TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2012

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN – LỚP 11

Câu Đáp án
Điểm
Câu 1

6,0
1.
3
33
6cos 2 2cos3 2cos 2 6cos 2 8cos 4cos 2
x
xx x xx+= + −⇔ += − −
(2)

0,5
Đặt
3
6cos 2tx=+
ta có hệ pt:
()
3
3
3
33
6cos 2
8cos 4cos 2
8cos 2cos 2cos 2cos

0,5
Do đó pt (3)
()( )
3
3
2
6cos 2 2 cos 6 cos 2 8 cos
osx=1
osx-1 2cos 1 0
1
cosx=-
2
x
xx x
c
cx
⇔+=⇔+=
⎡
⎢
⇔+=⇔
⎢
⎣

0,5
Với
osx=1 x=k2 (k )c π ]⇔∈

Với
12
osx=- 2 (k )

ct ct
ct
tt
++−≤−
⇔+≤−

22
2cos( ) 2 sin ( ) os ( )
444
πππ
ttct⇔−≤−− − 1,0
22
42
2 1 os ( ) os ( ) 2cos( ) 0
44 4
os()os()2cos()20
44 4
ππ π
ct ct t
ππ π
ct ct t
⎡⎤
⇔−− − − − − ≥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⇔−−−−−+≥


4,0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,
f
fy fx fx y fx y xy+=+++∀
(1)
Trong (1) thay y bởi f(y) ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
,
f
xfy fyfx xy⇒+ =+ ∀,từ (1) có:
(
)
(
)
(
)
() ,
f
xy fx y fxy fy xxy++ += ++ +∀
(
)
(
)
,
f
xxfyyaxy⇒−=−=∀
1,0

()
f
xxax⇒=+∀

1,0
Câu 3


BHD ⇒ BK
⊥
HD (tại E)

1,0
Tương tự ta có CH
⊥
KD (tại F)
1,0

Trong tam giác DKH các đường cao KB và CH cắt nhau tại I nên DI là đường
cao thứ 3. Hay DI
⊥
KH (1)

1,0
Mặt khác
Δ
PDM =
Δ
AKH ( Do AK = BH = DP,
∠
P =
∠
A = 90
0
, MP =
MK) Do đó
∠ PMD = ∠ AHK
⇒

mod16 , , 12xx x r r r+++ ≡ ∈ ≤`
.

1.0 Mặt khác, ta có:
(
)
2013 13 mod16≡
Do vậy, phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

1.0
Câu 5

2,0 Sắp xếp 2012 số nguyên dương đầu tiên thành một hàng theo thứ tự tăng bắt đầu
từ 1. Nếu một số được chọn thì đặt biểu tượng Y dưới số đó, nếu không chọn thì
đặt biểu tượng N dưới số đó. Gọi x
1
là số lượng số có biểu tượng N đứng trước
biểu tượng Y đầu tiên; x
2
là số lượng số có biểu tượng N giữa biểu tượng Y đầu
tiên và biểu tượng Y thứ hai, , x
11
là số lượng số có biểu tượng N giữa biểu
tượng Y thứ 10 và biểu tượng thứ 11; và x


Hết