Đề thi thử vào lớp 10 THPT không chuyên
Môn Toán. Năm học 2015 – 2016
Thời gian làm bài 120’
( Không kể thời gian phát đề )
Bài 1:(1,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

A 2 5 3 45 500
= + −1 15 12
B
5 2
3 2
−
= −
−
+
Bài 2:(2,0 điểm)
1)
Giải hệ phương trình:
3x y 1
3x 8y 19



− =
+ =
2)
Cho phương trình bậc hai:
2

chính giữa của cung AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB.
OD cắt AC tại M. Từ A, kẻ AH vuông góc với OD (H thuộc OD). AH cắt DB
tại N và cắt nửa đường tròn (O; R) tại E.
1) Chứng minh MCNH là tứ giác nội tiếp và OD song song với EB.
2) Gọi K là giao điểm của EC và OD. Chứng minh C là trung điểm của
KE.
3) Chứng minh tam giác EHK vuông cân và MN song song với AB.
4) Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH.
Bài 6:(1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số dương và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
bc ac ab
a b c
+ +
- Hết -
1
H
N
M
K
E
D
B
O

= − = − − = − − = −
+ − −
0,25
0,25
2
(2,0đ)
1)
+ Tìm y = 2 ( hoặc x = 1)
+ Tìmgiá trị còn lại và kết luận nghiệm (x; y ) = ( 1; 2 )
0,25
0,25
2)
a) +Khi m = 4 phương trình (1) trở thành
2
x 4x 3 0
− + =
+ Tìm được hai nghiệm x
1
= 1 ; x
2
= 3
0,25
0,25
b) Cách 1:
+ Chứng tỏ ∆ ≥ 0 nên được phương trình (1) có nghiệm với mọi
m
+ Áp dụng hệ thức Viét :
1 2
1 2
x x m

= m – 1
+ Biến đổi hệ thức
1 2
1 2
x x
1 1
x x 2011
+
+ =
thành
m m
m 1 2011
=
−
(*)
+ Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m =
2012(tmđk)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(3,5đ)

2
1)


+ Chứng minh ∆EHK vuông cân tại H .
+ Suy ra đường trung tuyến HC vừa là đường phân giác , do đó
·
·
1
CHN EHK
2
=
= 45
0
. Giải thích
·
·
CMN CHN
=
= 45
0
.
+Cm
·
CAB
= 45
0
, do đó
·
·
CAB CMN
=
. Suy ra MN // AB

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(1,5đ)
1)
+ Lập đúng bảng giá trị
+ Vẽ đúng đồ thị (P) ( Đường cong trơn đều cho điểm )
2)
+ Tìm đúng hệ số b
+ Tìm được hệ số a
0,25
0,25
0,5
0,5
4
(1,0đ)
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h) ĐK: x > 6
Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x + 5 (h)
Mỗi giờ vòi 1 chảy một mình được:
1
x
(bể)

(1,0đ)
Cách 1:
Với a, b, c là các số dương và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1⇒ P > 0.
Ta có: P
2
=
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
bc ac ab b c a c a b
2(a b c )
a b c
a b c
æ ö
÷
ç
+ + = + + + + +
÷
ç
÷
ç
è ø
=

+ ³
⇒
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
b c a c a b
a b c
a b c
+ + ³ + +
= 1
⇒ P
2

³
1 + 2 = 3 ⇒ P
³

3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P =
3

⇔
2 2 2 2
2 2
b c a c
a b
=
;
2 2 2 2
2 2

c

ta có P =
bc ac ab
a b c
+ +
≥
3
3 abc
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
(đề bài cho)⇒
3
3 abc
≥ 3c ⇒ P ≥ 3c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
bc ac ab
a b c
= =

⇔ a = b = c =
3
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3.
3