BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
TRẦN THỊ THANH HUYỀN
BAO HÀM THỨC VI PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
TRẦN THỊ THANH HUYỀN
BAO HÀM THỨC VI PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội-2013
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS. TS.
Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng
dẫn về phương hướng, nội dung và phương pháp nghiên cứu trong quá
trình thực hiện luận văn.
Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban
giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên
ngành Toán giải tích, Đoàn 871- Bộ Quốc Phòng, Trường sĩ quan Tăng
thiết giáp- Bộ tư lệnh Tăng thiết giáp, đã tạo điều kiện thuận lợi trong
Vì bao hàm thức vi phân luôn có nhiều nghiệm xuất phát từ một
điểm đã cho nên xuất hiện các vấn đề như: Việc nghiên cứu tính chất tô
pô của tập nghiệm, sự lựa chọn nghiệm thỏa mãn các tính chất đã cho,
đánh giá tập các khả năng đạt được Để giải quyết các vấn đề trên ta
cần đến các kỹ thuật toán học đặc biệt.
Do đó bao hàm thức vi phân không những là mô hình cho quá trình
động lực mà chúng còn cung cấp những công cụ mạnh cho các nhánh
khác nhau của toán giải tích. (Xem [5] và những tài liệu dẫn trong đó).
Bao hàm thức vi phân được ứng dụng vào chứng minh sự tồn tại của
những định lý trong lý thuyết điều khiển tối ưu. Chúng được dùng để
dẫn ra điều kiện đủ tối ưu, đóng vai trò cốt yếu trong lý thuyết điều
khiển với những điều kiện bất định và lý thuyết trò chơi vi phân.
Bao hàm thức vi phân có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng
như trong thực tế. Nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu những khía cạnh khác nhau của bao hàm thức vi phân (xem [5]).
vi
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn
tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của chúng với
những kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, được sự động viên
của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự động viên giúp đỡ của thầy Nguyễn
Năng Tâm, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Bao hàm thức vi phân và
ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến bao hàm thức vi phân,
sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân.
• Tìm hiểu về một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và tính ổn định.
• Tìm hiểu về ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối
ưu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Trình bày khái niệm bao hàm thức vi phân.
Chương 2. Bao hàm thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Khái niệm . . . . . . 21
2.2. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . 23
2.3. Một số bao hàm thức vi phân đặc biệt . . . . . . 30
2.3.1. Bao hàm thức vi phân Lipschitzian. 30
2.3.2. Bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên 31
2.4. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1. Phương pháp Lyapunov trực tiếp . . . . . . . 41
2.4.2. Bao hàm thức vi phân chọn tuyến tính . . . . . 49
2.4.3. Ổn định tiệm cận yếu của quá trình lồi 61
ix
Chương 3. Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển
tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . 69
3.2. Nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu dạng đặc biệt . . 74
3.2.1. Bài toán điều khiển tối ưu Mayer. 74
3.2.2. Bài toán tối ưu thời gian . . . 75
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
x
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này giới thiệu và trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích
lồi, giải tích không trơn, giải tích đa trị và một số kiến thức về đạo hàm
suy rộng, được áp dụng cho chương sau. Các kết quả trong chương này
được lấy từ tài liệu [1],[3],[4], [5]
1.1. Giải tích lồi
Dưới đây trình bày một vài kết quả của giải tích lồi như: tập lồi, hàm
lồi, cùng một số tính chất quan trọng của chúng.
Định nghĩa 1.1.1 ([1], [5]). Tích trong của hai véc tơ x và y trong R
C ( ta dùng như ký hiệu), thì ma trận chuyển vị C
∗
tương ứng toán tử
tuyến tính liên hợp.
1
Toán tử tuyến tính đơn vị từ R
n
vào R
n
sẽ được ký hiệu là E. Nếu
có nguy cơ nhầm lẫn về chiều, ma trận cấp n × n được ký hiệu là E
n
.
Quả cầu đơn vị trong R
n
được định nghĩa bởi
B
n
= {x ∈ R
n
||x| ≤ 1}
Định nghĩa 1.1.4 ([1],[3],[5]). Cho A ⊂ R
n
. Hàm khoảng cách d(., A) :
R
n
→ R được định nghĩa bởi
d(x, A) = inf{|x − a||a ∈ A}, x ∈ R
n
Cho λ ∈ R. Thì
Định nghĩa 1.1.5 ([1],[5]). Một tập A được gọi là lồi nếu λx+(1−λ)y ∈
A, với x, y ∈ A, λ ∈ [0, 1]. Bởi định nghĩa nên giao của các tập lồi là
tập lồi, và nếu A ⊂ R
n
, B ⊂ R
n
là lồi, và α, β là các số thực, thì tập
αA + βB là lồi. nếu A là lồi thì intA, clA cũng là các tập lồi.
2
Định nghĩa 1.1.6 ([1],[5]). Cho A ⊂ R
n
. Giao của tất cả các tập lồi
chứa A được gọi là bao lồi của A và ký hiệu là coA.
Một véc tơ tổng
λ
1
x
1
+ + λ
m
x
m
được gọi là tổ hợp lồi của x
1
, , x
m
nếu λ
i
≥ 0, i = 1, m, và λ
1
n
. Miền hữu hiệu của một hàm f, kí hiệu là domf,
là tập được xác định bởi
domf = {x ∈ R
n
|f(x) < +∞}
Định nghĩa 1.1.8 ([1],[5]). Tập
epif = {(x, α) ∈ R
n
× R|f(x) ≤ α}
được gọi là trên đồ thị (epigraph) của f
Ta thấy trên đồ thị của f hoàn toàn xác định hàm đó. Thật vậy
f(x) = inf{α|(x, α) ∈ epif}
Do đó các hàm định nghĩa trên R
n
đều quan hệ đến các tập trong R
n+1
,
và sự tương ứng này làm cho nó có thể nghiên cứu các hàm thông qua
(via) các tập.
3
Định nghĩa 1.1.9 ([1],[5]). Cho X ⊂ R
n
nếu epif là một tập lồi và
f : X → R là một hàm số.
Hàm f được gọi là lồi trên X nếu với mọi x
1
, x
2
∈ X và với mọi
, , x
m
∈ domf, ∀λ
i
≥ 0, 1, m thỏa mãn λ
1
+ + λ
m
= 1 Hiển nhiên
miền xác định của một hàm lồi là một tập lồi. Dễ dàng chứng minh rằng
nếu X là một tập lồi trên R
n
thì hàm f lồi trên X nếu và chỉ nếu trên
đồ thị epif của f là một tập lồi trong R
n+1
Ví dụ 1.1.1 ([5]). Chú ý rằng cận trên đúng
f(x) = sup{f
i
(x)|i ∈ I}
của một họ các hàm lồi là một hàm lồi. Thật vậy, epigraph của f là giao
của các epigraph của các hàm lồi f
i
là một tập lồi. Từ (1.1) ta thấy rằng
tổng của hữu hạn các hàm lồi cũng là một hàm lồi.
Bây giờ ta xét ví dụ của hàm lồi. Cho A ⊂ R
n
là một tập lồi. Hàm
S(x
∗
, A) = sup{x, x
1
− x
∗
2
|
∀x
∗
1
, x
∗
2
∈ R
n
.
Mệnh đề 1.1.2 ([1],[5]). Cho A là một tập lồi và cho x ∈ A. Thì
N(x, A) = {v
∗
|v
∗
, y − x ≤ 0, ∀y ∈ A}
Bổ đề 1.1.1 ([5]). Cho f : R → R ∪ {+∞} là một hàm lồi. Nếu λ
0
<
λ
1
< λ
2
, λ
0
, λ
n
, với > 0. Thì f là Lipschitzian
trong một lân cận của x
0
.
Định lí 1.1.4 ([5]). Cho A là một tập lồi. Thì
d(x, A) = sup{x, x
∗
− S(x
∗
, A)|x
∗
∈ B
n
}
5
Hệ quả 1.1.1 ([5]). Cho
K = {x|x
∗
1
, x ≥ 0, i = 1, N}
thì
K
∗
= {x
∗
|x
∗
=
N
Không gian Hilbert của các hàm đo được x : [0, T ] −→ R
n
sao cho
T
0
|x (t)|
2
dt < ∞
được kí hiệu bởi L
2
([0, T ] ; R
n
). Trong đó tích được định nghĩa bởi công
thức
x (.) , y (.) =
T
0
x (t) , y (t) dt
Không gian Banach của các hàm liên tục x : [0, T ] −→ R
n
với quy
tắc
|x (.)|
C
= max {|x (t)| /t ∈ [0, T ]}
6
được kí hiệu bởi C ([0, T ] , R
n
k
− x
t
k
|< ε
Một hàm liên tục tuyệt đối là liên tục và có biến phân bị chặn.
Mọi hàm Lipschitzian đều liên tục tuyệt đối. Một hàm x : [0, T ] → R
n
liên tục tuyệt đối thì khả vi hầu khắp nơi và đạo hàm của nó ˙x (.) là
hàm khả tích Lebesgue. Hơn nữa công thức Newton- Leibniz luôn đúng.
Tức là
x
t
− x
t
=
t
t
n
) Rõ ràng nó là phép đẳng cấu đẳng cự tới tích Đề các
R
n
× L
1
([0, T ] , R
n
), và do dó nó là không gian Banach.
7
Định nghĩa 1.2.1 ([5], tr89). Tập X ⊂ C ([0, T ] , R
n
) được gọi là liên
tục đồng bậc (equicontinuous) nếu với ε > 0 cho trước ∃δ > 0 sao cho
|x
t
k
− x
t
k
|< ε với mỗi x(.) ∈ X, ∀t
, t
i
(.)| ≤ φ (t) ; t ∈
[0, T ] , i = 1, 2 với φ (.) ∈ L
1
([0, T ] , R
n
) thì x(.) ∈ L
1
([0, T ] , R
n
) và
dãy x
i
(.) hội tụ tới x(.) trong chuẩn L
1
Định lí 1.2.3 ([5],định lý 4.3, tr89). Giả sử rằng dãy x
i
(.) ∈ L
1
([0, T ] , R
n
)
hội tụ tới một hàm x(.) ∈ L
1
([0, T ] , R
n
) trong chuẩn L
1
thì tồn tại một
dãy con
l(τ )dτ−
s
0
l(τ )dτ
ds, t ∈ [0, T ]
8
Định nghĩa 1.2.2 ([5], tr67). Cho A ⊂ R
n
là một tập khác rỗng. Đặt
P (x, A) = cone(x − π(x, A)) =
∪
α>0
α (x − π (x, A)). Nón chuẩn Mor-
dukhovich của A tại x được định nghĩa bởi
N(x, A) = lim sup
x
→x
P (x
, A)
Hiển nhiên N(x, A) là một nón đóng khác rỗng.
Định lí 1.2.5 ([5],định lý 3.3, tr68). Cho ˆx ∈ clA. Thì ta có đẳng thức
sau
N (ˆx, A) = lim sup
x→ˆx
x∈clA
N (x, A)
Định lí 1.2.6 ([5],định lý 3.4, tr69). Cho ˆx ∈ clA. Thì ta có đẳng thức
∗
) = {x
∗
∈ R
n
|(x
∗
, −v) ∈ N((x, v), grF )}
Định lí 1.2.8 ([5],định lý 3.8, tr72). Giả sử rằng một ánh xạ đa trị
F : R
n
→ R
m
là Lipschitzian. cho (x, v) ∈ grF , và cho F
∗
(x, v)(v
∗
) = ∅.
Thì
S(−v
∗
, F (x)) = −v, v
∗
.
9
1.3. Giải tích đa trị
Mục này trình bày các khái niệm và các kết quả liên quan đến ánh
xạ đa trị, xấp xỉ Lipschitzian và quá trình lồi
Định nghĩa 1.3.1 ([4],[5]). Cho X và Y là hai không gian định chuẩn.
Một ánh xạ đa trị từ X vào Y là một ánh xạ liên kết mỗi x ∈ X một
+
, khi V (x) < +∞
∅, khi V (x) = +∞
10
Rõ ràng, miền xác định của V
+
trùng với tập các điểm x sao cho V (x) <
∞ và grV
+
là epigraph của V .
Ánh xạ sau được mở rộng sử dụng trong lý thuyết điều khiển. Cho
f : X × U → Y là một ánh xạ đơn trị, với U là một tập các tham số.
Thì chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ đa trị
F (x) = f(x, U) =
x∈U
f (x, u)
Định nghĩa 1.3.4 ([4],[5]). Một ánh xạ đa trị được gọi là nửa liên tục
trên tại x
0
∈ X nếu với bất kỳ tập mở M chứa F (x
0
) tồn tại một lân
cận Ω của x
0
sao cho F (Ω) ⊂ M. Một ánh xạ đa trị dược gọi là nửa liên
tục trên nếu nó như vậy tại mọi điểm x
0
∈ X.
Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới tại x
Nó được gọi là liên tục nếu nó liên tục
tại mọi điểm x ∈ X.
Cho F : X → Y là ánh xạ đa trị. Các chuẩn trong X và Y được kí
hiệu bởi |. |
X
và |. |
Y
.
Định nghĩa 1.3.5 (Lipschitzian). ([5]) Ta nói rằng F là Lipschitzian
11
nếu tồn tại l ≥ 0sao cho
F (x
1
) ⊂ F (x
2
) + l|x
1
− x
2
|
X
B
Y
,
với mọi x
1
∈ X và x
1
∈ X, với B
Y
.
Mệnh đề 1.3.3 ([4],[5]). Cho A, B ⊂ R
n
và cho α > 0. Giả sử rằng
B ⊂ A + αB
n
. Thì
d(x, A) ≤ d(x, B) + α
Định lí 1.3.1 (Lusin). ([5], định lý 2.1, trang 36) Cho A ⊂ R
n
là một
tập compact. Một hàm f : A → R
n
là đo được nếu và chỉ nếu ∀εε > 0
tồn tại một tập con compact A
ε
⊂ A sao cho meas (A
ε
\A
2ε
) ≤ ε và hạn
chế của f tới A
ε
là liên tục.
Nếu ánh xạ đa trị F : R
n
→ R
m
có giá trị lồi đóng, thì phép chiếu
π(y, F (x)) bao gồm một điểm duy nhất. Định lý sau thiết lập tính chất
x. Thì tồn tại một hàm đo được u : R
n
→ U thỏa mãn v(x) = f(x, u(x)).
Bổ đề 1.3.1 ([5], bổ đề 2.2, trang 35). Cho F : R
n
→ R
m
là một ánh
xạ đa trị liên tục với domF = R
n
. Thì hàm ρ(x, y) = d(y, F (x)) là liên
tục.
Bổ đề 1.3.2 ([5], bổ đề 2.4, trang 39). Cho một ánh xạ đa trị F : X → Y
là Lipschitzian với hằng số l > 0. Thì
d((x, y), grF ) ≤ d(y, F (x)) ≤ (1 + l)d((x, y), grF ) (1.2)
Định lí 1.3.4 ([5], định lý 2.4, trang 39). Cho U ⊂ R
k
là một tập
compact, và cho f : R
n
× U → R
m
là một hàm khả vi hai lần liên tục
trong x. Giả sử rằng tập f(x, U) là lồi với mọi x ∈ R
n
, các đạo hàm
liên tục trong (x, u) và ˆu là một véc tơ duy nhất trong U thỏa mãn
ˆv = f(ˆx, ˆu). Thì
T
+
−
F (ˆx, ˆy) : X → Y được định nghĩa bởi
grD
−
F (ˆx, ˆy) = T
−
((ˆx, ˆy), grF )
được gọi là đạo hàm contingent của F tại điểm (ˆx, ˆy). Nói cách khác
y ∈ D
−
F (ˆx, ˆy)(x) nếu và chỉ nếu (x, y) ∈ T
−
((ˆx, ˆy), grF ).
Mệnh đề 1.3.4 ([5], mệnh đề 2.10, trang 41). Giả sử rằng một ánh
xạ đa trị F : X → Y thỏa mãn điều kiện Lipschitzian với một hằng số
l > 0. Thì
D
+
F (ˆx, ˆy) (x) =
y
lim
i↓0
λ
−1
d (ˆy + λy, F (ˆx + λx)) = 0
ˆv = ∇
x
f(ˆx, ˆu), K = cone(f(ˆx, U) − ˆv)
Kết quả sau chứa một ước lượng của nón tiếp tuyến tới đồ thị của ánh
xạ đa trị x → f(x, U).
Mệnh đề 1.3.5 ([5], mệnh đề 2.8, trang 39). Bao hàm thức vi phân sau
luôn đúng
{(x, v) ∈ R
n
× R
m
|v ∈ Cx + K} ⊂ T
+
((ˆx, ˆv), grf(., U)).
Định lí 1.3.5 ([5], định lý 2.5, trang 43). Cho F : R
n
→ R
n
là một ánh
xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi đóng. Giả sử rằng tồn tại b > 0
sao cho F(x) ⊂ bB
n
, ∀x ∈ R
n
. Thì tồn tại một dãy các ánh xạ đa trị
Lipschitzian địa phương F
k
: R
n
→ R
→ R
m
gọi là đóng nếu đồ thị của nó đóng.
Gọi là chặt nếu domA = R
n
15
Copyright: Tài liệu đại học ©