SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (3,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)
4
x x y y x y
y x xy

+ − + + − = + +


+ =


2. Tìm tất cả hàm số
:f →¡ ¡
thoả mãn:
( ) ( ) ,f x y f x y x y+ = + ∀ ∈¡
và
2
1 ( )
0
f x
f x

( )I
song song với CD (gần CD hơn) cắt
∆
tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác
1 2 3
.I I I
Câu 4 (2,0 điểm).
Xét các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2 3 20.a b c
+ + ≥
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 9 4
2
L a b c
a b c
= + + + + + ×
Câu 5 (1,0 điểm).
Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít
nhất hai phần tử và với mọi
, ,m n X m n∈ <
thì tồn tại
k X
∈
sao cho
2
.n mk=

—Hết—

(2) (4 1) 4 1 4 1
x y
x y x x y
y x
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
thay vào (1) ta được
0,5
(2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)
x y
x y x y
y x
+ + + = + +
0,5
Do
(2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)
x y
x y x x
y x
+ + + ≥ + +
0,5
Suy ra
(1) (2 3) (2 3) ( )(2 2 3) 0x x y y x y x y⇔ + = + ⇔ − + + =
x y⇔ =
thay vào (2) ta
được
2
0 ( )
2 0
1 1
2 2

1 1 1
(0) 0.f f a x
x x x
 
= + = + ∀ ≠
 ÷
 
Mặt khác
2 2 2
1 ( ) (0)
0
f x f x a x
f x
x x x x
+ +
 
= = = ∀ ≠
 ÷
 
.
0,25
2
2
1
0 0 0.
a x
a x ax a x a
x x
+
⇒ + = ∀ ≠ ⇔ = ∀ ≠ ⇔ =

TH2.
7 4
q q
p− M
, ta có
( )
1, 1p q− = ⇒
tồn tại 2 số nguyên dương
,u v
sao cho
( )
1 1qv p u− − =
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1
7 4 mod 7 4 mod 7 4 mod
p u p u
q q qv qv
p p p
+ − + −
⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡
( ) ( )
7 4 mod 3 0 mod 3.p p p⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ =
0,5
Với
3p =
, từ giả thiết ban đầu ta được:
( ) ( ) ( )
3 3

;FD KH FH HA↑↑ ↑↑
uuur uuur uuur uuur
nên các đường phân giác
1
HI
của góc
AHK∠
và
3
FI
của
góc
HFD∠
vuông góc với nhau; hay
1 2 3
I H I I⊥
(Do
2 3
, ,F I I
thẳng hàng) (1)
0,5
Chứng minh tương tự, cũng được
3 2
HI EI⊥
hay
3 1 2
I H I I⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
0,5

c c c
 
+ ≥ = ⇒ + ≥
 ÷
 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4c
=
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được
3 3 9 4
8
4 2 4 2
a b c
a b c
+ + + + + ≥
(1)
Mặt khác, do
2 3 20a b c
+ + ≥
nên
3
5
4 2 4
a b c
+ + ≥
(chia hai vế cho 4) (2)
0,5
Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được
3 9 4
13.

Với
2
. . 1k n n m n m n= ⇒ = ⇔ =
vô lí.
0,25
Với
3
1k m m n m m= ⇒ < = ⇒ >
+) Nếu
| | 2X =
thì tập hợp
{ }
3
1,X m m m >=
.
+) Nếu
| | 3X ≥
, gọi
q
là phần tử bé thứ ba của
X
(tức là
m n q< <
). Khi đó tồn tại
X∈l
sao cho
2
.q m= l
0,25
Do

, vô lý.
Vậy
| | 2X =
và
{ }
3
1,X m m m >=
.
0,25