Nội dung
A. Tên đề tài:
Một số kinh nghiệm giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải phương
trình vô tỷ ở lớp 9 THCS
B. Lý do chọn đề tài
I. Cơ sở phương pháp luận:
Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về phương trình vô tỷ
của chương trình Đại số 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa,
sách bài tập do Bộ giáo dục - Đào tạo ấn hành còn đơn giản, chưa sâu, chưa
đáp ứng đầy đủ yêu cầu của dạng toán này bởi trên thực tế bài tập về
phương trình vô tỷ rất đa dạng, phong phú và là một thể loại toán khó của
Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học sinh khá giỏi đòi hỏi
giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn vì thế mà nội dung giảng
dạy chưa thống nhất. Là giáo viên, chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho
học sinh “chiếc chìa khoá” để giải từng dạng cụ thể của phương trình. Song
không phải dạng phương trình nào cũng có một quy tắc nhất định. Qua quá
trình giảngdạy, tham khảo đồng nghiệp và học hỏi các thầy cô tôi mạnh dạn
phân dạng phương trình vô tỷ và cách giải từng dạng đồng thời đưa ra một
số cách giải phương trình vô tỷ với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc
phương trình vô tỷ dưới nhiều góc độ hơn và làm nhẹ nhàng quá trình giải
phương trình vô tỷ cho học sinh.
Khi dạy học sinh giải phương trình vô tỷ HS cần nắm được
những vấn đề sau:
1. Khái niệm về phương trình, tập xác định, nghiệm của phương trình.
- Các định nghĩa, định lý biến đổi hai phương trình tương đương.
- Cách giải các loại phương trình cơ bản.
2. Phương trình vô tỷ.
- Định nghĩa phương trình vô tỷ, các bước giải phương trình vô tỷ
nói chung.
- Các kiến thức căn bản về căn thức, phương pháp giải phương trình
vô tỷ.

+ Mỗi giá trị của biến x thuộc tập xác định để có một đẳng thức đúng
gọi là một nghiệm của phương trình.
+ S: Là tập hợp nghiệm của phương trình.
b. Tập xác định của phương trình.
Là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình
đều có nghĩa.
c. Hai phương trình tương đương.
Là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm hoặc nghiệm của
phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia và ngược lại.
2. Phương trình vô tỷ.
a. Định nghĩa:
Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa ẩn số trong căn thức.
Ví dụ: xx −=+− 1133

b. Các bước giải phương trình (dạng chung)
- Điều kiện xác định của phương trình.
- Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học.
- Giải phương trình vừa tìm được.
- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.
Chú ý: Với những phương trình có ĐKXĐ là
Rx ∈∀
(trong quá trình
biến đổi không đặt điều kiện) khi tìm được nghiệm phải thử lại.
c. Các kiến thức cơ bản về căn thức.
- Một số âm không có căn bậc chẵn.
- Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để
được phương trình tương đương phải đặt điều kiện.

)()()( xhxgxf =+
(1)
Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình:
f(x) >

0
g(x) >

0 (2)
h (x) >

0
Với điều kiện (2) hai vế của phương trình (1) không âm nên bình
phương vế của phương trình (1) rồi rút gọn ta được:
2
)()()]([
)().(
2
xgxfxh
xgxf
−−
=
(3)
Phương trình (3) có dạng 1 nên giải theo phương pháp của dạng 1.
Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện rồi kết luận
nghiệm.
c. Dạng 3:
)()()( xhxgxf =+
(Cách giải như dạng 2)
d. Dạng 4:

(a >

0)
=>
2
)()(
)().(
2
xgxfa
xgxf
−−
=
Đưa phương trình (1) về các phương trình đã biết cách giải rồi giải.
4. Các phương pháp giải phương trình vô tỷ.
Trên đây là 5 dạng phương trình vô tỷ nhưng không phải bao giờ ta
cũng gặp một trong 5 dạng trên hoặc bất cứ phương trình vô tỷ nào cũng có

3
thể đưa về một trong 5 dạng trên. Sau đây là một số phương pháp giải phương
trình vô tỷ chúng ta thường áp dụng trong giảng dạy ở phổ thông.
a. Phương pháp nâng lên luỹ thừa.
Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế của phương trình lên luỹ
thừa n. Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả vế của phương trình
không âm.
Ví dụ:

Giải phương trình:
4325
33
=−++ xx

<=> x
2
+ 22x - 48 = 0 <=> (x - 2)(x + 24) = 0
<=> x = 2
x = - 24
Thử lại: + Với x = 2 ta có
41323225
33
=+=−++
+ Với x = - 24 ta có
4312432524
33
=+=+++−
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 2; x = -24
Ví dụ 2:341 =++− xx
(1)
Điều kiện - 4 <

x <

1 (*)
Khi đó 2 vế của phương trình (1) không âm, bình phương hai vế ta có:
(1) <=> 1 - x + 4 + x + 2
9)4)(1( =+− xx

<=>
2)4)(1( =+− xx

1

4
<=>
22
2
1
5
2
3






++=






− xx
<=>
2
1
5
2
3

3
5+x
= x - 2 Nếu x >2
3
5+x
= - x + 1 Nếu x <
2
3
x >

2 x >

2
x + 5 = x
2
- 4x + 4 x
2
- 5x -1 = 0
x <

1  x <

1
x + 5 = x
2
- 2x + 1 x
2












+−=−+
≥−+
≤−+
1111
011
011
xx
x
x

01
≤≤−⇔
x
Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của (1) là: - 1 <

x <

0
c. Phương pháp đặt ẩn phụ.


x <

1 (*). Đặt
tx =−1
(t >

0)
Khi đó 1 -
2
tx =
<=> x = (1 - t
2
)
2
(vì
)0≥x
. Đến đây phương trình
(1) có dạng: (1 - t
2
)
2
= (3 - t
2
)(1 - t)
2
<=> (1 - t)
2
(1 + t)
2

51+−
Với t = 1 ta có x = 0
Với t =
2
51+−
ta có x =
2
53−
Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của (1) là: x = 0; x =
2
53−
Ví dụ 2:

Giải phương trình:
41597
44
=−+− xx
(1)
Điều kiện: 15 <

x <

97 (*)
Đặt u =
4
97 x−
(u, v >

0)
v =

2
Đặt t = u . v (t >

0) ta có: (16 - 2t)
2
- 2t
2
= 82 (2) <=>t
2
- 32t + 87 = 0
<=> t
1
= 3, t
2
= 29
Ta có hai hệ phương trình sau:



=
=+
3.
4
vu
vu
(3) và



=


6
<=>
Ví dụ 3:

Giải phương trình:
10)625()625(
=++−
xx
(1)
ĐKXĐ: x
R∈
. Ta thấy (5 -2
1)625)(6 =+
Đặt
)0()625(
>=−
uu
x
thì
u
x
1
)625(
=+
Khi đó phương trình (1) có dạng: u +
10
1
=
u

( )
021625
625
1
)625(
2
2
=+⇔=−⇔
−
=−
+
x
x
x
<=> x = - 2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = +

2
d. Phương pháp so sánh (hay phương pháp đối lập).
Giải phương trình bằng phương pháp này tức là so sánh vế trái, vế phải
rồi từ đó nhận xét dấu “=” xảy ra khi nào ?
Ví dụ 1:

Giải phương trình.
11642
2
+−=−+− xxxx
(1)
ĐKXĐ: 2 <


Vậy vế trái đạt GTLN bằng 2 khi x = 3
Mặt khác: x
2
- 6x + 11 = (x - 3)
2
+ 2 >

2 => Vế phải đạt GTNN
bằng 2 khi x = 3
Phương trình (1) có nghiệm <=> vế trái = vế phải <=> x = 3
Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của phương trình (1) là: x = 3
Ví dụ 2:

Giải phương trình.
x +
5698
22
++=− yyx
(1)
ĐKXĐ: -2
222 ≤≤ x
(*)
áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxiki cho hai cặp số (1,1) và (x;
)8
2
x−
.

7
<=>

3
1
−
Phương trình (4) có nghiệm <=> vế trái = vế phải
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2 và y =
3
1
−
e. Phương pháp bất đẳng thức.
Ta dùng bất đẳng thức đánh giá mỗi vế của phương trình để từ đó
suy ra nghiệm của phương trình. Khi giải phương trình vô tỷ thường dùng
phương pháp bất đẳng thức ở nhiều dạng khác nhau.
* Chứng tỏ tập giá trị ở 2 vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm.
Ví dụ:

Giải phương trình:
241
22
=+++ xx
. ĐKXĐ:
Rx
∈∀

Ta thấy x
2
>

0∀x∈R nên
11
2

01
3
>−x
Nếu x < 1 thì
112
3
<−x

01
3
<−x
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
* Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt.
Ví dụ:

Giải phương trình:
28
1
4
2
36
=
−
+
− yx
- 4
12 −−− yx
(1)
Điều kiện: x -2 > 0 x > 2 (*)
y - 1 > 0 y > 1

y
x
x
(2)

8
áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta có:
63.22.
2
9
22
2
9
=−−
−
≥−+
−
x
x
x
x
42.22.
2
4
21
1
4
=−−
−
≥−+



−+
−
y
y
x
x
(3)
Để phương trình (2) có nghiệm thì (3) phải lấy dấu “=” tức là có:
2
2
9
−=
−
x
x
1
1
4
−=
−
y
y
Ta thấy (4) thoả mãn điều kiện (*)
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 11 và y = 5
* áp dụng bất đẳng thức để đánh giá một vế của phương trình rồi
kết hợp với phương trình đã cho kết luận nghiệm.
Ví dụ:


2
++−
≤+−
xx
xx
=>
111
22
+≤++−+−+ xxxxx
Kết hợp với phương trình (1) ta được: 0
≤
x
2
- x + 2 <

x+1
(x-1)
2
<

0. Đẳng thức xảy ra khi x=1 (thoả mãn điều kiện (*)).
Thử: Thay x=1 vào phương trình (1) ta thấy x=1 là nghiệm duy nhất
của phương trình (1).
g. Phương pháp tam thức bậc hai:
Đưa phương trình đã cho về dạng chính tắc ax
2
+ bx +c = 0 ) (a ≠0)
Ví dụ:

Giải phương trình

+ x = 0
'
∆
= (x + 2)
2
+ 8(x
2
+ x) = (3x + 2)
2
y
1
=
48
232 xxx −
=
−
++−−
, y
2
=
2
1
8
232 +
=
−
−−−− xxx
Với y
1
=

1+x
ta có
2
1
3
+
=+
x
x
<=> x + 1 - 2
03 =+x
<=> x + 3 - 2
023 =−+x
,
'
∆
= 1 + 2 = 3
0313 <−=+x
(loại)
0313 >+=+x
(TMĐK)
<=> x + 3 = 1 + 3 + 2
3
<=> x = 1 + 2
3
(thoả mãn)
Vậy x = 1 + 2
3
là nghiệm của phương trình (1)
h. Phương pháp đưa về dạng tổng của đa thức không âm bằng

= 7; z = 14
i. Phương trình vô tỷ có biện luận.
Ví dụ 1:

Giải và biện luận phương trình:
3
33
bxaxa −−++
(1)
ĐKXĐ: x >

0
Lập phương 2 vế của phương trình (1) ta được:

10
<=>
a +
bxaxaxaxax =






−++−+−+
33
3
2
.3
(2)

<=> x = a
2
-
b
ab
27
)2(
3
−
<=> x =
b
baabba
27
1568
2233
++−
<=> x =
b
abbababbaa
27
28168
223223
−+−+−
<=> x =
b
baba
27
)8()(
2
−+

Nếu a > 0 và b < 0 hoặc b > 8; Phương trình (1) có nghiệm
x =
b
baba
27
)8()(
2
−+
Nếu a = - b
≠
0 : Phương trình (1) có nghiệm x = 0
Nếu a = b = 0 : Phương trình (1) có vô số nghiệm x > 0
Nếu a < 0 : Phương trình (1) vô nghiệm
Ví dụ 2:

Giải và biện luận phương trình:
2
)()(
44
44
ba
bxxa
xabxbxxa
−
=
−+−
−−+−−
(a, b là tham số: a
b
≠

vu
vuuv +
=
+
+
<=> u
5
+ v
5
- u
4
v - uv
4
= 0
<=> u
4
(u - v) - v
4
(u - v) = 0 <=> (u - v)(u
4
- v
4
) = 0 <=> (u - v)
2
(u + v)(u
2
+ v
2
) = 0
Vì u

321523 −+−=− xxx
<=> 3 x - 2 = 5x - 1 + 2x - 3 + 2
)32)(15( −− xx

<=> 2
2431710
2
+−=+− xxx
<=>
xxx 2131710
2
−=+−
(2)
<=> 10x
2
- 17x + 3 = 1 + 4x
2
-4x (3) <=> 6x
2
– 13x + 2 = 0 <=> (x - 2)(6x
- 1) = 0
x = 2
x =
6
1
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2; x =
6
1
Phân tích sai lầm: ở đây học sinh không chú ý đến điều kiện có
nghĩa của căn thức.

.
=>x = 2 cũng không là nghiệm của phương trình (1).
Giải đúng:
ĐKXĐ: x >2
3
(*) . Ta có: (1) <=>
xxx 2131710
2
−=+−

12
<=>

6
1
6
1
,2
2
1
02136
2
1
441131710
021
21
2

xxxx
x
.
Đối chiếu với điều kiện (*) => phương trình (1) vô nghiệm.
Phần 3: Tác dụng của đề tài
I. Tác dụng
Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả
trong việc giải các bài toán có liên quan và giải các bài toán thuộc dạng
này. Phần đông các em đều có hứng thú làm bài tập nếu như bài tập có
phương pháp giải hoặc vận dụng các phương pháp giải của một loại toán
khác và giải.
Đối với khối lượng đại trà thì việc học của các em chỉ là những vấn
đề xung quanh SGK nếu nhận được sự dìu dắt tận tình cụ thể thì việc học
của các em đỡ vất vả hơn có hứng thú hơn. Đối với loại toán này học sinh
không chỉ dừng lại ở cấp THCS mà các em còn vận dụng đến lớp 12 thậm
chí thi vào cả Đại học và Cao đẳng. Đây là dạng toán chúng ta cần quan
tâm nó đa dạng và phong phú đề cập đến kiến thức trong trường phổ thông
nó có tính tổng hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một
lúc và giải quyết vấn đề.
Với cách học và cách hướng dẫn học sinh làm bài như vậy không
những nâng cao kiến thức cho các em mà còn là hình thức củng cố, khắc
sâu kiến thức cho các em.
Trong đề tài này tôi đã nêu được một số phương pháp về giải phương
trình vô tỷ, mỗi phương pháp có một số ví dụ minh hoạ do tôi tuyển chọn ở
một số liệu tham khảo. Do điều kiện vừa học tập vừa công tác, kinh nghiệm
còn hạn chế nên quá trình viết khó tránh khỏi đơn điệu, sai sót về kiến
thức, cách trình bày cũng như hệ thống và phương pháp nhưng tôi hy vọng
rằng một phần nào đó giúp chúng ta hiểu kỹ hơn về toán giải phương trình
vô tỷ và phương pháp giải từng dạng.
Thông qua nghiên cứu đề tài này, bản than tôi thực sự rút ra được