ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1(2,0 điểm).
Cho biểu thức:
2x
: 1
1
1 1
x y x y
x y y
P
xy
xy xy
 
+ −
 
+ +
= + +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 

(với
0, 0, 1x y xy≥ ≥ ≠
) .

m
để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN.
Câu 3 (1,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên
( ; )x y
thoả mãn:
2 3 2 3
6 3 10 2x y x y+ − =−
.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho nửa đường tròn
( )
O;R
, đường kính
AD
cố định. Vẽ tứ giác
ABCD
nội tiếp
nửa đường tròn
( )
;O R
. Gọi
I
là giao điểm của
AC
và
BD
;
K

biết chu vi tam giác ABD lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
a 3b c+ + =
. Chứng minh :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 3
4
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
.
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1: Giám thị 2:
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN
CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Tin)
( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang )
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
a)
1,25

− + + +
0,5
( )
( ) ( )
2 1
2
1 1 1
x y
x
x y x
+
= =
+ + +
0,25
b)
0,75
điểm
Ta có :
0 0P x≥ ∀ ≥
0,25
Lại có
1 2x x+ ≥
với
0x ≥
nên
2 2
1
1
2
x x

= −

0,25
Với
1x y= −
Thế vào phương trình thứ hai ta được
2
1 2 2 1 4 0
8 1 7 19
19
7
49 330 425 0
y y
y y
y
y y
− − − + =
⇔ − = −

≥

⇔


− + =

0,25
19
7
5

0,25
b)
Phương trình hoành độ giao điểm
2
0 (1)x x m− − =
0,25
2
1,0
điểm
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt
x
1
, x
2
. Điều kiện là
1
1 4 0
4
m m∆ = + > ⇔ > −
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x x m B x x m+ +
Theo Vi-ét :
1 2 1 2
1;x x x x m+ = = −
(d) cắt Ox tại M(-m;0), (d) cắt Oy tại N(0;m) với m
≠
0.
0,25

+ − = −
⇔ − + − = −
⇔ − + = −
0,25
2 2 2 2
3 3 3 3
3 5 1 3 5 1 3 5 7 3 5 7
; ; ;
2 1 7 2 1 7 2 1 1 2 1 1
x x x x
y y y y
   
− = − = − − = − = −
   
⇔
   
+ = − + = + = − + =
   
   
0,25
2
3
4 2
1
1
x x
y
y

= = ±

·
·
IBK CAD⇒ =

0,25
Lại có
·
·
IBC CAD=
(cùng chắn
»
CD
)
Suy ra
·
·
IBK IBC=

⇒
BI là phân giác góc
·
CBK
0,25
Chứng minh tương tự có
CI
là phân giác
·
BCK
0,25
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK. 0,25

=
( t/c đường phân giác của tam giác) 0,25
Từ (1) và (2), có :
. .
BI BD
BI DF BD IF
IF DF
= ⇔ =
0,25
c)
1,0
điểm
Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD
/ 2KE ED ID⇒ = =
⇒
tam giác KED cân tại E
·
·
2BEK BDA⇒ =
( t/c góc ngoài của tam giác)
Mà
·
·
BDA BCA=
(2 góc nội tiếp cùng chắn
»
AB
)
Suy ra
·

0,25
Mà
EK ED=
( chứng minh trên)
Suy ra :
2
.ED EB EF=
0,25
d)
1,0
điểm
Chu vi tam giác ABD lớn nhất
2AB BD AD AB BD R⇔ + + = + +
lớn nhất

AB BD
⇔ +
lớn nhất
0,25
Ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 8AB BD AB BD AD R+ ≤ + = =

2 2AB BD R⇒ + ≤
( dấu "="xảy ra khi
2AB BD R= =
)

1 9 3
3 4
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + + + + +
 
 
≥ =
 ÷
+ + + + +
 
0,25
4
Vì
1 1 1 9
, , 0x y z
x y z x y z
+ + ≥ ∀ >
+ +
0,25
Vậy

2 2 2
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 4a b b c c a
+ + ≥
+ + +