ≠ Ø ,được gọi là trị riêng,còn
vecto riêng X ≠ Ø tương ứng với λ để (1) thỏa mãn,gọi là vecto
riêng.

Ý nghĩa của bài toán (1) là , với vecto Y ≠ Ø, thì nói chung các
vecto AY và Y không có tỷ lệ với nhau.Nhưng nếu có λ để thỏa
mãn AX = λ X (X ≠ Ø ) thì AX và X tỷ lệ với nhau theo hệ số tỷ lệ
là λ.
Từ (1) ta có :
(A- λE)X = 0 (2)
Để tồn tại X ≠ Ø thỏa mãn (2) thì điều kiện là :
det(A- λE) = | A- λE | =0 (3)
Đa thức P(λ) = | A- λE | gọi là đa thức đặc trưng.

Phương pháp này là đưa ma trận A v
ề dạng ma trận đồng dạng
với ma trận P nào đó , rồi từ A ~ P ta có thể tìm được đa thức đặc
trưng thuận lợi hơn.
a- Đa thức đặc trưng của ma trận dạng Phờrôbơniuýt
Ma trận Phờrôbơniuýt có dạng :
Đa thức đặc trưng của ma trận P sẽ là:

(4)
Khai triển (4) bằng quy nạp ta được
P(λ) = det(P-λE) =

===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 5
Như vậy ta tìm cách đưa ma trận A tới ma trận đồng dạng với A có
dạng P,thì đa thức đặc trưng của P cũng là đa thức đặc trưng của
A. b-Quá trình biến đổi ma trận A về dạng P
Để cách trình bày được đơn giản ta xét ma trận cấp 4 sau:

Khi đó Hay (Được hàng cuối cùng của ma trận P) Bước 2: Giả thiết Chọn ===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 7
=>
=>

Hay


Đặt

Và
.Vậy
=>P~A
Từ đó theo (5) ta được đa thức đặc trưng của ma trận P.
Chú ý :
- với ma trận cấp 4 ta phải tiến hành 3 bước vậy với ma
trận cấp n ta phải tiến hành n-1 bước.
- Trong các bước ta đều phải giả thiết

Nếu
nào đó bằng “0” thì có 2 khả năng xảy ra là:
a.Mọi phần tử trong hàng đó đứng trước nó đều bằng “0”.chẳng
hạn

===============================================================

Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 9

Thì đa thức đặc trưng sẽ là :
c. Vecto riêng của ma trận A ứng với trị riêng nào đó
Từ ma trận cấp 4 đã xét theo công thức (6) ta có:

Nếu Y là một vecto riêng ứng với tri riêng λ của ma trận P thì
PY=λY,từ(7) ta suy ra Hay

Đặt

Thì ta được AX=λX
X là vecto riêng ứng với trị riêng λ của ma trận A. Bây giờ ta đi
tìm Y là vecto riêng ứng với trị riêng λ của ma trận P.
Từ PY=λY với
Thì
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 11
Hay

(9)

============================================================ 12 Ta cần tìm các hệ số

Ta đã biết , nếu (11) là đa thức đặc trưng của ma trận A thì A thỏa
mãn phương trình ma trận :
Trong đó E là ma trận cùng cấp với A.
Chọn vecto bất kỳ

Nhân hai vế của (12) với vecto Đặt

Từ (13)ta được

Hay

Giải hệ(15) được nghiệm

là hệ số đa thức đặc trưng của ma trận A.
b.Thuật toán
Chọn vecto

bất kỳ và tính



(18)

===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 14 Đặt Các hệ số
Sẽ được xác định như sau:
Từ (18) ta suy ra :

Nếu đặt

Thì rõ ràng

Từ (19) ta suy ra

Như vậy nếu
thì vecto riêng
tương ứng với
sẽ
là :

===============================================================

===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 16

>
> > >

===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 17

> >
> >
Ví dụ 2:Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A :
Giải bằng Maple với phương pháp A.N Cờrưlốp :

===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 20 >

> >


- Gói thủ tục LinearAlgebra : cung cấp những thủ tục để
xây dựng và thao tác trên các ma trận và vecto ,bao gồm
các việc như : tính toán các thao tác tiêu chuẩn, câu hỏi
kết quả và giải quyết các vấn đề về đại số tuyến tính.khi
bạn nạp bằng lệnh with bạn sẽ thấy tất cả các hàm trong
bộ chương trình đó : > ===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 22

- Hàm evalm : cho phép chúng ta thực hiện các phép tính
trên ma trận và vecto :

+)
Cộng vecto hoặc ma trận >evalm(A+B),

+)
Nhân ma trận hoặc vecto với ma trận
>evalm(A&*B); >eval(A&*v);
+)
Nghịch đảo ma trận : >evalm(A^(-1));

+)

Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 23 Phần C : Kết luận Đề tài nói được khái niệm về trị riêng và vecto riêng của ma
trận, cách tìm đa thức đặc trưng ,trị riêng ,vecto riêng bằng các
phương pháp Đanhilepski và A.N Cờrưlốp .
Sử dụng Maple để tìm trị riêng vecto riêng theo hai thuật toán
nói trên.
Biết được bộ chương trình đại số tuyến tính LinearAlgebra và
with với 1 số phép toán trên ma trận và vecto trong Maple.
Do khả năng có hạn nên bài làm còn nhiều chỗ thiếu sót rất
mong sự đóng góp ý kiến của thầy để
em có thể làm tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
1.Giáo trình : Giải tích số - Lê Trọng Vinh , NXB khoa học
và kỹ thuật .
2.Hướng dẫn sử dụng Maple – Nguyễn Hữu Điển.
3.Các tài liệu lấy trên internet.
….