khangvietbook.com.vn
ĐẶNG THÀNH NAM
(Trung tâm Nghiên cứu và phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn)
SOẠN THEO CẤU TRÚC MỚI ÁP DỤNG KÌ THI THPT QUỐC GIA

(PHIÊN BẢN MỚI NHẤT) Dành cho học sinh 10, 11, 12 nâng cao kiến thức.
Bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi Quốc Gia.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
khangvietbook.com.vn

MỤC LỤC
Chương 1: Bất đẳng thức và các kỹ thuật cơ bản

thức bậc hai 534
Chủ đề 8. Bất đẳng thức phụ đâng chú ý và áp dụng giải đề thi tuyển sinh 540
Chủ đề 9. Bài toán chọn lọc bất đẳng thức và cực trò ba biến 617
Chương 4: Số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác
Chủ đề 1. Kỹ thuật lượng giác hóa 654
Chủ đề 2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Schur 684
Chủ đề 3. Kỹ thuật dồn biến 694
khangvietbook.com.vnCty TNHH MTV DVVH Khang Việt

3
Chương 1:
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. Định nghĩa bất đẳng thức
Giả sử A và B là hai biểu thức bằng chữ hoặc bằng số.
+
≥AB
(hoặc
)≤BA
,
≤AB
(hoặc
)≥BA
được gọi là các bất đẳng thức.
+
0; 0 .≥⇔−≥ −≥⇔≥AB AB AB AB

cd
.

≥+⇔−≥abc acb
.

khi m >0
,, ;
ma mb khi m < 0
≤

∀ ∈ ≤⇔

≥


ma mb
ab a b
.

khi m >0
,, ;
khi m < 0
+

≤


∀ ∈ ≤⇔



0,

≥

≥ ≥ ⇒ ∀∈

≥



nn
nn
ab
ab n
ab
.

1
0;
01

>⇒ >
>>

< <⇒ <

xy
xy
a aa


( )
0
>

>⇔ >

<−

a
a khi
a
α
αα
α
.

( )
,,− ≤+≤ + ∀ ∈
ababab ab
.
2. Bất đẳng thức liên quan đến hàm số mũ và logarit

1 01
;
> <<

⇒> ⇒<

>>
+ ++
≥
n
n
n
aa a
aa a
n
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12
= = =
n
aa a
.
4. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Cho 2 dãy số thực
( ) ( )
12 12
, , , ; , , ,
nn
aa a bb b
ta có
( )
( )( )
2
22 222 2
11 2 2 1 2 1 2

.
Từ đó ta có các bất đẳng thức với 2 biến và 3 biến thường sử dụng như sau:

( )
2
0
−≥
ab
hay
22
2.+≥a b ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
=ab
.
khangvietbook.com.vnCty TNHH MTV DVVH Khang Việt

5

( ) ( ) ( )
222
0− +− +− ≥ab bc ca

hay
222
++≥++a b c ab bc ca

hoặc

;;+> +> +>abcbcacab
.

;;>− >− >−
a bcb cac ab
.

( )
222
2++< ++a b c ab bc ca
.
II. Một số hằng đẳng thức cần lưu ý

( )
( )
333 222
3+ + − = ++ + + − − −a b c abc a b c a b c ab bc ca
.

( ) ( )( )( )
3
333
3++ = + + + + + +abc a b c abbcca
.

( )( )( ) ( )( )
+ + + = ++ + + −a b b c c a a b c ab bc ca abc
.

( )( )( )

≥
−
xy
xy
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
22
22
22+=−+=−+x y xy xy xy
(vì xy = 1)

⇒

( )
( ) ( )
2
42
22
4. 4+ =−+ −+x y xy xy
.
Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
( ) ( ) ( )
42 2
4 4 8.
−+−+≥ −
xy xy xy

khangvietbook.com.vn

22
112
1
11
+≥
+
++
xy
xy
.
b) Cho a,b,c là các số thực không nhỏ hơn 1 chứng minh
333
111 3
1
111
++≥
+
+++
abc
abc
.
c) Cho
[ ]
, , 0;1∈xyz
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
333
111
1
111


⇔
( )
( )
( )
( )
22
22
0
1 .1 1 .1
−−
+≥
++ ++
xy x xy y
x xy y xy⇔

( )
( )
( )
( )
22
() ()
0
1 .1 1 .1
−−
+≥
++ ++

22
112
,1
1
11
+≥ ≥
+
++
xy
xy
xy
.
Ta có
33
33
11 2
11
1
+≥
++
+
ab
ab

khangvietbook.com.vnCty TNHH MTV DVVH Khang Việt

7

a b abc
a b abc
.
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có đpcm.
Chú ý. Bất đẳng thức này được áp dụng khá phổ biến trong một số bài toán cực trị.
Một số dạng tương tự bất đẳng thức trên như sau

( )
22
112
,1 1
1
11
+ ≤ −< ≤
+
++
xy
xy
xy
.

( )
22
112
,1
1
11
+≥ ≥
+
++

3
4
11 2
1
1
1
+≤
+
+
+
xyz
z
xyz

33 4
444
22 4 4
1
11
1
+≤ =
+
++
+
xyz
x y xyz
xyz

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta suy ra
( )


++

+ +≥
xy
xy
.
Lời giải
Chú ý:
( )( )
( )
( ) ( )
( )
22
22
22
21
4
11 1 1
33
− +−
+ + =++ + ≥++
xy x y
x y xy xy
.
khangvietbook.com.vnKhám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam


a b ab
.
Lời giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
( ) ( )
( )( )( )
2
2
223
0
112
− +−
≥
− − −−
ab a b
a b ab
.
Bất đẳng thức luôn đúng và ta có đpcm.

Bài tập tương tự
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b không âm thoả mãn
1
, 1;
2
< +≥ab a b
ta có
( )( )
( )( )
2
12 12

a)
222
++≥++a b c ab bc ca
.
b)
( ) ( )
2
3+ + ≥ ++ab bc ca abc a b c
.
c)
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
2 222
1
3
4
++ − − + − + − ≥ + +a b c b c c a a b ab bc ca
.
d)
( )( )( )
( )
2
222
2 2 23+ + + ≥ ++a b c abc
.
Lời giải
a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:



( ) ( ) ( )
22 2
1 11
2
3 4 12
++ − − = −− +++≥++a b c b c a b c ab bc ca ab bc ca
.
Tương tự ta có:

( ) ( )
( ) ( )
22
22
11
34
11
34
++ − − ≥ + +
++ − − ≥ + +
a b c c a ab bc ca
a b c a b ab bc ca
.
Cộng lại theo vế ba bất đẳng thức trên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
= =abc
.
d) Chú ý đẳng thức:

( )( )( )

,,xyz
là các số thực thỏa mãn điều kiện
222
1++=xyz
.
Chứng minh rằng
a)
1
1
2
−≤ + + ≤xy yz zx
;
b)
( )
( )
2
2
8
2 3.
2
+ + − ≥−
++ − − +
xy yz xz
x y z xy yz

Lời giải
a) Bất đẳng thức vế trái tương đương với:

( ) ( ) ( )
2

)
222
222
1
1
0
2
1
− ++ =++− ++
= − +− +− ≥
⇒++≤
xy yz zx x y z xy yz zx
xy yz zx
xy yz zx

khangvietbook.com.vnKhám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam

10
b) Chú ý điều kiện ta rút gọn vế trái và đưa về chứng minh

( )
( )
2
3
8
23
23

xz y yxz xz y y

Bất đẳng thức cuối đúng và ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
222
0
1 11
0 , 0,
2
22
1

=


++ = ⇒= = =−



++=

y
xz y x y z
xyz
.
Ví dụ 3. Cho x,y,z là các số thực không âm. Chứng minh:
a)
333
3++≥x y z xyz
.

222
0
1
0
2
++ + + − − − ≥

⇔ ++ − + − + − ≥

x y z x y z xy yz zx
xyz xy yz zx
.
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
= =xyz
.
b) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
222
222
13
64
9

++ − + − + − ≥ − − −



= =xyz
.
c) Theo câu a) ta có
333
3 0,++− ≥x y z xyz
do đó nếu
0
2
+
−≤
yz
x
bất đẳng thức
luôn đúng.
+ Ngược lại xét
( ) ( )
20 0+− >⇔ − + − >yz x yx zx
.
Đặt
2 ,2=+=+y a xz b x
bất đẳng thức trở thành

( )
( )( )
2
22
12 6 0.−+++ −≥x a ab b a b a b

Bất đẳng thức đúng vì
0

3( )( )( ) ( ) ( )++ ++ ++ ≥++ ++x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx
.
Lời giải
Chú ý
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 2
22 22
22
22 22
31 3
44 4
33
;
44
x xy y x y x y x xy y x y
y yzz yz z zxx zx
++= + + − ⇒++≥ +
++≥ + ++≥ +
.
Do đó
( ) ( ) ( )
222
2 22 22 2
27
( )( )( )
64
++ ++ ++ ≥ + + +x xy y y yz z z zx x x y y z z x
.
Ta chỉ cần chứng minh

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
( )
= + −+P a bc a b c
.
Lời giải
Ta có

( )
( )
( )
22
1 1 11
2 2 22
= + − + = + −− ≤ + −−
  
≤+−−=−−−−+≤
  
  
P a b c a b c c ac bc a b ac bc a b
a bab a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
1,
2
= = =c ab
.
3) Kỹ thuật thêm bớt hằng số
Việc cộng hoặc trừ hai vế của bất đẳng thức cho một số nào đó làm lược bỏ đi

a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

( ) ( )
( )
22
22
2
2
00
++ ++
≥
++
++ ++
⇔ −≥ −
++
⇔ ≥ ⇔  + − + ≥ ⇔ − ≥

++
xy yz zx y yz z
xz yz
xy yz zx y yz z
yy
xz yz
zx z
zxyz zxz zxyz
xz yz
.
Bất đẳng thức cuối đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
= =xyz
hoặc

zx y z
z
z x y z xy yz zx z x xy y
xy yz zx
x xy y

khangvietbook.com.vnCty TNHH MTV DVVH Khang Việt

13
Bất đẳng thức cuối đúng vì

( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
22
3 33+ + + + ≥ +  + = + ≥ + +

xyzxyyzzx xyzxy zxy zx xyy
.
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0=z
.
4) Kỹ thuật biến đổi với bất đẳng thức chứa căn
+ Phép bình phương hai vế được ưu tiên.
+ Cần chứng minh
1 2 12
+ ++ ≥+ ++

có
( )
2
22
4 42 4+++ ++≤+ + +++x x y y xy xy
.
Lời giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với

( )( )
22 2 2
82 4 4x y xy x x y y+ ++++ ++ ++ ≤

( ) ( )
22
44 4 4xy xy xy xy+ + ++++ + +++
.

( )( )
( )
2
22
4 42 4⇔ ++ ++ ≤ + + +++x x y y xy xy xy
.

( )( )
( )
( )
22
2 2 22


14
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0=x
hoặc
0=y
.
+ Với mọi số thực không âm ta luôn có

( )
2
22
1 11 1−++ −+≤+ + −−+x x y y xy xy
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0=x
hoặc
0=y
.
+
( )
1 1 1 1 , 0; , 1; 1+ + + ≥ + + + ≥ ≥− + ≥−a b abab ab ab
.
5) Kỹ thuật đánh giá phân thức
Sử dụng đánh giá cơ bản:
11
0> >⇒ <AB
AB
.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta có

(*)
Ta có :
(4)
+
<+⇒ <
+ ++
a ac
aab
ab abc

Tương tự :
(5)
+
<
+ ++
b ab
bc abc
,
(6)
+
<
+ ++
c cb
ca abc

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được :
2++<
+++
abc
abbc ac

x y z xyz
bc ca ab
.
khangvietbook.com.vnCty TNHH MTV DVVH Khang Việt

15
Ta cần chứng minh
3
1114
++≥
+++
xyz
xyz
.
Chú ý
11
11
11
xx
x xyz
yy
y xyz
zz
z xyz
≥
+ +++
≥

22
2
2
22
2
1
1 1 1;
1
1
11 1
1
a
ba
b
b
cb
c
+
+ ≥⇒ ≤+
+
+
+ ≥⇒ ≤+
+
.
Suy ra
( )
( )
2
22 222
22

2
1
14 3 1 0
aa
a
a aa
+ +− + ≤
+
⇔ − + −≤
.
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1, 0= = =a bc
hoặc các hoán vị.
Chú ý. Bằng cách tương tự ta chứng minh được
1117
2
111
+++
++≤
+++
kkk
kkk
abc
bca
.
Với k là số nguyên dương.

khangvietbook.com.vn
4 1 45
4 3 43 1 0
2 2 20 1 1 0
x y xy z z
x y xy xy xy
x y xy x y
+ + +≥ − +
⇔ + + − −− + −− −≥
⇔ + + +≥⇔ + + ≥
.
Bất đẳng thức đúng.
Vậy ta có
( )
2
22
22
21
1
45 45
+−−
+−
≤=
−+ −+
x y xy
xy
P
zz zz
.
Chú ý.
1 4; 3≥− − − = − + = −xy x y z x y z

2
, 1,
4
3
22
2

+=


=



=−= =



++=⇔ =− ⇔




= =−=
= −



=


( ) ( )( ) ( )
2 22
2
22
c abc ccab ac bc acbc
ab ccab acbc ccab ab
⇔++++ ++≥++++ + +
⇔ + ++ ≥ + + = ++ +

Bất đẳng thức cuối luôn đúng (đpcm).
khangvietbook.com.vnCty TNHH MTV DVVH Khang Việt

17
Ví dụ 2. Cho x,y,z là các số thực đôi một không đồng thời bằng 0. Chứng minh
( )( )( )
( )( )( )
2 22222
222222
11
− −−
−≤ ≤
+ ++
xyyzzx
xyyzzx
.
Lời giải
Ta có

3.
+−+−+−≥++abc a b b c c a a b c

Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử
.≥≥abc
Khi đó bất đẳng thức tương đương với:
( )
3
3
2
3 33
3 ( )( )( )
3 3 0 ( )3 0
+−+−+−≥++
⇔−− + ≥⇔ − + − ≥
abc a b b c c a a b c
a b c abc a b c ab c

Bất đẳng thức cuối luôn đúng và ta có đpcm.
Bài tập tương tự
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
3
31
+−+−+−=abc a b b c c a
.
Chứng minh rằng
1
3
++≤


18

( ) ( ) ( ) ( )
2 222
42

⇔ − ≥ − +− +−

xz xy yz zx( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )( )
222
2
22
( )( ) 2 0
⇔− ≥− +−
⇔ −+− ≥− +− ⇔ − −≥
xz xy yz
xy yz xy yz xyyz

Bất đẳng thức cuối luôn đúng ta có đpcm.
Ví dụ 5. Cho n số thực
12
, , ,
n
xx x

,
2
++−
=
xy xy
max x y
.
Sử dụng
{ }
,
2
++−
=
xy xy
max x y
ta được:

{ }
{ } { } { }
{ }
12 23 1 1
12
23 23 1 1
12 12
12 23 1 1
12

x
2


x= = =
n
xx
.
7) Kỹ thuật đặt ẩn phụ
Với bất đẳng thức đối xứng hai biến ta có thể đặt
;=+=u a b v ab
.
Với phân thức ta có để đặt các mẫu số là các biến mới.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi a,b dương, ta có
( )
( )( )
22 2 2
21+−≥+ −a b a b a b ab
.
Lời giải
Đặt
2
2 , , 0.+= = >a b u ab v v
Khi đó bất đẳng thức tương đương với:

( ) ( )( )
22 2 2
42 2 2
42 2 4
2
2
2
2
( 2) ( )( 1)

2 2 2 82
4
1 ( 1) 8 ( 1)
4
−+ − + +
≥
v v vv
u
v
.
Mặt khác
2
+
= ≥=
ab
u ab v
do đó ta chỉ cần chứng minh:

2 2 2 82
22
4
1 ( 1) 8 ( 1)
( 1) ( 1)( 1) 0
4
v v vv
v v v vv
v
−+ − + +
≥ ⇔−+++≥


abc
b c a cab
ab bc bc ca ca ab
ca ab bc

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.= =xyz

Ví dụ 3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
3.++=abc

Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
333
444
+ + ≥++
++ +
+++
abc
bc ca ab
ab bc ca
.
Lời giải
Đặt
+=


+=



++≥ + +
yxz
yxz
xyz
.

333
43 43 43
0

−−−


⇔− +− +− ≥







xyz
xyz
xyz( )( ) ( )( ) ( )( )
2 22
333
12 12 12

Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử
≥≥cba
.
Thay
1−
=
+
ab
c
ab
ta phải chứng minh
( )
( ) ( )
2
11
5. 2
3
25 3 1 0
ab ab
a b ab
ab ab
ab ab a b
−−
++ + ≥
++
⇔ − + +− ≥

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì
1

abc
b ca
.
Nếu
0−<c ab
bất đẳng thức luôn đúng.
Nếu
0−≥c ab
khi đó ta chứng minh
( ) ( )( )
1−≥ − −bc a b ac c ab
.
Thật vậy
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
11−≥−−⇔−≥−−bc a b ac c ab bc a b ac c ab
.
( )
( )
2
2 2 22
21 0⇔ − +≥ − − + ⇔ − ≥bc a a bc ab ac a bc a b c
(luôn đúng).
Tương tự ta có:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1
1


khi đó do
( )
0
, , 0;1
0
−>

∈⇒

−>

a bc
abc
b ca
.
Nếu
0−<c ab
bất đẳng thức luôn đúng.
Nếu
0−≥c ab
khi đó ta chứng minh
( )( )
2 ≥− −ab a bc b ca
.
Thật vậy
( )( ) ( )( )
22
24≥−−⇔ ≥−−ab abcbca ab abcbca
.
( ) ( )

.
10). Kỹ thuật sử dụng tính thuần nhất
Đưa bất đẳng thức về dạng đồng bậc sẽ dễ xử lý hơn(xem thêm chương 3).
Ví dụ 1. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện
222
3++=abc
.
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
333
6++ ++ +≤abc bca cab
.
Lời giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 3 222
444 222222 22 22 22
2
3
2 4 3 33
++ ++ +≤ ++
⇔ +++ + + ≥ ++ ++ +
abc bca cab a b c
abc abbcca abab bcbc caca

Bất đẳng thức trên là tổng của ba bất đẳng thức có dạng:





khangvietbook.com.vnKhám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam

22

sin cos sin cos
22
2cos .sin 0
22
xx xx
ππ
−+ −−
⇔>
.
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do

sin cos 2 sin 2; sin cos 2 sin 2
44
 
− = −≤ + = +≤
 
 
xxx xxx
ππ
.

11 1 11
 
+ + +≤ + +
 
 
y xz xz
xz y xz
.
Lời giải
BĐT tương đương với:
( ) ( )
2
xz yxz
xz
xz xz y
++
+
≥+( ) ( ) ( )( )
22
00yxz y zx y yzx zx yxyz⇔ + ≥ + ⇔ − + + ≤⇔ − − ≤

Bất đẳng thức cuối đúng vì
0 <≤≤xyz
.
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
= =xyz
.

xy y x
yz y z
xy xzxy yz xz
xy x y y z yz x y y z
xyxz xzyz

Ta có điều phải chứng minh.
khangvietbook.com.vnCty TNHH MTV DVVH Khang Việt

23
Bài 3. Cho
,,xyz
là các số thực thuộc đoạn
[ ]
0;1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
( ) ( )
333 2 2 2
2= ++ − + +P x y z xy yz zx
.
Lời giải
Ta có
[ ]
32 32 32
, , 0;1 ; ; .∈ ⇒≤≤ ≤≤ ≤≤xyz x x xy y yz z z


.
Bất đẳng thức cuối đúng do
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 22
11 0; 11 0; 11 0
−−≤ −−≤ −−≤
x yy zz x
.

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 xảy ra khi
1= = =xyz
.
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c ta có
( )
( )
444 222222
2+ + + ++ ≥ + +a b c abc a b c a b b c c a
.
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử
.≥≥abc
Khi đó
( )( )
2
0− −≥ccacb

kkk
aabac bbcba ccacb
.
Bài 5. Cho
,, 0≥abc
thỏa mãn điều kiện
1++=abc
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
222
444
−−−
=+ ++ ++
bc ca ab
Pa b c
.
Lời giải
Chuyển mỗi biểu thức trong căn về cùng bậc hai ta có :
khangvietbook.com.vnKhám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài toán Max – Min – Đặng Thành Nam

24

( )
( )
( )
( )

bc
bc
aa

Tương tự ta có :
( )
2
;
42
−
+
+ ≤+
ca
ca
bb( )
2
42
−
+
+ ≤+
ab
ab
cc

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được :
( ) ( ) ( )
( )

( ) ( ) ( )
222
3.+− + +− + +− ≥a bc b ca c ab

Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử
≥≥abc
khi đó :
Sử dụng bất đẳng thức Mincopsi ta có :

( ) ( ) ( )
222
a bc b ca c ab+− + +− + +− ≥

( )
( ) ( ) ( )
2
2
a b c ab bc ca+ + + − + − + − 
( )
( )
2
2
4
abc ac
= ++ + −
.

2

−+− =− +− + − −

≥− +−
⇒− ≥− +−
ab bc ab bc abbc
ab bc
ca ab bc

Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
222 2
2− +− +− ≤ −ab bc ca ca
.
Mặt khác :
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 22
2
2
2
2
2

= = =abc
hoặc
1, 0= = =a bc
và các hoán vị.

Bài 7. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
3++=abc
.
Chứng minh rằng
( ) ( )
222222 222
2 33+ + +≤ + +ab bc ca a b c
.
Lời giải
Không mất tính tổng quát giả sử
{ }
min , , 1= ⇒≤a abc a
.
Ta có
( ) ( )
222222 222
2 33 0+ + +− + + ≤ab bc ca a b c

( )( )
2 2 2 22 2
2 3 2 33 0⇔ − + + +− ≤a b c bc a

( )
( )
( )