Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Bài giảng số 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
I. Phương pháp:
Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ mũ là việc sử dụng các ẩn phụ. Tuỳ theo dạng của hệ mà lựa chọn
phép đặt ẩn phụ thích hợp.
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa
Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải ( hệ bậc nhất 2 ẩn, hệ đối xứng loại I,
hệ đối xứng loại II và hệ đẳng cấp bậc 2)
Bước 3: Giải hệ nhận được
Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu.
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
1
3 2 17
2.3 3.2 8
x y
x y
1
1
9 6 1 0
1
9 4 17 3
3
3
8 6
1
6 3 8
2
2 2
3
x
y
u u
x
u v
u
u
y
u v
v
v
Vậy hệ có cặp nghiệm (-1;1)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:
1
1
3 2 2
3 2 1
x y
x y
m m
m m
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên.
Giải:
Đặt
1
3
u mv m
(II). Ta có:
1
m
D
2
1
1
m
m
;
2
1
u
m
D
m
u
v
D
m
m
D
m
u m m
D m
m m
D
m
v
m
D
2 1
m
.
a) Với m nguyên ta có m=-2 khi đó hệ có nghiệm là:
1
3 0
3 3
1 1
2 1
1
2 2
x
y
u x
x
v y
y
a) Giải hệ phương trình vớim=1
b) Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả mãn 0
2
y
Giải:
Biến đổi hệ về dạng:
2
. 3
u v m
u v
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
2
6
1
; 2
sin
5
2 6
; ,
2
2
5
6
Giải:
Viết lại hệ phương trình dưới dạng:
2 1
1 2
2 1
2
2
2
4 4.4 .2 2 1
2 3.4 .2 4
x
x y y
y x y
điều kiện
1
4
u
và v>0.
Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:
2 2
2
4 1(1)
4 4(2)
u uv v
v uv
(II)
v
vô nghiệm.
+ Với
1
4
t
ta được
1
4
4
u v v u
do đó:
2
(2) 4 4 1
u u
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
2
1
2
1 1
1 0
4 1
Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (1;2) và (-1;2)
Cách 2: Nhận xét rằng nếu (u;v) là nghiệm của hệ thì
0
u
Từ (2) ta được
2
4
3
v
u
v
(4). Thay (4) vào (1) ta được:
4 2
2 31 16 0
v v
(5)
Đặt
2
, 0
2
1
2
1
1 0
4 1
2
2
2 4
x
y
x
x
y
y
x x
x
y
y y
Giải:
Đặt
2
x
u
điều kiện
1
u
. Hệ có dạng:
+ Với u=y, hệ phương trình tương đương với:
2 2 2
2 1 0
1 1
1
2
2 3 2 3 2 0 1
2 2
2
2
x
x
x
u y u y y y
u y
u y
u u u u u x
y
vô nghiệm
Vậy hệ có 3 cặp nghiệm là (0;1), (1;2) và (-1;2).
Ví dụ 6: Giải phương trình:
log 3
log
2 2
2
. Khi đó phương trình (1) có dạng:
log 3
2 2
2
9 3 2 2 3 3 2.3 3 2.3 3 0
t t t t t t
(3)
Đặt
3 , 0
t
u u
, khi đó phương trình (3) có dạng:
2
1(1)
2 3 0 3 3 1 2
3
t
u
u u t xy
u
3 3
v x y
v v
v x y
Với x+y=1 ta được:
1
2
x y
xy
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
2
X X
X y
và
2
1
x
y
3 1 0
3 1 1
3 1 0 1 3
x x
x
x
x x
x x y
x xy x
x y y x
2 2 3.2 8 2 12.2 2 log
11 11
y y y y y
y
+ Với
1
1 3
x
y x
thay y=1-3x vào (1) ta được:
3 1 3 1
2 2 3.2
x x
(3)
Đặt
3 1
2
x
t
x y
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:
2
0
8
log
11
x
y
BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
I. Phương pháp:
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định được 1 phương trình hệ quả theo 1 ẩn hoặc cả 2 ẩn, giải phương trình này
bằng phương pháp hàm số đã biết
Bước 3: Giải hệ mới nhận được
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 (1)
12(2)
x y
y x
x xy y
2 2
12 3 12
x y x y
x y x y
x x y
x xy y x
Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (2;2) và (-2;-2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
(1)
Xét hàm số
2 3 3
t
f t t
là hàm đồng biến trên R.
Vậy phương trình (1) được viết dưới dạng:
f x f y x y
.
Khi đó hệ thành:
2 2 3 2 3 (2)
x y
x y
x
Vậy hệ đã cho có nghiệm x=y=1.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2 (1)
2 (2)
x y
y x xy
x y
t
f t t
đồng biến trên R.
Vậy phương trình (3) được viết dưới dạng:
f x f y x y
. Khi đó hệ có dạng:
2 2 2
1
1 1
2 2 2
x y x y
x y x y
x x y
x y x
2 3 2 2 3
2 .3 1
x y x y
x y
Giải:
Đặt
1
2
2
x
y
u
v
(I)
Biến đổi (1) về dạng:
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 4 4
u v u v u v u v u v u v uv
Khi đó hệ tương đương với:
2 2
2 2
1
2
2 0
2 1
0 0
1
1 0 1
3 1
1
Vậy hệ có 2 căp nghiệm (0;1) và (0;-1)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp biến đổi tương đương
a)
1
3 2
4 2
2 2
2 5 4
x x
X
x
y
y y
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a)
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
b)
lg lg
lg4 lg3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y
b)
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi đại học 2013
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Copyright: Tài liệu đại học ©