TRNG I HC VINH
TRNG THPT CHUYấN
KHO ST CHT LNG LP 12, LN CUI - NM 2014
Mụn: TON; Khi: A; Thi gian lm bi: 180 phỳt
I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca
hm s ó cho.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C)
ti im M, bit khong cỏch t im M n ng thng bng
Cõu 2 (1,0 im). Gii phng
trỡnh
Cõu 3 (1,0 im). Gii bt phng
trỡnh
Cõu 4 (1,0 im). Tớnh tớch phõn
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh hp cú ỏy
ABCD l hỡnh thoi cnh hỡnh chiu
vuụng gúc ca B lờn mt phng l
trung im ca Bit rng cụsin ca gúc to bi hai mt phng v bng Tớnh theo a th tớch khi hp v
bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din
Cõu 6 (1,0 im). Gi s a, b,
c l cỏc s thc dng tha
món Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc
II. PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn a hoc phn b)
a. Theo chng trỡnh Chun
Cõu 7.a (1,0 im). Trong mt phng vi h
ta Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú phng trỡnh ng chộo im l trng tõm ca tam giỏc ABC,
im thuc ng cao k t D ca tam giỏc ACD. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh bỡnh hnh ó cho bit rng
din tớch ca t giỏc AGCD bng 32 v nh A cú tung dng.
Cõu 8.a (1,0 im). Trong khụng gian vi

y
x

=

: 2 1y x =
3
.
5
sin (cos2 2cos ) cos2 cos 1.x x x x x =
2 2
1 2 3 4 .x x x x+
2
0
cos3 2cos
d .
2 3sin cos2
x x
I x
x x

+
=
+

. ' ' ' 'ABCD A B C D
3,a
3 ,BD a=
( ' ' ' ')A B C D
' '.A C

x y z +
= =

( ) : 1 0.x z

+ =
1 7 1
.
5 5
z i z
i
z z
+ +
+ = +
2 ,AD BC=
(4; 0),B
2 3 0,x y =
: 2 10 0.x y + =
ã
cot 2.ADC =
(2;1;1), (3; 2; 4)A B
( ) : 5 2 5 0.x y z

+ =
( )

MA AB
( )
330
, .

a) (1,0 điểm)
1
0
. Tập xác định:
2
0
. Sự biến thiên:
* Giới hạn tại vô cực: Ta có và
Giới hạn vô cực: và
Suy ra đồ thị (H) có tiệm cận ngang là đường
thẳng tiệm cận đứng là đường thẳng
* Chiều biến thiên: Ta có với mọi
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi
khoảng và
0,5
* Bảng biến thiên:
3
0
. Đồ thị:
Đồ thị cắt Ox tại cắt Oy tại
Nhận giao điểm của hai tiệm cận
làm tâm đối xứng.
0,5
b) (1,0 điểm)
Gọi tiếp điểm Khi đó ta có
0,5
*) Với ta có suy ra pt tiếp tuyến hay
*) Với ta có suy ra pt tiếp
tuyến hay
0,5

Suy ra
0,5
0,5
\{1}.R
lim 1
x
y
→−∞
= −
lim 1.
x
y
→+∞
= −
1
lim
x
y
+
→
= −∞
1
lim .
x
y
−
→
= +∞
1,y = −
1.x =

0
1
; ( ).
1
x
M x C
x
 
− −
∈
 ÷
−
 
0
0
0
2 2
1
2 1
1
3 3
( , )
5 5
1 2
x
x
x
d M
− −
− −

x
x x x x x
x
x x x x x
= −

 
− + = − − + =

⇔ ⇔ ⇔
 

=
− + = − − + − =
 
 


0
1,x = −
( 1; 0),M −
'( 1).( 1)y y x= − +
1 1
.
2 2
y x= +
0
1
,
2

x x x k x k
π π
π π
− = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +
.k ∈Z
2
2
1
4 4
cos sin 1 0 sin
3
4
2 , .
2
2
2
4 4
x k
x k
x x x
x k k
x k
π π
π
π
π
π
π π
π
π

= = + ∈Z
2
2
0
0 1
3 41
1 0 0 .
3 41 3 41
8
2 3 4 0
8 8
x
x
x x
x
x x
≥

≤ ≤

− +


− ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− − − +
≤ ≤
 
− − ≥


≤


5 34 3 41
.
9 8
x
− + − +
≤ ≤
2 2
2 2
2 2
0 0
(4cos 1)cos 3 4sin
d d(sin ).
2 3sin (1 2sin ) 2sin 3sin 1
x x x
I x x
x x x x
π π
− −
= =
+ − − + +
∫ ∫
sin .t x=
0x =
0,t =
2
x
π

∫ ∫
Câu 5.
(1,0
điểm)
*) Áp dụng định
lý côsin cho tam
giác suy ra Do đó là các tam giác đều cạnh
Gọi ta có
Kẻ tại H, suy ra Do đó
Từ
0,5
Vậy
*) Vì nên tam giác vuông tại B.
Vì nên là trục đường tròn ngoại
tiếp tam giác Gọi G là tâm của
tam giác đều Khi đó và nên G là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Mặt cầu này có bán kính
0,5
Câu 6.
(1,0
điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
Tương tự, ta có
Suy ra

Vì nên
(1)
0,5
Xét hàm số với
Ta

t t t t
t t
 
= − + + = − + + + + = − + + = −
 ÷
+ +
 
∫
' ' 'A B D
·
0
' ' ' 120 .B A D =
' ' ',A B C
' ' 'A C D
3.a
' ' ' ',O A C B D= ∩
( )
' ' ' ' .BO A B C D⊥
' 'OH A B⊥
( )
' ' .A B BHO⊥
( ) ( )
·
(
)
·
, ' ' .ABCD CDD C BHO=
· ·
21 2
cos tan .

' ' '.A C D
' ' 'GA GC GD= =
' 'GA GB GC= =
' ' '.A BC D
2 2 3
' ' . .
3 3 2
a
R GD OD a= = = =
2 2 2
2 2
2 2
4
.
5
( ) 5 9( )
( ) ( )
4
a a a
b c bc b c
b c b c
≥ =
+ + +
+ + +
2 2
2 2
4
.
( ) 5 9( )
b b

2
.
9 9 9
( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4
( )
4
a b
c a b
a b c a b a b c a b
ab c a b c a b a b c a b c
c a b c
 
+
+ +
 ÷
   
+ + + + + +
= ≥ =
 ÷
 ÷  ÷
+ + + + + + + +
 ÷
   
+ + +
 ÷
 
1 1a b c a b c
+ + = ⇔ + = −
2
2

 ÷
+
 
(0; 1).c∈
2
16 2 2 3
'( ) 1 . ( 1);
9 1 2
( 1)
f c c
c
c
 
= − − −
 ÷
+
+
 
( )
3
1
'( ) 0 ( 1) 64 (3 3) 0 .
3
f c c c c= ⇔ − − + = ⇔ =
1
( )
9
f c ≥ −
(0; 1).c∈
1

3
5; 22
D
tt
t
D

−
=+

⇔ = ⇔ ⇒


= −
−



( )
1; 4 .D −
( )
( )
( )
1 1 2. 1
2 1; 8 : 1.
4 4 2 4
B
B
x
GD GB B BD x

1
1
9
−
A
B
C
D
G
E
D
A
3a
C
H
'D
O
3a
B
G
'C
'B
'A
Suy ra
Từ
Vậy
Câu
8.a
(1,0
điểm)

bình hành. Suy ra
Từ
0,5
Vì Ta có
Suy ra hoặc
Với ta thấy I là trung điểm của
AC nên vì E là trung điểm của AD nên
Với tương tự ta có
0,5
Câu
8.b
(1,0
điểm)
Ta có Ta thấy
nên đường thẳng
MA có VTCP là
0,5
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông MAB ta có
Suy ra
0,5
Câu
9.b
(1,0
điểm)
Điều kiện:
Đặt phương trình thứ nhất của hệ trở thành
vì
Vì hàm đồng
biến trên mà nên Khi đó ta có hay
0,5



( )
3; 2 .AD BC C= ⇒ − −
uuur uuur
( ) ( ) ( ) ( )
5; 6 , 1; 8 , 3; 2 , 1; 4 .A B C D− − −
( )
3; 4; 4 8 .A AB A a a a∈ ⇒ + + − −
( )
α
( )
1; 2; 0 .A
( )
3; 4; 4 8 .B AB B b b b∈ ⇒ + + − −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2; 3; 4 tm 0
1
3 2 2 2 16 2 18
3
0;1; 4 ktm
B
B x
b
AB b b b
b
B

2 2 2
C c c c C
α
 
+ − + ∈ ⇒ = ⇒ −
 ÷
 
( ) ( )
7 5
1; 2; 0 , 2; 3; 4 , ; 3; .
2 2
A B C
 
− −
 ÷
 
( , ).z x yi x y= + ∈ R
( ) ( )
2 2
( 1) ( ) ( 1) ( )
1 ( 1) ( 1)
x y i x yi x yi x yi
z i z x y i x yi
z z x yi x yi
x y
+ + + + + − −
+ + + + + −
+ = + =
− +
+

x y x y
x y x y x y x y
x y x y
 
− + − −

+ ≠

+ ≠
= =
 

+ +

 
⇔ ⇔ = ⇔ = ±
   
− −
   
= =
+ = − + = −


 
+ +
 
2 ,x y=
2
2
0, 0 (ktm)

z i
x y
y y
= −

= =


⇔ ⇒ = −


= = −
= −



2 , 6 3 .z i z i= + = −
.I AC BE= ∩
( )
; 2 3 .I AC I t t∈ ⇒ −
( )
2 4; 4 6 .E t t− −
( ) ( )
3 3; 3 , 2; 6 .E t I E∈∆ ⇒ = ⇒
/ / ,AD BC
2AD BC=
·
·
.ADC IBC=
·

>

−


= ⇔ = ⇔ ⇔


=
− + =

− +



( )
5; 7C
7 5
; .`
3 3
C
 
 ÷
 
( )
5; 7 ,C
( )
1; 1 ,A −
( )
3;13 .D

 
uuur uuur uur
( )
2 1 1
: 17 2; 5 1; 4 1 .
17 5 4
x y z
MA M m m m
− − −
⇒ = = ⇒ − + + +
−
( )
( )
2 2 2
1 1 1
330.
,
AM
AM AB
d A MB
= + ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
17 5 4 330 1 15; 6; 5 , 19; 4; 3m m m m M M+ + = ⇒ = ± ⇒ − − −
0.x y> >
0,t xy= >
4 ( 2)2 3 0 (2 1)(2 3) 0
t t t t
t t t+ − + − = ⇔ + + − =
2 3 0,

 
B
C
D
A
E
∆
I
Suy ra
nghiệm của
hệ là
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 1
log log
1
2.
1 1 1 1 1
log log
x x
x x
x x
x x
x
x x x
x
x x x